中考数学二轮精品专题复习 二次函数(选择题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 二次函数(选择题)，共68页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(选择题)》
一．选择题（共47小题）
1．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
2．（2023•贵州）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
4．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜−c2x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（　　）

A．2a+b＝0
B．﹣4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
7．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．−14≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．−14≤x＜6 D．﹣4≤c＜5
8．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
10．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　）
​

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
12．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
13．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
14．（2023•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　）
A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0
16．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
18．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
19．（2023•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜−23；
④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2023•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（　　）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1=12，x2=−16；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值154
22．（2023•株洲）如图所示，直线l为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　）
​

A．b恒大于0 B．a，b同号
C．a．b异号 D．以上说法都不对
23．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
24．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
25．（2023•乐山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：
①b＜0；
②a+b＞0；
③0＜a＜﹣c；
④若点C（−23，y1），D（53，y2）在抛物线上，则y1＞y2．
其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
26．（2023•扬州）函数y=1x2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列论中；①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
28．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
29．（2023•枣庄）二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（32，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
30．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+12（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．② D．③④
31．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
32．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（−12，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
33．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．

A．1 B．2 C．3 D．4
34．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
35．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧
36．（2023•成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　）

A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为（−12，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
37．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
38．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
39．（2023•广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
40．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
41．（2023•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
42．（2023•泸州）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1≤a＜0或0＜a＜3
43．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
44．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（　　）
A．−214≤k≤1 B．k≤−214或k≥1
C．﹣5≤k≤98 D．k≤﹣5或k≥98
45．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
46．（2023•南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（　　）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
47．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(选择题)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共47小题）
1．（2023•大连）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023•贵州）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【分析】根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点P（a，b）所在的象限．
【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0，x=−b2a＞0，
∴b＜0，
∴P（a，b）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及判断点所占的象限，解答本题的关键是根据二次函数的图象判断出a、b的符号．
3．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
4．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜−c2x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a−c2，a=−12a−14c，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a−c2+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣a−12c﹣c＞0，
∴﹣2a﹣3c＜0，
∴2a+3c＞0，
∴③错误．
如图：

设y1＝ax2+bx+c，y2=−c2x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
5．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定．
【解答】解：①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故①是错误的；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
故②是正确的；
③∵b＝2a，c＝﹣3a，
∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，
故③是正确的；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，
∴m≤﹣1或m−2＜−1＜m−1−(m−2)＞m−(−1)，
解得：m＜0，
故④是错误的，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
6．（2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（　　）

A．2a+b＝0
B．﹣4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；一元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴﹣4a﹣（2b﹣c）＜0，
即﹣4a﹣2b+c＜0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴x＝2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞﹣1时，y1＞y2，故④错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的焦点情况，熟练掌握个知识点是解决本题的关键．
7．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．−14≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．−14≤x＜6 D．﹣4≤c＜5
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣12+c，解得c＜3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据图象特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴的交点即对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点后可判断③，将方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点可判断④，由点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，故②错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，
∵﹣k2≤0，
∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，
∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
9．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
10．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　）
​

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；符号意识．
【分析】根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．
【解答】解：由函数图象可得，a＜0，−b2a＞0，
∴b＞0，
∴y＝x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数，一次函数的图象及性质．
11．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．
12．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
13．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴m=am2+c2m=c，
解得am＝﹣1，m=c2，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
14．（2023•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，找出交点个数可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正确，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
15．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　）
A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．
∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．
令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s
∵f（t）＞0，
∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，
即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．根与系数的关系是二次函数部分非常重要的关系式，这里进行了反复运用，一定要牢牢掌握并灵活运用．
16．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x=−4a2a=−2，
∴①正确；
当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，
∴②正确；
当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；
当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；
∴③错误；
当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，
∴④错误；
故正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣4，从而求得x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝4，
∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），
把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，
若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4是解题的关键．
18．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若m＞0，则m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0时，则m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴x=m22，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离=m22=2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象有系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
19．（2023•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜−23；
④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】①根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b＞0，c＞0，则abc＜0；
②根据对称轴是直线x=−b2a＞1，计算﹣b＜2a，由抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；
③由待定系数法确定抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，根据题意抛物线为y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，则m=a−2a=1−2a，根据3＜m＜4，即可得出关于a的不等式，解得即可；
④抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，即可得出4ac−b24a≥3，求得4ac﹣b2≤12a．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且3＜m＜4，
∴对称轴x=−1+m2＞1，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵−b2a＞1，a＜0，
∴﹣b＜2a，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＞0，
故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），点（1，4），
∴a−b+c=0a+b+c=4，
解得b=2c=2−a，
∵抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，
∴﹣am＝2﹣a，
∴m=a−2a=1−2a，
∵3＜m＜4，
∴3＜1−2a＜4，
∵a＜0，
∴﹣1＜a＜−23，
故③正确；
∵若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，
∴4ac−b24a≥3，
∴4ac﹣b2≤12a，
故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2023•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（　　）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1=12，x2=−16；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵−b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0，
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故②正确；
由cx2+bx+a＝0可得方程的解x1+x2=−bc，x1x2=ac，
∵的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2，6，
∴−ba=4，ca=−12，
∴−bc=4−12=−13，ac=−112
而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1=12，x2=−16，则−bc=12−16=13，ac=12×(−16）=−112，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，
∴y1＞y2，故不正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
21．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值154
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m＝3，再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，
解得：m1＝3，m2＝﹣2，
∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为：4ac−b24a=4×1×6−324×1=154．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
22．（2023•株洲）如图所示，直线l为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　）
​

