中考数学二轮精品专题复习 四边形(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 四边形(填空题)，共51页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(填空题)》
一．填空题（共37小题）
1．（2023•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　 　．

2．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　 　．

3．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于　 　°．
4．（2023•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD=3，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 　 　．

5．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 　 　dm2．

6．（2023•兰州）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　 　°．

7．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形．
​

8．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　 　边形．
9．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　 　，使得矩形ABCD为正方形．

10．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　．
11．（2023•福建）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　 　．

12．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　 　．

13．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　．

14．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　．

15．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　 　．
16．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　 　．

17．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　 　．

18．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　 　．

19．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　．

20．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　．
21．（2023•内江）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　 　．

22．（2023•内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　．

23．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　 　．
24．（2023•天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=52．
（1）△ADE的面积为 　 　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　 　．

25．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 　 　．

26．（2023•株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　 　．
​

27．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　．

28．（2023•上海）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD＝BD，DE∥BC，联结DE，设向量AB→=a→，AC→=b→，那么用a→，b→表示DE→=　 　．

29．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　．

30．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　 　．
31．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 　 　．

32．（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 　 　．

33．（2023•金昌）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝　 　cm．

34．（2023•云南）五边形的内角和等于 　 　度．
35．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　 　．
36．（2023•凉山州）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 　 　．

37．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 　 　．


2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共37小题）
1．（2023•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　3104　．

【考点】正方形的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，首先证四边形CMFN为正方形，再设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，BE＝5，EM＝2﹣a，然后证△EFM和△EAB相似，由相似三角形的性质求出a，进而在Rt△AFN中由勾股定理即可求出DF．
【解答】解：过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，

∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，
∴∠ACB＝90°，BC＝AB＝CD＝3，
∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠ACB＝∠B＝90°，
∴四边形CMFN为矩形，
又∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，
∴FM＝FN，
∴四边形CMFN为正方形，
∴FM＝FN＝CM＝CN，
设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，
∵CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝5，EM＝CE﹣CM＝2﹣a，
∵∠B＝90°，FM⊥CE，
∴FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB＝EM：BE，
即：a：3＝（2﹣a）：5，
解得：a=34，
∴FN=CN=35，
∴DN=CD−CN=3−34=94，
在Rt△AFN中，DN=94，FN=34，
由勾股定理得：DF=DN2+FN2=3104．
故答案为：3104．
【点评】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
2．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　5　．

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC是等边三角形，BC＝BD＝10，而点F为BC中点，故EF=12BC＝5．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝BD＝10，
∵点F为BC中点，
∴EF=12BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于　72　°．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆．
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：正五边形的一个外角=360°5=72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
4．（2023•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD=3，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 　3−12　．

【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=2，求得AB=12AC，得到∠ACB＝30°，求得∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，根据等边三角形的判定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF＝45°，得到BF＝AB＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，AD=3，
∴AC=AB2+BC2=2，
∴AB=12AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝75°，
∴∠CAE＝15°，
过E作EF⊥AC于H，交BC于F，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EH＝FH，
∴∠EAH＝∠FAH＝15°，
∴∠BAF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AB＝1，
∵BC=3，
∴CF＝EF=3−1，
∴EH=12EF=3−12，
∴四边形ABCE的面积＝S△ABC+S△AEC=12×3×1+12×2×3−12=3−12，
故答案为：3−12，

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形 的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
5．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 　2　dm2．

【考点】正方形的性质；七巧板；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解．
【解答】解：如图所示，

依题意，OD=22AD＝22，OE=12OD=2，
∴图中阴影部分的面积为OE2＝（2）2＝2（dm2），
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023•兰州）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　50　°．

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】因为BD＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性质可求∠DAE，即可求解．
【解答】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．
7．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　AD∥BC（AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等）　，使四边形ABCD成为菱形．
​

