中考数学二轮精品专题复习 函数基础知识

这是一份中考数学二轮精品专题复习 函数基础知识，共53页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《函数基础知识》
一．选择题（共21小题）
1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
2．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023•台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（　　）

A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3
4．（2023•贵州）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
5．（2023•深圳）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　）

A．1552 B．427 C．17 D．53
6．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC 的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
7．（2023•湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
8．（2023•无锡）函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
9．（2023•齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）
​

A． B．
C． D．
10．（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
11．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
​
A．6 B．3 C．43 D．23
12．（2023•广元）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
13．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023•河北）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
15．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　）

A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
16．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023•金昌）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）

A．（4，23） B．（4，4） C．（4，25） D．（4，5）
18．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）

A． B．
C． D．
19．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）

A．（5，5） B．（6，245） C．（325，245） D．（325，5）
20．（2023•广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
21．（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
二．填空题（共15小题）
22．（2023•大连）如图，在数轴上，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 　 　．

23．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　 　．

24．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x−3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，⋯，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 　 　．

25．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x 轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x 轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x 轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 　 　．
​

26．（2023•衡阳）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　 　象限．
27．（2023•巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　 　．
28．（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　 　．

29．（2023•齐齐哈尔）在函数y=1x−1+1x−2 中，自变量x的取值范围是 　 　．
30．（2023•黑龙江）在函数y=x+3中，自变量x的取值范围是　 　．
31．（2023•岳阳）函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是 　 　．
32．（2023•临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+2x的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　 　（只填写序号）．
33．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　 　．

34．（2023•云南）函数y=1x−10的自变量x的取值范围是 　 　．
35．（2023•广安）函数y=x+2x−1的自变量x的取值范围是 　 　．
36．（2023•达州）函数y=2x−1的自变量x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共2小题）
37．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线BC相交于点A．P（t，0）为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）OB的长为 　 　；△OAB的面积为 　 　；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

38．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断y=kt和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．

2023年中考数学真题知识点汇编之《函数基础知识》
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【考点】坐标确定位置．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】B
【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2023•台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（　　）

A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3
【考点】坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；模型思想．
【答案】A
【分析】利用直角坐标系中点的坐标的特点，图形的性质解答．
【解答】解：∵坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，
∴直线L与直线M交点的坐标为（﹣5，﹣3），
∵P点的坐标为（a，b），
∴根据图中P点位置得a＜﹣5，b＞﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标的特点．
4．（2023•贵州）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．小星家离黄果树景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据函数图象得出的信息对4个选项进行分析．
【解答】解：根据图形与y轴交点坐标可得：小星家离黄果树景点的路程为200km，所以A不正确；
（200﹣150）÷1＝50（km/h），小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，所以B不正确；
由图象可得：小星从家出发2小时离景点的路程为75km，所以C不正确；
（150﹣75）÷（2﹣1）＝75（km/h），150÷75+1＝3（h），所以D正确．
【点评】本题主要考查了函数图象的相关知识，难度不大，认真分析即可．
5．（2023•深圳）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　）

A．1552 B．427 C．17 D．53
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝14，
∴点P从点A运动到点所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
6．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC 的重叠部分的面积为y（cm2），则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】A
【分析】先证明菱形PQMN是边长为x，一个角为60°的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【解答】解：作PD⊥AC于点D，作QE⊥AB于点E，

由题意得AP＝x，AQ=3x，
∴AD＝AP•cos30°=32x，
∴AD＝DQ=12AQ，
∴PD是线段AQ的垂直平分线，
∴∠PQA＝∠A＝30°，
∴∠QPE＝60°，PQ＝AP＝x，
∴QE=12AQ=32x，PQ＝PN＝MN＝QM＝x，
当点M运动到直线BC上时，

此时，△BMN是等边三角形，
∴AP＝PN＝BN=13AB＝1，x＝1；
当点Q、N运动到与点C，B重合时，

∴AP＝PN=12AB=32，x=32；
当点P运动到与点B重合时，
∴AP＝AB＝3，x＝3；
∴当0＜x≤1时，y＝x•32x=32x2，
当1＜x≤32时，如图，作FG⊥AB于点G，交QM于点R，

则BN＝FN＝FB＝3﹣2x，FM＝MS＝FS＝3x﹣3，FR=32（3x﹣3），
∴y=32x2−12（3x﹣3）•32（3x﹣3）=−734x2+932x−934，
当32＜x＜3时，如图，作HI⊥AB于点I，

则BP＝PH＝HB＝3﹣x，HI=32（3﹣x），
∴y=12•（3﹣x）•32（3﹣x）=34x2−332x+932，
综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
7．（2023•湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．
【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，
∴y1中从0开始，高度与注水时间成正比，
当到达t1时，
铁桶中水满，所以高度不变，
y2表示水池中水面高度，
从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，
t1到t2时注水从0开始，
又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，
∴注水高度y2比y1增长的慢，即倾斜程度低，
t2到t3时注水底面积为长方体的底面积，
∴注水高度y2增长的更慢，即倾斜程度更低，
长方体水池有水溢出一会儿为止，
∴t3到t4，注水高度y2不变．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．解题的关键是倾斜程度的意义的理解．
8．（2023•无锡）函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分母不为0可得x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
9．（2023•齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）
​

