中考数学二轮精品专题复习 分式(解答题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 分式(解答题)，共33页。试卷主要包含了÷a−22a+6，化简，计算，•x2+xx2−9，其中x＝6，先化简，再求值，÷x+1x2−4，其中x＝3等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学真题知识点汇编之《分式(解答题)》
一．解答题（共46小题）
1．（2023•大连）计算：（1a+3+1a2−9）÷a−22a+6．
2．（2023•日照）（1）化简：8−|1−2|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（x2−2x−2−x）÷x−1x2−4x+4，其中x=−12．
3．（2023•徐州）计算：
（1）|−2023|+π0−(16)−1+16；
（2）(1+1m)÷m2−1m．
4．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值．
5．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+2x+1）•x2+xx2−9，其中x＝6．
6．（2023•通辽）以下是某同学化简分式a−ba÷(a−2ab−b2a)的部分运算过程：
解：原式=a−ba÷a−a−ba÷2ab−b2a⋯⋯第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2⋯⋯第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2⋯⋯第三步
……
（1）上面的运算过程中第 　 　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
7．（2023•常德）先化简，再求值：x+3x2−4÷(2−x+1x+2)，其中x＝5．
8．（2023•深圳）先化简，再求值：（1x−1+1）÷x2−1x2−2x+1，其中x＝3．
9．（2023•威海）先化简（a−2a−1a）÷a2−1a，再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
10．（2023•辽宁）先化简，再求值：（2x−1x−2−1）÷x+1x2−4，其中x＝3．
11．（2023•张家界）先化简（x﹣1−3x+1）÷x2−4x2+2x+1，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
12．（2023•东营）（1）计算：3tan45°﹣（2023﹣π）0+|23−2|+（14）﹣1−27；
（2）先化简，再求值：x2−xx2+2x+1÷（2x+1−1x），化简后，从﹣2＜x＜3的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
13．（2023•菏泽）先化简，再求值：（3xx−y+xx+y）÷xx2−y2，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
14．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1−2m+1）÷m2−2m+1m2−m，其中m＝tan60°﹣1．
15．（2023•鄂州）先化简，再求值：aa2−1−1a2−1，其中 a＝2．
16．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：Ma+1−1a2+a，其中a＝100．
解：原式=a2a(a+1)−1a(a+1)
……
17．（2023•聊城）先化简，再求值：（aa2−4a+4+a+22a−a2）÷2a2−2a，其中a=2+2．
18．（2023•福建）先化简，再求值：（1−x+1x）÷x2−1x2−x，其中x=2−1．
19．（2023•郴州）先化简，再求值：x+3x2−2x+1•x−1x2+3x+1x，其中x＝1+3．
20．（2023•荆州）先化简，再求值：（2x−yx+y−x2−2xy+y2x2−y2）÷x−yx+y，其中x＝（12）﹣1，y＝（﹣2023）0．
21．（2023•十堰）化简：（1−4a+3）÷a2−2a+12a+6．
22．（2023•陕西）化简：（3aa2−1−1a−1）÷2a−1a+1．
23．（2023•永州）先化简，再求值：（1−1x+1）÷xx2+2x+1，其中x＝2．
24．（2023•滨州）先化简，再求值：a−4a÷（a+2a2−2a−a−1a2−4a+4），其中a满足a2−(14)−1⋅a+6cos60°=0．
25．（2023•广元）先化简，再求值； （3x+yx2−y2+2xy2−x2）÷2x2y−xy2，其中x=3+1，y=3．
26．（2023•随州）先化简，再求值：4x2−4÷2x−2，其中x＝1．
27．（2023•温州）计算：
（1）|﹣1|+3−8+（13）﹣2﹣（﹣4）；
（2）a2+2a+1−31+a．
28．（2023•江西）化简（xx+1+xx−1）•x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

（1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
29．（2023•湖北）化简；x2+1x−1−2xx−1．
30．（2023•枣庄）先化简，再求值：(a−a2a2−1)÷a2a2−1，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜5的解集中选取一个合适的整数．
31．（2023•宜昌）先化简，再求值：a2−4a+4a2−4÷a−2a2+2a+3，其中a=3−3．
32．（2023•株洲）先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x2+4，其中x＝3．
33．（2023•扬州）计算：
（1）（2−3）0−12+tan60°；
（2）a−ba+b÷（b﹣a）．
34．（2023•安徽）先化简，再求值：x2+2x+1x+1，其中x=2−1．
35．（2023•烟台）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷（a+2+52−a），其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
36．（2023•苏州）先化简，再求值：a−1a−2•a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=12．
37．（2023•宜宾）（1）计算：2tan45°+（−12）0+|3−1|．
（2）化简：（1x−2−1x+2）÷xx2−4．
38．（2023•怀化）先化简（1+3a−1）÷a2−4a−1，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
39．（2023•金昌）化简：a+2ba+b−a−ba−2b÷a2−b2a2−4ab+4b2．
40．（2023•遂宁）先化简，再求值：x2−2x+1x2−1•（1+1x），其中x＝（12）﹣1．
41．（2023•眉山）先化简：（1−1x−1）÷x2−4x−1，再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
42．（2023•广安）先化简（a2a+1−a+1）÷a2−1a2+2a+1，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
43．（2023•重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+nm）÷9m2−n2m．
44．（2023•达州）（1）计算：12+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2−5a−2）÷3−a2a−4，其中a为满足0＜a＜4的整数．
45．（2023•泸州）化简：（4m+5m+1+m﹣1）÷m+2m+1．