【考点】菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据AD∥BC或AB＝CD或或ADB＝∠CBD，证得四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD可证得四边形ABCD是菱形；根据OB＝OD，证得Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），得到AO＝CO，DO＝BO，可证得四边形ABCD是菱形．
【解答】解：当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“AB＝CD”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，
∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“ADB＝∠CBD”时，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答．
8．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　五　边形．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设此多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　AB＝AD（答案不唯一）　，使得矩形ABCD为正方形．

【考点】正方形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的判定方法添加即可．
【解答】解：AB＝AD．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
10．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1+2　．
【考点】矩形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，

则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2；
如图2，当∠NMD＝90°时，

则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BN=2AB=2，
∴AD＝AN+DN＝1+2，
综上所述，AD的长为2或1+2．
故答案为：2或1+2．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
11．（2023•福建）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　10　．

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝10．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABC是等边三角形．
12．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　24　．

【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OC=12BC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵由EF是线段BC的垂直平分线，
∴EF⊥BC，OB＝OC=12BC＝4，
∵CE＝5，
∴OE=CE2−OC2=52−42=3．
∵CF∥BE，
∴∠OCF＝∠OBE，
在△OCF与△OBE中，
∠COF=∠BOEOC=OB∠OCF=∠OBE，
∴△OCF≌△OBE（ASA），
∴OE＝OF＝3，
∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC
=12BC•OE+12BC•OF
=12×8×3+12×8×3
＝12+12
＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出OE＝OF是解题的关键．
13．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　10　．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由平行线四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，因此∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，又OD＝OB，即可证明△DOF≌△BOE（AAS），得到FD＝BE，于是得出CF＝AE＝10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD﹣DF＝AB﹣BE，
∴CF＝AE＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由△DOF≌△BOE推出DF＝BE，由平行线的性质得到CD＝AB，推出CF＝AE．
14．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　2　．

【考点】正方形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 MN=12AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到 AE=AB2+BE2=4+BE2，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点 C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．
【解答】解：如图所示，连接AE，

∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN=12AE，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴AE=AB2+BE2=4+BE2，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 AE=4+22=22，
∴MN=12AE=2，
∴MN的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　62°　．
【考点】菱形的性质；中心对称．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC＝28°，那么∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°，
∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，
∴AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC＝28°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．
故答案为：62°．

【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
16．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　6　．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接AC交BD于点O，先根据菱形的面积公式计算出对角线AC的长，再证△BEF∽△BAC，得出EFAC=BEBA，同理可证△DHG∽△DAC，得出GHAC=DHDA，两式相加，即可求出EF+GH的值．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∵菱形的面积等于24，BD＝8，
∴AC⋅BD2=24，
∴AC＝6，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE＝180°﹣∠EBF，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠BEF＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BEBA，
∵BA＝DA，
∴EFAC=BEAD，
同理可证△DHG∽△DAC，
∴GHAC=DHDA，
∴EFAC+GHAC=BEAD+DHAD，
即EF+GHAC=BE+DHAD=AH+DHAD=ADAD=1，
∴EF+GH＝AC＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出EF+GH＝AC是此题的关键．
17．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　22　．

【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由题意知△CDE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'，PN＝PN'，PM+PN＝4．即PM+PN'＝4，BC＝4，BM＝BN，所以此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，PM＝PN'＝2，PC＝22．
【解答】解：∵DE＝AB＝CD＝3，
∴△CDE是等腰直角三角形，
作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'，如图：