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据点N的运动情况，写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：0≤x≤4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：
设AM＝BN＝x，
∴CN＝4﹣x，
S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC
＝4×4−12×4x−12×（4﹣x）x−12×4×（4﹣x）
=12（x﹣2）2+6；
∴该二次函数图象开口向上，
当x＝2时，二次函数的最小值为6；
当x＝0或4时，二次函数的最大值为8；
故选：A．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
10．（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接BD，过B作BE⊥AD于E，根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根据相似三角形的性质得到∠ANM＝∠AEB＝90°，当0＜t＜4时，点M在AB上，当4≤t＜8时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0＜t＜4时，点M在AB上，

在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED=12AD＝2，BE=3AE＝23，
∵AM＝2x，AN＝小，
∴AMAN=ABAE=2，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABN，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴MN=AM2−AN2=3x，
∴y=12x×3x=32x2，
当4≤t＜8时，点M在BC上，

y=12AN⋅BE=12x×23=3x，
综上所述，当0＜x＜4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4≤t＜8时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
11．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
​
A．6 B．3 C．43 D．23
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO=23，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为43，可知AO＝OB=23，过点O作OC⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB＝PC，AO=23，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为43，
∴OB=23，即AO＝OB=23，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OC⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，
∴AB＝AD+BD＝6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
12．（2023•广元）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
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【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，即可得解．
【解答】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．
13．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D．
【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；
由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
14．（2023•河北）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
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【专题】函数及其图象；创新意识．
【答案】D
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是半径R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，据此得出结论即可．
【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，
∵两个人机器人速度相同，
∴同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A、C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是半径R，保持不变，
当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B；
故选：D．
【点评】本题考查动点函数图象，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
15．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　）

A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】数形结合；函数及其图象；空间观念；推理能力．
【答案】B
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45=x+y+z−210010，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），
小温游玩行走的时间大205﹣100＝105（分钟），
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米
由图象可得：x+y+z45=x+y+z−210010，
解得：x+y+z＝2700，
∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，
∴x+y＝2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
16．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
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【专题】跨学科；函数及其图象；推理能力．
【答案】B
【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．
【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．
【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．
17．（2023•金昌）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）

A．（4，23） B．（4，4） C．（4，25） D．（4，5）
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【专题】动点型；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB＝4，EC＝ED=12AB=12×4＝2，
∴BE=BC2+CE2=42+22=25，
∴M（4，25），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．
18．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）

A． B．
C． D．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
19．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）

A．（5，5） B．（6，245） C．（325，245） D．（325，5）
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP=AC⋅BCAB=8×610=245，AP=AC2−CP2=82−(245)2=325，
∴函数图象最低点E的坐标为（325，245），
故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（2023•广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；函数及其图象；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意可将铁块被拉起的过程分为三段：当铁块露出水面之前，根据F拉+F浮＝G分析得出弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，根据F拉+F浮＝G分析得弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，根据F拉＝G分析得弹簧测力计的读数不变．以此即可判断函数图象．
【解答】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，F拉+F浮＝G，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，F拉+F浮＝G，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，F拉＝G，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．
综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象，涉及与浮力有关物理知识，利用分类讨论思想分析得出不同过程中弹簧测力计读数的变化情况是解题关键．
21．（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据图象逐个分析即可．
【解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
22．（2023•大连）如图，在数轴上，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 　1+5　．

【考点】坐标与图形性质；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】1+5，
【分析】在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB=5，则AB＝BC=5，进而求得OC＝1+5，据此即可求解．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=22+12=5，
∵以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，
∴AB＝BC=5，
∴OC＝OB+BC＝1+5，
∴点C的横坐标为1+5．
故答案为：1+5，
【点评】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理正确求出AB的长是解题关键．
23．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　﹣1　．

【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
24．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x−3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，⋯，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 　（1+33）2022　．

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】规律型；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1+33）2022．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5……的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴OA1＝A1B1＝OC1＝1，
∴点B1（1，1），
B1的横坐标为1；
∴y＝1时，1=3x−3，
解得：x=1+33，
∴点A2的坐标为（1+33，1），
A2B2C2C1是正方形，
∴A2B2＝C2C1＝A2C1=1+33，
∴点B2（1+33，2+33），
即B2的横坐标为1+33；
当y＝2+33时，2+33=3x−3，
解得：x=23（3+2），
∴点A3（23（3+2），2+33），
∵A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3＝C3C2＝A3C2=23（3+2），
∴点B3的横坐标为23（3+2）＝（1+33）2，
……，
以此类推，则点B2023的横坐标是（1+33）2022．
故答案为：（1+33）2022．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，数形结合是解答本题的关键．
25．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x 轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x 轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x 轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 　（4−122021，122021）　．
​

