中考数学二轮精品专题复习 反比例函数(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 反比例函数(填空题)，共45页。试卷主要包含了，则m的值为 　 　等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例函数(填空题)》
一．填空题（共28小题）
1．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为 　 　．
2．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 　 　．

3．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 　 　．

4．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 　 　．

5．（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函数y=kx（k≠0）恰好经过点C，则k＝　 　．

6．（2023•湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　．
7．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=kx（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为1912，则k＝　 　．

8．（2023•无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y=−2x（x＜0），y=kx（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 　 　．
9．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数y=−k2x图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　 　．
​

10．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　 　．

11．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=48R．当R＝12Ω时，I的值为 　 　A．
12．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y=kx（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　 　．

13．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　 　mL．

14．（2023•陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　．

15．（2023•河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y=kx(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：　 　．

16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　 　．

17．（2023•上海）函数f（x）=1x−23的定义域为 　 　．
18．（2023•扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 　 　m3．
19．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝　 　；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　 　．

20．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF=14，则k的值为 　 　．

21．（2023•枣庄）如图，在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝　 　．

22．（2023•乐山）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　 　；
（2）若双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　 　．
23．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　 　．

24．如图，点A，B分别在函数y=ax（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y=bx（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　 　，a的值为 　 　．

25．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=23，则k＝　 　．

26．（2023•成都）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y=6x的图象上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．
27．（2023•达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=2x的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y=kx的图象过点C，则k的值为 　 　．
​

28．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 　 　N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）

2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例函数(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共28小题）
1．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为 　3　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将点A（﹣3，2）代入反比例函数y=kx可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B（m，﹣2）代入计算即可．
【解答】解：∵函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y=−6x的图象上，
∴m=−6−2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
2．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 　25−2　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m1＝﹣1+5，m2＝﹣1−5（舍去），
∴点A的坐标为（﹣1+5，2），
∴k＝xy＝2（5−1）＝25−2．

【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
3．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 　4　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得k．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴BDBN=OMON=1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∴点P在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得P点的坐标是解题的关键．
4．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 　6　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC＝4，
∵AC＝2AO，
∴S△ADO＝2，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ODE＝3，
由几何意义得，|k|2=3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
5．（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函数y=kx（k≠0）恰好经过点C，则k＝　43　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，

∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB=3，
∴OB＝2AB＝23，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中OBOC=32，即23OC=32，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中CEOC=12，即CE4=12，CE＝2，
OEOC=32，即OE4=32，
∴OE＝23，
∴点C（23，2），
∴k＝23×2＝43．
故答案为：43．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有30°角的直角三角形，求函数图象上点的坐标．
6．（2023•湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　32　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由待定系数法求出反比例函数解析式，继而求出点B的坐标，再由待定系数法求出直线AB解析式，进而求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，﹣2），
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵反比例函数y=2x的图象经过点B（2，m），
∴m=22=1，
∴B（2，1），
设直线AB与x轴交于C，解析式为y＝kx+b，
则−k+b=−22k+b=1，
解答k=1b=−1，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0）
∴△AOB的面积=12×1×1+12×1×2=32．
故答案为：32．

【点评】本题主要考查了根据待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
7．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=kx（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为1912，则k＝　196　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由k的几何意义可得k2=1912，从而可求出k的值．
【解答】解：△AOB的面积为|k|2=k2=1912，
所以k=196．
故答案为：196．
【点评】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键．
8．（2023•无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y=−2x（x＜0），y=kx（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 　6　．
【考点】反比例函数的性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，根据等边三角形的性质得出OB＝3，OA＝33，易证得△A′OD∽△OB′E，从而得出S△A′ODS△B′OE=(OA′OB′)2=3，即12k1=3，解得k＝6．
【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，
∴S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，
∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝33，
由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝33，
∴OA′OB=3，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴S△A′ODS△B′OE=(OA′OB′)2=3，即12k1=3，
∴k＝6．
故答案为：6．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
9．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数y=−k2x图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　﹣6　．
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【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】由正方形的面积可求AB，AD的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合AB长度列出关于k的方程，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，
∴AD＝BC＝AB＝3，
∴A（k3，3），B（−k6，3），
∴AB=−k6−k3=3，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过k的几何意义去求解．
10．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 　152　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵直直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
11．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I=48R．当R＝12Ω时，I的值为 　4　A．
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】直接将R＝12代入I=48R中可得I的值．
【解答】解：当R＝12Ω时，I=4812=4（A）．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．
12．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y=kx（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　（2，22）　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y=kx（x＞0）上，
∴2=k2．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y=4x．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．

∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG=2．
∴C点的横坐标为2．
又C在双曲线y=4x上，
∴C（2，22）．
故答案为：（2，22）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
13．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　20　mL．

【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】设这个反比例函数的解析式为V=kP，求得V=6000P，当P＝75kPa时，求得V=600075=80，当P＝100kPa时求得，V=6000100=60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V=kP，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝PV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V=6000P，
当P＝75kPa时，V=600075=80，
当P＝100kPa时，V=6000100=60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
14．（2023•陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　y=18x　．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据矩形的性质得到OC＝AB＝3，根据正方形的性质得到CD＝CF＝EF，设CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y=kx，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y=kx，
∴3×2m＝（3+m）•m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y=18x，
故答案为：y=18x．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
15．（2023•河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y=kx(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：　k＝4（答案不唯一）　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】把点A（3，3），B（3，1）代入y=kx即可得到k的值，从而得结论．
【解答】解：由图可知：k＞0，
∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1），
∴把B （3，1）代入y=kx得，k＝3，
把A（3，3）代入y=kx得，k＝3×3＝9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数，
故k＝4（答案不唯一），
故答案为：k＝4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　2　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF中点，
∴S△OAB=38S矩形＝6，
∴S矩形＝16，
∴S△ABC=18×16＝2．
故答案为：2．
2
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
17．（2023•上海）函数f（x）=1x−23的定义域为 　x≠23　．
【考点】反比例函数的性质；函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据函数有意义的条件求解即可．
【解答】解：函数f（x）=1x−23有意义，则x﹣23≠0，
解得x≠23，
故答案为：x≠23．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键．
18．（2023•扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 　0.6　m3．
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV，把V＝3m3时，p＝8000Pa代入解析式求出k值，得到P关于V的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案．
【解答】解：设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV．
∵当V＝3m3时，p＝8000Pa，
∴k＝Vp＝3×80000＝24000，
∴p=24000V，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴p≤40000时，气球不爆炸，
∴24000V≤40000，
解得：V≥0.6，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
19．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝　3　；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　4　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB=4，OA=23，
∴A(23，0)，B(23，2)，
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，

∴△OPC≌△APC（HL），
∴OP=AP=12OA=3，
在Rt△OPC中，PC=OC2−OP2=4−3=1，
∴C（3，1）．
∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴1=k3，
解得k=3．
故答案为：3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则23k+b=03k+b=1，
解得k=−33b=2，
∴AC的解析式为y=−33x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y=−33x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得y=3xy=−33x+4，
解得x1=23+3y1=2−3，x2=23−3y2=2+3，
当D的坐标为（23+3，2−3）时，
BD2=(23+3−23)2+(2−3−2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
当D的坐标为（23−3，2+3）时，
BD2=(23−3−23)2+(2+3−2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
综上，OB2﹣BD2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．
20．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF=14，则k的值为 　﹣6　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】连接BO，设AG＝EG＝a，由轴对称的性质得到EC＝AO＝AE＝2a，AC＝EO＝4a，利用相似三角形的判定和性质得到S△EOD＝2，得到S△ACB＝2，根据S△OCB＝S△ACB+S△AOB以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OB，设对称轴MN与x轴交于G，
∵△ODE与△CBA关于MN对称，
∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO，
∵点A我OE的中点，
设AG＝EG＝a，则EC＝AO＝AE＝2a，
∴AC＝EO＝4a，
∵S△EAF=14，
∴S△EGF=12S△EAF=18，
∵GF∥OD，
∴△EFG∽△EDO，
∴S△EGFS△EOD=(EGEO)2，
即18S△EOD=(a4a)2，
∴S△EOD=18×16=2，
∴S△ACB＝2，
∵AC＝4a，AO＝2a，
∴S△OCB＝S△ACB+S△AOB＝2+1＝3，
∴12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（2023•枣庄）如图，在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝　2023253　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出所求面积为矩形ABP1D的面积，再分别求矩形ODP1C和矩形OABC的面积即可．
【解答】解：∵P1，P2，P3，…P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S1+S2+S3+…+S2023=S矩形ABP1D，
把x＝2024代入关系式得，y=1253，即OA=1253，
∴S矩形OABC＝OA•OC=1253，
由几何意义得，S矩形OCP1D=8，
∴S矩形ABP1D=8−1253=2023253．
故答案为：2023253．