46．（2023•重庆）计算：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；
（2）x2x2+2x+1÷（x−xx+1）．

2023年中考数学真题知识点汇编之《分式(解答题)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共46小题）
1．（2023•大连）计算：（1a+3+1a2−9）÷a−22a+6．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝[a−3(a+3)(a−3)+1(a+3)(a−3)]•2(a+3)a−2
=a−2(a+3)(a−3)•2(a+3)a−2
=2a−3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023•日照）（1）化简：8−|1−2|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（x2−2x−2−x）÷x−1x2−4x+4，其中x=−12．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）8−|1−2|+2﹣2﹣2sin45°
＝22−（2−1）+14−2×22
＝22−2+1+14−2
=54；
（2）（x2−2x−2−x）÷x−1x2−4x+4
=x2−2−x(x−2)x−2•(x−2)2x−1
=2x−2x−2•(x−2)2x−1
=2(x−1)x−2•(x−2)2x−1
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x=−12时，原式＝2×（−12）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023•徐州）计算：
（1）|−2023|+π0−(16)−1+16；
（2）(1+1m)÷m2−1m．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂法则、负整数指数幂法则、算术平方根的意义进行计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）|−2023|+π0−(16)−1+16
＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）(1+1m)÷m2−1m
=m+1m÷(m+1)(m−1)m
=m+1m⋅m(m+1)(m−1)
=1m−1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值．
【考点】分式的值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
∴2x+4yx2+4xy+4y2=2(x+2y)(x+2y)2
=2x+2y
=21
＝2，
∴2x+4yx2+4xy+4y2的值为2．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
5．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+2x+1）•x2+xx2−9，其中x＝6．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【解答】解：原式=x+1+2x+1•x(x+1)(x+3)(x−3)
=x+3x+1•x(x+1)(x+3)(x−3)
=xx−3，
当x＝6时，
原式=66−3=2．
【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为xx−3是解题的关键．
6．（2023•通辽）以下是某同学化简分式a−ba÷(a−2ab−b2a)的部分运算过程：
解：原式=a−ba÷a−a−ba÷2ab−b2a⋯⋯第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2⋯⋯第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2⋯⋯第三步
……
（1）上面的运算过程中第 　一　步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则判断得出答案；
（2）利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；

（2）原式=a−ba÷a2−2ab+b2a
=a−ba•a(a−b)2
=1a−b．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
7．（2023•常德）先化简，再求值：x+3x2−4÷(2−x+1x+2)，其中x＝5．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：x+3x2−4÷(2−x+1x+2)
=x+3(x−2)(x+2)÷x+3x+2
=x+3(x−2)(x+2)⋅x+2x+3
=1x−2，
当x＝5时，
原式=15−2
=13．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2023•深圳）先化简，再求值：（1x−1+1）÷x2−1x2−2x+1，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝3代入进行计算即可．
【解答】解：原式=1+x−1x−1•(x−1)2(x+1)(x−1)
=xx−1•x−1x+1
=xx+1，
当x＝3时，原式=33+1=34．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
9．（2023•威海）先化简（a−2a−1a）÷a2−1a，再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出a不能为1，﹣2，2，﹣1，根据a满足﹣2≤a≤3的整数取a＝0，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式=a2−2a+1a÷(a+1)(a−1)a
=(a−1)2a⋅a(a+1)(a−1)
=a−1a+1，
要使分式有意义，a≠0且a﹣1≠0且a+1≠0，
所以a不能为0，1，﹣1，
取a＝2，
当a＝2时，原式=2−12+1=13．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．（2023•辽宁）先化简，再求值：（2x−1x−2−1）÷x+1x2−4，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝（2x−1x−2−x−2x−2）•(x+2)(x−2)x+1
=x+1x−2•(x+2)(x−2)x+1
＝x+2，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．（2023•张家界）先化简（x﹣1−3x+1）÷x2−4x2+2x+1，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．
【解答】解：（x﹣1−3x+1）÷x2−4x2+2x+1
＝[(x−1)(x+1)x+1−3x+1]•(x+1)2x2−4
=x2−4x+1⋅(x+1)2x2−4
＝x+1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，
∴x≠﹣1，
将x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
12．（2023•东营）（1）计算：3tan45°﹣（2023﹣π）0+|23−2|+（14）﹣1−27；
（2）先化简，再求值：x2−xx2+2x+1÷（2x+1−1x），化简后，从﹣2＜x＜3的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【分析】（1）利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算除法即可，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）原式=3×1﹣1+23−2+4﹣33