A．b恒大于0 B．a，b同号
C．a．b异号 D．以上说法都不对
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分a＜0，a＞0两种情况讨论即可．
【解答】解：∵直线l为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，
∴对称轴为直线x=−b2a＞0，
当a＜0时，则b＞0，
当a＞0时，则b＜0，
∴a，b异号，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
23．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【考点】二次函数的最值；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：x=x1+x22=m+m+k2=2m+k2，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当x=2m+k2时y最小，
即y=a(2m+k2−m)(2m+k2−m−k)=−k24a，
当k＝2时，函数y的最小值为y=−224a=−a；
当k＝4时，函数y的最小值为y=−424a=−4a，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
24．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】数形结合；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：

由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
25．（2023•乐山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：
①b＜0；
②a+b＞0；
③0＜a＜﹣c；
④若点C（−23，y1），D（53，y2）在抛物线上，则y1＞y2．
其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，故①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∴4a+2b+b﹣a＞0，
∴3a+3b＞0，
∴a+b＞0，故②正确；
∵a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∵b＜0，
∴a+c＜0，
∴0＜a＜﹣c，故③正确；
∵点C（−23，y1）到对称轴的距离比点D（53，y2）到对称轴的距离近，
∴y1＜y2，故④的结论错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
26．（2023•扬州）函数y=1x2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；几何直观．
【分析】函数y=1x2的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
【解答】解：由函数y=1x2可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
故选：A．
【点评】考查了函数的图象，函数y=1x2的图象是双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
27．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列论中；①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线经过（﹣1，0）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，①正确，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1＜y3＜y2，②错误；
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣3a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c，
∴am2+bm+c⩽﹣4a，③正确；
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2，
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣1，x2＞3，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
28．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，
当AB＝6时，40−x2=6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x•40−x2=192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x•40−x2=−12（x2﹣40x）=−12（x﹣20）2+200，
∵−12＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
29．（2023•枣庄）二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（32，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；一次函数与一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；几何直观；应用意识．
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因为a＞0，所以得出11a+2c＞0；
⑤化简不等式，用a表示b，根据a＞0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴−b2a=1，即b＝﹣2a．
∴b＜0，
∴abc＞0．
故①错误．
②方程ax²+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点，
根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称，
∴另一个交点2＜x2＜3．
故②正确．
③∵对称轴是直线x＝1，
|0﹣1|＞|23−1|，
∴点（32，y2）离对称轴更近，
∴y1＞y2，
故③错诶．
④∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
根据图象，令x＝﹣1，
y＝a+2a+c＝3a+c＞0，
∴6a+2c＞0，
∵a＞0，
∴11a+2c＞0，
故④正确．
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，
am2﹣2am≥﹣a，
即证：m2﹣2m+1≥0，
m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确，
故选：C．
【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
30．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+12（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．② D．③④
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上对称轴为x=22a=1a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞1a时，y随x的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
31．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；根与系数的关系；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴x1+x2=ka，
∴ka＜0，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
32．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（−12，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（−12，m），
∴−b2a=−12，
∴b2a=12，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x=−12是抛物线的对称轴，
∴−b2a=−12，
∴b2a=12，
∴a＝b，
由图象可得：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x=−12是抛物线的对称轴，
设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则d1=|−3−(−12)|=52，
d2=|3−(−12)|=72，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵m=4ac−b24a，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
33．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【解答】解：由题意得x1，x2满足方程14x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．
依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x1+x2)2−4x1x2+(y1+y2)2−4y1y2=4（k2+1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB=12×1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，kAN=y1+1x1，kBN=y2+1x2，
∴kAN•kBN=y1+1x1•y2+1x2=(y1+1)(y2+1)x1x2=4k2+2+1+1−4=−k2﹣1．
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
34．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．
【解答】解：①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B，
∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方，
∴y1＞y2，
∴①正确．
②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点，
∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
∴②正确．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：4a−2b−3=59a+3b−3=0，
解得：a=32b=−4，
∴抛物线解析式为y=32x2−4x−3，
当x＝﹣1时，t1＝﹣12，
当x＝4时，t2＝5，
∴t1＜t2，
∴③正确．
④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，
∴对称轴x=−2+42=1．
将x＝1代入抛物线解析式得y=−112，
∴当﹣2＜x＜1时，−112＜y＜5．
当1＜x＜3时，−112＜y＜0．
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键．
35．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：x=32+12a，然后根据a＞0得32+12a＞32，据此可对选项C进行判断．
【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当x＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为：x=3a+12a=32+12a，
又∵a＞0，
∴32+12a＞32，
∴该抛物线的对称轴一定在直线x=32的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法．
36．（2023•成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　）