【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】（4−122021，122021）．
【分析】根据题意，结合图形依次求出 A1，A2，A3 的坐标，再根据其规律写出 A2023 的坐标即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，
∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，
∵OA1⊥AB，
∴△OA1B 是等腰直角三角形，
同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，
∴A1（2，2），
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4−12，12），A4（4−122，122），
由此可推出：点A2023的坐标为（4−122021，122021），
故答案为：（4−122021，122021）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出A1，A2，A3 的坐标，找出其坐标的规律．
26．（2023•衡阳）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　三　象限．
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】三．
【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
27．（2023•巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　1　．
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】1．
【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a为正整数，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是（+，+），第二象限内的点的坐标特征是（﹣，+），第三象限内的点的坐标特征是（﹣，﹣），第四象限内的点的坐标特征是（+，﹣）．
28．（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　（3，150°）　．

【考点】坐标与图形性质；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】（3，150°）．
【分析】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．
【解答】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为（3，150°）．
故答案为：（3，150°）．
【点评】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
29．（2023•齐齐哈尔）在函数y=1x−1+1x−2 中，自变量x的取值范围是 　x＞1且x≠2　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x＞1且x≠2．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案．
【解答】解：已知函数为y=1x−1+1x−2，
则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，
解得：x＞1且x≠2，
故答案为：x＞1且x≠2．
【点评】本题考查求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件及分母不能为0求得x﹣1＞0，且x﹣2≠0是解题的关键．
30．（2023•黑龙江）在函数y=x+3中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
31．（2023•岳阳）函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≠2．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
32．（2023•临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+2x的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　②③④　（只填写序号）．
【考点】函数值．菁优网版权所有
【专题】探究型；几何直观．
【答案】②③④．
【分析】由题意，利用图象法作答，可以得解．
【解答】解：如图所示，

∴当x＜﹣1时，x越小，函数值越大，故①错误．
当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确．
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确．
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了探究函数的增减性问题，解题时需要灵活运用方法是关键．
33．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　732　．

【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】732．
【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，

∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，
在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，
∴AQ=AB2−BQ2=82−42=43，
∵S△ABC=12AB×CG=12AQ×BC，
∴CG=BC×AQAB=7×438=732．
故答案为：732．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
34．（2023•云南）函数y=1x−10的自变量x的取值范围是 　x≠10　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≠10．
【分析】根据分式的分母不能为0即可求得答案．
【解答】解：已知函数为y=1x−10，
则x﹣10≠0
即x≠10，
故答案为：x≠10．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
35．（2023•广安）函数y=x+2x−1的自变量x的取值范围是 　x≥﹣2且x≠1　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解
【解答】解：根据题意得：x+2≥0x−1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
36．（2023•达州）函数y=2x−1的自变量x的取值范围是 　x＞1　．
【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；运算能力．
【答案】x＞1．
【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
三．解答题（共2小题）
37．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线BC相交于点A．P（t，0）为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）OB的长为 　4　；△OAB的面积为 　83　；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）4，83；
（2）S=−12t2+83(0≤t≤43)14t2−2t+4(43＜t＜4)．
【分析】（1）由t＝0时，P与O重合，得S=83，t＝4时，P与B重合，得OB＝4；
（2）设A（a，a），由12×4a=83，得a=43，A（43，43）；分两种情况：当0≤t≤43时，设OA交PD于E，可得PE＝PO＝t，S△POE=12t2，故S=83−S△POE=83−12t2；当43＜t＜4时，求出直线AB解析式为y=−12x+2，可得C（0，2），由tan∠CBO=DPPB=OCOB=24=12，得DP=12PB=12（4﹣t）＝2−12t，故S＝S△DPB=12DP•PB=12（2−12t）×（4﹣t）=14t2﹣2t+4．
【解答】解：（1）t＝0时，P与O重合，此时S＝S△ABO=83，
t＝4时，S＝0，P与B重合，
∴OB＝4，B（4，0），
故答案为：4，83；
（2）∵A在直线y＝x上，
∴∠AOB＝45°，
设A（a，a），
∴S△ABO=12OB•a，即12×4a=83，
∴a=43，
∴A（43，43）；
当0≤t≤43时，设OA交PD于E，如图：

∵∠AOB＝45°，PD⊥OB，
∴△PEO是等腰直角三角形，
∴PE＝PO＝t，
∴S△POE=12t2，
∴S=83−S△POE=83−12t2；
当43＜t＜4时，如图：

由A（43，43），B（4，0）得直线AB解析式为y=−12x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∵tan∠CBO=DPPB=OCOB=24=12，
∴DP=12PB=12（4﹣t）＝2−12t，
∴S＝S△DPB=12DP•PB=12（2−12t）×（4﹣t）=14（4﹣t）2=14t2﹣2t+4；
综上所述，S=−12t2+83(0≤t≤43)14t2−2t+4(43＜t＜4)．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
38．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断y=kt和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【考点】函数的概念．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝5t+2；
（2）①102毫升；②144天．
【分析】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（2）①当t＝20时，求出y的值即可；
②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
∴k+b=72k+b=12，
∴k=5b=2，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，
∴7200×301500=144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

考点卡片
1．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
3．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
4．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
5．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
6．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
7．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
8．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/10 12:08:49；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966