=3−1+23−2+4﹣33
＝1；
（2）原式=x(x−1)(x+1)2÷2x−(x+1)x(x+1)
=x(x−1)(x+1)2•x(x+1)x−1
=x2x+1，
∵x≠﹣1，x≠0，x≠1，
∴当x＝2时，
原式=43．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂和分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023•菏泽）先化简，再求值：（3xx−y+xx+y）÷xx2−y2，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（3xx−y+xx+y）÷xx2−y2
=3x2+3xy+x2−xy(x−y)(x+y)⋅(x−y)(x+y)x
=2x(2x+y)(x−y)(x+y)⋅(x−y)(x+y)x
＝2（2x+y），
∵2x+y﹣3＝0，
∴2x+y＝3，
∴原式＝2×3＝6．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1−2m+1）÷m2−2m+1m2−m，其中m＝tan60°﹣1．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定m，最后利用二次根式的性质得结论．
【解答】解：原式=m+1−2m+1÷(m−1)2m(m−1)
=m−1m+1×m(m−1)(m−1)2
=mm+1．
当m＝tan60°﹣1=3−1时，
原式=3−13−1+1
=3−13
=3−33．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
15．（2023•鄂州）先化简，再求值：aa2−1−1a2−1，其中 a＝2．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：原式=a−1a2−1
=a−1(a+1)(a−1)
=1a+1，
当a＝2时，
原式=12+1=13．
【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：Ma+1−1a2+a，其中a＝100．
解：原式=a2a(a+1)−1a(a+1)
……
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【专题】分式；运算能力．
【分析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：由题意可得Ma+1=a2a(a+1)=aa+1，
则M＝a，
那么aa+1−1a2+a
=a2a(a+1)−1a(a+1)
=a2−1a(a+1)
=(a+1)(a−1)a(a+1)
=a−1a，
当a＝100时，
原式=100−1100=99100．
【点评】本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．
17．（2023•聊城）先化简，再求值：（aa2−4a+4+a+22a−a2）÷2a2−2a，其中a=2+2．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝[a(a−2)2−a+2a(a−2)]•a(a−2)2
=a2−(a+2)(a−2)a(a−2)2•a(a−2)2
=4a(a−2)2•a(a−2)2
=2a−2，
当a=2+2时，
原式=22+2−2=2．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
18．（2023•福建）先化简，再求值：（1−x+1x）÷x2−1x2−x，其中x=2−1．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式=x−(x+1)x•x(x−1)(x+1)(x−1)
=−1x•xx+1
=−1x+1，
当 x=2−1 时，
原式=−12−1+1
=−22．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（2023•郴州）先化简，再求值：x+3x2−2x+1•x−1x2+3x+1x，其中x＝1+3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=x+3(x−1)2•x−1x(x+3)+1x
=1x(x−1)+x−1x(x−1)
=xx(x−1)
=1x−1，
当x＝1+3时，原式=11+3−1=33．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2023•荆州）先化简，再求值：（2x−yx+y−x2−2xy+y2x2−y2）÷x−yx+y，其中x＝（12）﹣1，y＝（﹣2023）0．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先进行分式的化简，再根据零指数幂，负整数指数幂求出x，y的值，进而代入求值即可．
【解答】解：原式＝[2x−yx+y−(x−y)2(x+y)(x−y)]•x+yx−y
＝（2x−yx+y−x−yx+y）•x+yx−y
=xx+y•x+yx−y
=xx−y，
∵x＝（12）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0＝1，
∴原式=22−1=2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是准确进行分式化简．
21．（2023•十堰）化简：（1−4a+3）÷a2−2a+12a+6．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=a+3−4a+3•2(a+3)(a−1)2
=a−1a+3•2(a+3)(a−1)2
=2a−1．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
22．（2023•陕西）化简：（3aa2−1−1a−1）÷2a−1a+1．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（3aa2−1−1a−1）÷2a−1a+1
=[3a(a−1)(a+1)−a+1(a−1)(a+1)]⋅a+12a−1
=3a−(a+1)(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=2a−1a−1⋅12a−1
=1a−1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（2023•永州）先化简，再求值：（1−1x+1）÷xx2+2x+1，其中x＝2．
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【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
【解答】解：（1−1x+1）÷xx2+2x+1
=x+1−1x+1•(x+1)2x
=xx+1•(x+1)2x
＝x+1，
当x＝2时，
原式＝2+1＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
24．（2023•滨州）先化简，再求值：a−4a÷（a+2a2−2a−a−1a2−4a+4），其中a满足a2−(14)−1⋅a+6cos60°=0．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．
【解答】解：原式=a−4a÷[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]
=a−4a÷[(a+2)(a−2)a(a−2)2−a(a−1)a(a−2)2]
=a−4a÷a2−4−a2+aa(a−2)2
=a−4a•a(a−2)2a−4
＝（a﹣2）2
＝a2﹣4a+4，
∵a2−(14)−1⋅a+6cos60°=0，