【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
22．（2023•乐山）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　﹣7　；
（2）若双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　3＜k＜4　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】新定义；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题意得出4m+t=912+t=m2，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；
（2）根据题意得出x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，①﹣②得（x+kx）（x−kx）＝﹣4（x−kx），整理得（x−kx）（x+kx+4）＝0，由x≠y，得出x+kx+4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．
【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，
∴4m+t=912+t=m2，
消去t得到m2+4m﹣21＝0，
解得m＝﹣7或3，
∵x≠y，
∴m＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）∵双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，
∴x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，
①﹣②得（x+kx）（x−kx）＝﹣4（x−kx），
∴（x−kx）（x+kx+4）＝0，
∵x≠y，
∴x+kx+4＝0，
整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∵﹣3＜x＜﹣1，
∴3＜k＜4．
故答案为：3＜k＜4．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．
23．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　24　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答案．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，

设⊙A的半径为r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵S△ACD=12AC⋅AE=6，
∴12⋅r⋅a=6，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
24．如图，点A，B分别在函数y=ax（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y=bx（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　12　，a的值为 　9　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】依据题意，设A（m，am），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，−a2m），D（﹣2m，−b2m），E（mba，am），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A（m，am），
∵AE∥x轴，且点E在函数y=bx上，
∴E（mba，am）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y=ax上，
∴B（﹣2m，−a2m）．
∵BD∥y轴，点D在函数y=bx上，
∴D（﹣2m，−b2m）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE=12AE×（am+a2m）=12（m−mba）（am+a2m）=12m•a−ba•3a2m=3(a−b)4=9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE=12DB•（mba+2m）=12（−b2m+a2m）（b+2aa）m=14（a﹣b）•1m•（b+2aa）•m＝3（b+2aa）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
25．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=23，则k＝　−83　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cos∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k＜0，
∴k=−83．
故答案为：−83．

【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
26．（2023•成都）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y=6x的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据反比例函数的性质得出答案即可．
【解答】解：∵y=6x中k＝6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y=kx，①当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，②当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
27．（2023•达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=2x的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y=kx的图象过点C，则k的值为 　﹣6　．
​

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y=−12x，故可设C（a，−12a），再由AC＝AB求出a的值代入y=kx即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组y=2xy=2x，
∴x=1y=2或x=−1y=−2．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y=−12x．
∴可设C（a，−12a）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：(a−1)2+(−12a−2)2=(1+1)2+(2+2)2．
∴a＝±23．
∴C（23，−3）或（﹣23，3）．
将点C代入y=kx得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
28．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 　100　N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．
【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，
∴函数的解析式为F=600L，
当L＝1.5时，F=6001.5=400，
当L＝2时，F=6002=300，
因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，
故答案为：100．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．

考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
3．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
4．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
5．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
6．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
8．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
10．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
11．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
12．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
17．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
23．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
24．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
25．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
26．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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