∵PM+PN＝4．
∴PM+PN'＝4＝BC，即MN'＝4，
此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，
∴PM＝PN'＝2，
∴PC＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
18．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　22　．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得到OB=12BD，OA=12AC，AC＝BD，根据三角形的面积公式得到AN＝BM，根据全等三角形的性质得到ON＝OM，FM＝EN，设FM＝EN＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，
∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=12BD，OA=12AC，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵S△AOB=12OB•AN=12OA•BM，
∴AN＝BM，
∴Rt△AON≌Rt△BOM（HL），
∴ON＝OM，
∴BN＝AM，
∵AE＝BF，
∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL），
∴FM＝EN，
设FM＝EN＝x，
∵AF＝1，BE＝3，
∴BN＝3﹣x，AM＝1+x，
∴3﹣x＝1+x，
∴x＝1，
∴FM＝1，
∴AM＝2，
∵AB＝5，
∴BM=AB2−AM2=21，
∴BF=FM2+BM2=1+21=22，
故答案为：22．

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　10°或80°　．

【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．
【解答】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．

【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　5　．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．
【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
21．（2023•内江）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　12−43　．

【考点】正方形的性质；锐角三角函数的定义；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，先利用60°角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BCD＝90°，
∵△BPC是等边三角形，
∴PC＝BC＝4，∠PCB＝60°，
在Rt△PFC中，sin60°=PFPC，
即32=PF4，
∴PF=23，
∴S△BPC=12BC⋅PF=12×4×23=43，
∵∠BCD＝90°，∠PCB＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∴PE=12PC=12×4=2，
∴S△PCD=12CD⋅PE=12×4×2=4，
∵S正方形ABCD=42=16，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BPC﹣S△PCD
=16−43−4
=12−43，
故答案为：12−43．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键．
22．（2023•内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　6013　．

【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=13，求得OB＝OC=132，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC=AB2+BC2=13，
∴OB＝OC=132，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE=12×OB•EG+12OC•EF=12S△ABC=12×12×5×12=15，
∴12×132EG+12×132EF=12×132(EG+EF)=15，
∴EG+EF=6013，
故答案为：6013．

【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　6　．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键．
24．（2023•天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=52．
（1）△ADE的面积为 　3　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　13　．

【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM=12AD=32，根据勾股定理得到EM=AE2−AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根据全等三角形的性质得到EN＝AB＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过E作EM⊥AD于M，
∵EA=ED=52．AD＝3，
∴AM＝DM=12AD=32，
∴EM=AE2−AM2=2，
∴△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；
故答案为：3；
（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△ABF与△NEF中，
∠ABF=∠NEFBF=EF∠AFB=∠NFE，
∴△ABF≌△NEF（ASA），
∴EN＝AB＝3，
∴MN＝1，
∵PM∥CD，
∴AN＝NG，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG=AD2+GD2=13，
故答案为：13．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 　38　．

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；比的应用．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接BB'，过点F作FH⊥AD，设CF＝x，则DH＝x，BF＝1﹣x，根据已知条件，分别表示出AE、EH、HD，证明△EHF≌△B'CB，得出EH＝B'C=54−2x，在Rt△B'FC中，根据勾股定理建立方程即可解答．
【解答】解：如图，连接BB'，过点F作FH⊥AD，

∵已知正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，
∴S四边形ABFE=38×1=38，
设CF＝x，则DH＝x，BF＝1﹣x，
∴S四边形ABFE=12×(AE+BF)×AB=38，
即12(AE+1−x)×1=38，
解得AE＝x−14，
∴DE＝1﹣AE=54−x，
∴EH＝ED﹣HD=54−x−x=54−2x，
由折叠的性质可得BB'⊥EF，
∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C，
∴△EHF≌△B'CB（ASA），
∴EH＝B'C=54−2x，
在Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2，
∴（1﹣x）2＝x2+（54−2x）2，
解得x=38．
故答案为：38．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
26．（2023•株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　2　．
​

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠DEA＝∠EAB，再由角平分线的定义可得∠EAB＝∠DAE，从而求得∠AED＝∠DAE，则AD＝DE，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形；
∴AD∥BC，DC＝AB．
∴∠DEA＝∠EAB，
∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD＝3，AB＝5，
∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　172　．