∴a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝﹣3+4＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
25．（2023•广元）先化简，再求值； （3x+yx2−y2+2xy2−x2）÷2x2y−xy2，其中x=3+1，y=3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝（3x+yx2−y2−2xx2−y2）÷2x2y−xy2
=3x+y−2x(x−y)(x+y)•xy(x−y)2
=x+y(x−y)(x+y)•xy(x−y)2
=xy2，
当x=3+1，y=3时，
原式=3(3+1)2=3+32．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
26．（2023•随州）先化简，再求值：4x2−4÷2x−2，其中x＝1．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：4x2−4÷2x−2
=4(x+2)(x−2)•x−22
=2x+2，
当x＝1时，原式=21+2=23．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
27．（2023•温州）计算：
（1）|﹣1|+3−8+（13）﹣2﹣（﹣4）；
（2）a2+2a+1−31+a．
【考点】分式的加减法；负整数指数幂；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4
＝12；

（2）原式=a2+2−3a+1
=(a+1)(a−1)a+1
＝a﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
28．（2023•江西）化简（xx+1+xx−1）•x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（xx+1+xx−1）•x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
29．（2023•湖北）化简；x2+1x−1−2xx−1．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的加减运算法则，再结合分式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式=x2+1−2xx−1
=(x−1)2x−1
＝x﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
30．（2023•枣庄）先化简，再求值：(a−a2a2−1)÷a2a2−1，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜5的解集中选取一个合适的整数．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：（a−a2a2−1）÷a2a2−1
＝（a−a2a2−1）•a2−1a2
＝a•a2−1a2−a2a2−1•a2−1a2
=a2−1a−1
=a2−a−1a，
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
∴a＝2，
原式=22−2−12
=12．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．
31．（2023•宜昌）先化简，再求值：a2−4a+4a2−4÷a−2a2+2a+3，其中a=3−3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式=(a−2)2(a+2)(a−2)•a(a+2)a−2+3
=a−2a+2•a(a+2)a−2+3
＝a+3，
当a=3−3时，原式=3−3+3=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
32．（2023•株洲）先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x+1x2+4，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=x+1+1x+1•x+1x2+4
=x+2x2+4，
当x＝3时，原式=3+29+4=513．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
33．（2023•扬州）计算：
（1）（2−3）0−12+tan60°；
（2）a−ba+b÷（b﹣a）．
【考点】分式的乘除法；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣23+3
＝1−3；

（2）原式=a−ba+b•1b−a
=−1a+b．
【点评】本题考查实数及分式的运算，它们的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
34．（2023•安徽）先化简，再求值：x2+2x+1x+1，其中x=2−1．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式=(x+1)2x+1=x+1，
当x=2−1时，
原式=2−1+1
=2．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
35．（2023•烟台）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷（a+2+52−a），其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
【解答】解：原式=(a−3)2a−2÷4−a2+52−a
=(a−3)2a−2•2−a(3−a)(3+a)
=(a−3)2a−2•a−2(a−3)(a+3)
=a−3a+3，
∵a−12≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式a−12≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1，
∴原式=1−31+3=−12．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
36．（2023•苏州）先化简，再求值：a−1a−2•a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=12．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式=a−1a−2•(a−2)(a+2)(a−1)2−2a−1
=a+2a−1−2a−1
=a+2−2a−1
=aa−1，
当a=12时，
原式=1212−1
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
37．（2023•宜宾）（1）计算：2tan45°+（−12）0+|3−1|．
（2）化简：（1x−2−1x+2）÷xx2−4．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）先把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，去绝对值，再合并即可；
（2）通分先算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2×1+1+3−1
＝2+1+3−1
＝2+3；
（2）原式=x+2−(x−2)(x−2)(x+2)•(x+2)(x−2)x
=4(x−2)(x+2)•(x+2)(x−2)x
=4x．
【点评】本题考查实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．
38．（2023•怀化）先化简（1+3a−1）÷a2−4a−1，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式=a−1+3a−1•a−1(a−2)(a+2)