A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为（−12，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．
【解答】解：A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得，
0＝9a﹣3﹣6，
解得a＝1，
∴y＝x2+x﹣6，
对称轴直线为：x=−b2a=−12，故A错误；
令y＝0，
0＝x2+x﹣6，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，
∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；
当x=−12时，y=14−12−6=−254，故B错误；
由图象可知当x＞−12时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．
37．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】数形结合；推理能力．
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴−b2a=−2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．
即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正确．
③由①得：b＝4a．
不等式4a2﹣2ab≥at（at+b），
等价于4a2﹣2a•4a≥at（at+4a），
整得：（t+2）2≤0，
∵t为全体实数，
∴（t+2）2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，
即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
38．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴−b2a＜0，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴a+b+c=09a−3b+c=0，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
39．（2023•广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【分析】根据函数图象开口向下可知a＜0，根据左同右异可知b＜0，再根据图象与y轴交于正半轴可知c＞0，然后即可判断①；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的额性质，即可判断②；根据对称轴可以得到a和b的关系，再根据x＝1时，y＝0，可以得到a+b+c＝0，进行变形即可判断③；根据x＝1时，y＝0和a、b的关系，可以判断④．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴该函数的对称轴为直线x=−3+12=−1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5对应的函数值相等，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；
∵对称轴是直线x=−3+12=−1，
∴−b2a=−1，
∴b＝2a，
∵点（1，0）在该函数图象上，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，a＜0，
∴2a+b+c＜0，
∴2a+2a+c＜0，
即4a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
40．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
41．（2023•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由抛物线的对称轴为直线x＝1，知b＝﹣2a，b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c＜0，可判断A错误；由（4，16a+4b+c）在第一象限，知（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c＝0，b＝﹣2a，可得3a+c＝0，判断C正确；由am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，可判断D错误．
【解答】解：由抛物线开口向上知a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且4﹣1＝1﹣（﹣2），
∴抛物线上的点（4，16a+4b+c）与（﹣2，4a﹣2b+c）关于对称轴对称，
由图可知，（4，16a+4b+c）在第一象限，
∴（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，
∴4a﹣2b+c＞0，故B错误，不符合题意；
∵x＝3时y＝0，
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+3×（﹣2a）+c＝0，
∴3a+c＝0，故C正确，符合题意；
∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，
∵a＞0，（m﹣1）2≥0，
∴a（m﹣1）2≥0，
∴am2+bm+a≥0，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
42．（2023•泸州）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞3
C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3 D．﹣1≤a＜0或0＜a＜3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围．
【解答】解：令x＝0，则y＝3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：x=−−2a2a=1，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．
43．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c＞0即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，
∴−b2a=1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
44．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（　　）
A．−214≤k≤1 B．k≤−214或k≥1
C．﹣5≤k≤98 D．k≤﹣5或k≥98
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴有交点，可得k2+4（k−54）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分两种情况：①当k≤﹣5时，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k−54≥0，②当k≥1时，﹣（﹣2）2﹣2k+k−54≤0，分别解不等式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4（k−54）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得：k≤﹣5或k≥1；
抛物线y＝﹣x2+kx+k−54对称轴为直线x=k2，
①当k≤﹣5时，抛物线对称轴在直线x＝﹣2左侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：

∴﹣（﹣2）2﹣2k+k−54≥0，
解得：k≤−214，
∴k≤−214；
②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x=12右侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k−54与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：

∴﹣（﹣2）2﹣2k+k−54≤0，
解得：k≥−214，
∴k≥1；
综上所述，k≤−214或k≥1；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
45．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据二次函数的性质可知2−3b+4b+c−12=−b2×(−12)，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（−12）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴2−3b+4b+c−12=−b2×(−12)，Δ＝b2﹣4×（−12）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值．
46．（2023•南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（　　）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n，故点（m，n+1）和点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A、C不合题意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
47．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】由AB，BC，CD的长度及抛物线的对称性可得点C与点P，点Q与点C的横坐标之差，进而求解．
【解答】解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP=152，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB=112，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）=112+152−5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．

考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
6．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程．
8．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
9．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
10．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
12．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
15．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
16．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
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