【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD＝90°，F为DE的中点，则CF＝EF＝DF，△CEF的周长为32，CE＝7，则CF+EF＝25，即DE＝25，根据勾股定理可得CD＝24＝BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答．
【解答】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BCD＝90°，O是中点，
∵F为DE的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∵△CEF的周长为32，CE＝7，
∴CF+EF＝25，即DE＝25，
在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24＝BC，
∴BE＝24﹣7＝17，
根据三角形的中位线可得OF=12BE=172．
故答案为：172．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键．
28．（2023•上海）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD＝BD，DE∥BC，联结DE，设向量AB→=a→，AC→=b→，那么用a→，b→表示DE→=　13b→−13a→　．

【考点】*平面向量；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】由三角形法则求得BC→的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段DE的长度，继而求得向量DE→的值．
【解答】解：在△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，则BC→=AC→−AB→=b→−a→．
∵2AD＝BD，DE∥BC，
∴DEBC=ADAD+BD=ADAD+2AD=13．
∴DE=13BC．
∴DE→=13BC→，即DE→=13b→−13a→．
故答案为：13b→−13a→．
【点评】本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
29．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　25　．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠CFB∠AEB=∠FBCBE=CB，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得BF=BC2−FC2=62−42=25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
30．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　24　．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，由△DAC的面积=12AC•OD，△BAC的面积=12AC•OB，得到菱形ABCD的面积=12AC•（OD+OB）=12AC•BD，即可求出菱形的面积．
【解答】解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积=12AC•OD，△BAC的面积=12AC•OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积=12AC•（OD+OB）=12AC•BD=12×8×6＝24．
故答案为：24．

【点评】本题考查菱形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式，得到菱形ABCD的面积=12AC•BD．
31．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 　3　．

【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．
【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵AE＝PE，
∴四边形AFPE为正方形，
∴AE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
32．（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 　10　．

【考点】正方形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】根据同角的余角相等可得∠DGH＝∠ABG，进而得到tan∠DGH＝tan∠ABG=12，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝4，于是可求得BG=AG2+AB2=45，DG＝4，在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH＝2，于是可求得GH=DH2+DG2=25，在Rt△BGH中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴∠A＝∠BGF＝∠D＝90°，
∴∠AGB+∠DGH＝90°，
∵∠AGB+∠ABG＝90°，
∴∠DGH＝∠ABG，
∴tan∠DGH＝tan∠ABG=12，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴AB＝AD＝8，
在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝8×12=4，
∴BG=AG2+AB2=42+82=45，
∴DG＝AD﹣AG＝4，
在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH=4×12=2，
∴GH=DH2+DG2=22+42=25，
在Rt△BGH中，BH=BG2+GH2=(45)2+(25)2=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出∠DGH＝∠ABG，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．
33．（2023•金昌）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝　23　cm．

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD 根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×AB2−BO2=63（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，
则AO＝CO，BO＝OD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴BD＝AB＝6cm，
∴AO=AB2−BO2=33（cm），
∴AC＝2AO＝63（cm），
∵BE⊥AB，DF⊥CD，
∴∠CDF＝∠ABE＝90°，
∴△CDF≌△ABE（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE＝CF=ABcos30°=632=43（cm），
∴EF＝AE+CF﹣AC＝23（cm），
故答案为：23．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
34．（2023•云南）五边形的内角和等于 　540　度．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】直接根据n边形的内角和＝（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n﹣2）•180°．
35．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　800°　．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，
故答案为：800°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
36．（2023•凉山州）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 　（4，2）　．

【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】延长BC交y轴于点D，由平行四边形的性质得BC＝OA，BC∥OA，再证BC⊥y轴，然后求出BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，则BD＝CD+BC＝4，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BC交y轴于点D，

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
37．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 　36°　．

【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA=180°−∠B2=180°−108°2=36°，
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．

考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．

3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

13．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
16．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

17．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
20．*平面向量
平面向量．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
22．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
23．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
24．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
25．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
26．比的应用
比的应用
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