=a+2a−1•a−1(a−2)(a+2)
=1a−2，
当a＝1或2时，分式无意义，
故当a＝﹣1时，原式=−13，
当a＝0时，原式=−12．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
39．（2023•金昌）化简：a+2ba+b−a−ba−2b÷a2−b2a2−4ab+4b2．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．
【解答】解：原式=a+2ba+b−a−ba−2b•(a−2b)2(a−b)(a+b)
=a+2ba+b−a−2ba+b
=4ba+b．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
40．（2023•遂宁）先化简，再求值：x2−2x+1x2−1•（1+1x），其中x＝（12）﹣1．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)•x+1x
=x−1x+1•x+1x
=x−1x
＝1−1x，
∵x＝（12）﹣1＝2，
∴原式＝1−12=12．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
41．（2023•眉山）先化简：（1−1x−1）÷x2−4x−1，再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
【解答】解：（1−1x−1）÷x2−4x−1
=x−2x−1•x−1(x+2)(x−2)
=1x+2，
∵x≠1且x≠±2，
∴当x＝﹣1时，原式＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
42．（2023•广安）先化简（a2a+1−a+1）÷a2−1a2+2a+1，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（a2a+1−a+1）÷a2−1a2+2a+1
=a2−a2+1a+1•(a+1)2(a+1)(a−1)
=1a−1．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式=10−1=−1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
43．（2023•重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+nm）÷9m2−n2m．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；
（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）x（x+6）+（x﹣3）2
＝x2+6x+x2﹣6x+9
＝2x2+9；
（2）(3+nm)÷9m2−n2m
=3m+nm÷(3m+n)(3m−n)m
=3m+nm⋅m(3m+n)(3m−n)
=13m−n．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．
44．（2023•达州）（1）计算：12+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2−5a−2）÷3−a2a−4，其中a为满足0＜a＜4的整数．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）利用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可；
（2）利用分式的混合运算的法则化简后，将x＝1代入运算即可．
【解答】解：（1）原式＝23+4﹣1﹣2×32
＝23+4﹣1−3
=3+3；
（2）原式=(a+2)(a−2)−5a−2⋅2(a−2)−(a−3)
=a2−9a−2⋅2(a−2)−(a−3)
=(a+3)(a−3)a−2⋅2(a−2)−(a−3)
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
∵a为满足0＜a＜4的整数，
∴a＝1，2，3，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1．
当a＝1时，
原式＝﹣2﹣6＝﹣8．
【点评】本题主要考查了实数的运算，用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
45．（2023•泸州）化简：（4m+5m+1+m﹣1）÷m+2m+1．
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【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先算括号里面，再把除法统一成乘法．
【解答】解：原式＝[4m+5m+1+(m−1)(m+1)m+1]×m+1m+2
=m2+4m+4m+1×m+1m+2
=(m+2)2m+1×m+1m+2
＝m+2．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
46．（2023•重庆）计算：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；
（2）x2x2+2x+1÷（x−xx+1）．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】数与式；运算能力．
【分析】（1）先由单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，然后合并同类项即可；
（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．
【解答】解：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）
＝2a﹣a2+a2﹣1
＝2a﹣1．
（2）x2x2+2x+1÷（x−xx+1）
=x2(x+1)2÷x2x+1
=x2(x+1)2×x+1x2
=1x+1．
【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．

考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
4．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
5．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
6．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
7．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
8．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
9．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
10．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
11．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
12．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
13．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
14．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
15．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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