中考数学二轮精品专题复习 因式分解

这是一份中考数学二轮精品专题复习 因式分解，共25页。试卷主要包含了因式分解，分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学真题知识点汇编之《因式分解》
一．选择题（共4小题）
1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
2．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
4．（2023•台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（　　）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
二．填空题（共41小题）
5．（2023•贵州）因式分解：x2﹣4＝　 　．
6．（2023•赤峰）分解因式：x3﹣9x＝　 　．
7．（2023•金昌）因式分解：ax2﹣2ax+a＝　 　．
8．（2023•云南）分解因式：x2﹣4＝　 　．
9．（2023•辽宁）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　 　．
10．（2023•常德）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　 　．
11．（2023•广西）分解因式：a2+5a＝　 　．
12．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝　 　．
13．（2023•扬州）分解因式：xy2﹣4x＝　 　．
14．（2023•邵阳）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　 　．
15．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝　 　．
16．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝　 　．
17．（2023•永州）2a2与4ab的公因式为 　 　．
18．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　 　．
19．（2023•内江）分解因式：x3﹣xy2＝　 　．
20．（2023•金华）因式分解：x2+x＝　 　．
21．（2023•菏泽）因式分解：m3﹣4m＝　 　．
22．（2023•深圳）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　 　．
23．（2023•东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　 　．
24．（2023•张家界）因式分解：x2y+2xy+y＝　 　．
25．（2023•无锡）分解因式：4﹣4x+x2＝　 　．
26．（2023•长沙）分解因式：a2﹣100＝　 　．
27．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　 　．
28．（2023•济宁）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝　 　．
29．（2023•兰州）因式分解：x2﹣25y2＝　 　．
30．（2023•日照）分解因式：a3b﹣ab＝　 　．
31．（2023•株洲）因式分解：x2﹣2x+1＝　 　．
32．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝　 　．
33．（2023•上海）分解因式：n2﹣9＝　 　．
34．（2023•苏州）因式分解：a2+ab＝　 　．
35．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝　 　．
36．（2023•宜宾）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　．
37．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　．
38．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　 　．
39．（2023•成都）因式分解：m2﹣3m＝　 　．
40．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　 　；第23个智慧优数是 　 　．
41．（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝　 　．
42．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝　 　．
43．（2023•凉山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 　 　．
44．（2023•长春）分解因式：m2﹣1＝　 　．
45．（2021•嘉鱼县模拟）分解因式：x2y﹣y3＝　 　．
三．解答题（共1小题）
46．（2023•齐齐哈尔）（1）计算：|3−1|−4sin30°+(12)−1+(4−π)0；
（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．

2023年中考数学真题知识点汇编之《因式分解》
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．
【解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
【点评】本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
2．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
3．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【答案】A
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
4．（2023•台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（　　）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），
∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
二．填空题（共41小题）
5．（2023•贵州）因式分解：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
6．（2023•赤峰）分解因式：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
7．（2023•金昌）因式分解：ax2﹣2ax+a＝　a（x﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
8．（2023•云南）分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
9．（2023•辽宁）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　m（m﹣2）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m3﹣4m2+4m
＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2．
故答案为：m（m﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（2023•常德）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　a（a+b）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（a+b）2．
【分析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解．
【解答】解：a3+2a2b+ab2
＝a（a2+2ab+b2）
＝a（a+b）2．
故答案为：a（a+b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（2023•广西）分解因式：a2+5a＝　a（a+5）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
12．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．（2023•扬州）分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2023•邵阳）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　3（a+b）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3a2+6ab+3b2，
＝3（a2+2ab+b2），
＝3（a+b）2．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
15．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【答案】m（m﹣3）．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】2a（a﹣1）．
【分析】直接提取公因式2a，进而分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．
故答案为：2a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．（2023•永州）2a2与4ab的公因式为 　2a　．
【考点】公因式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】2a．
【分析】根据公因式的定义解答即可．
【解答】解：2a2与4ab的公因式是2a．
故答案为：2a．
【点评】本题考查了公因式，能熟记公因式的定义是解此题的关键．
18．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　6　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；应用意识．
【答案】6
【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可．
19．（2023•内江）分解因式：x3﹣xy2＝　x（x+y）（x﹣y）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】x（x+y）（x﹣y）．
【分析】提公因式x再运用平方差公式即可解答．
【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．（2023•金华）因式分解：x2+x＝　x（x+1）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法．
21．（2023•菏泽）因式分解：m3﹣4m＝　m（m+2）（m﹣2）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】m（m+2）（m﹣2）
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2023•深圳）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　42　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】42．
【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝7×6
＝42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了因式分解．
23．（2023•东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　3m（a﹣b）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】3m（a﹣b）2．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案为：3m（a﹣b）2．
【点评】本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
24．（2023•张家界）因式分解：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】y（x+1）2．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x2y+2xy+y
＝y（x2+2x+1）
＝y（x+1）2．
故答案为：y（x+1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
25．（2023•无锡）分解因式：4﹣4x+x2＝　（2﹣x）2　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（2﹣x）2．
【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：4﹣4x+x2＝（2﹣x）2；
故答案为：（2﹣x）2．
【点评】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．
26．（2023•长沙）分解因式：a2﹣100＝　（a+10）（a﹣10）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（a+10）（a﹣10）．
【分析】根据公式法因式分解即可．
【解答】解：a2﹣100＝（a+10）（a﹣10），
故答案为：（a+10）（a﹣10）．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
27．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　（x+y）（x﹣z）　．
【考点】因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x+y）（x﹣z）．
【分析】利用分组分解法及提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）
＝x（x+y）﹣z（x+y）
＝（x+y）（x﹣z），
故答案为：（x+y）（x﹣z）．
【点评】本题考查因式分解，将原式分组为（x2+xy）﹣z（x+y）是解题的关键．
28．（2023•济宁）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝　8　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】8．
【分析】由已知条件可得m2﹣m＝1，将2m3﹣3m2﹣m+9先变形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后将m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再将m2﹣m＝1代入运算即可．
【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴2m3﹣3m2﹣m+9
＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9
＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9
＝2m﹣m2﹣m+9
＝﹣m2+m+9
＝﹣（m2﹣m）+9
＝﹣1+9
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解题的关键．
29．（2023•兰州）因式分解：x2﹣25y2＝　（x﹣5y）（x+5y）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x﹣5y）（x+5y）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y）．
故答案为：（x﹣5y）（x+5y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
30．（2023•日照）分解因式：a3b﹣ab＝　ab（a+1）（a﹣1）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式ab，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．
【解答】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．
故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
31．（2023•株洲）因式分解：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】x（x﹣3）．
【分析】提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x•x﹣x•3
＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
33．（2023•上海）分解因式：n2﹣9＝　（n+3）（n﹣3）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】整式；应用意识．
【答案】（n+3）（n﹣3）．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【解答】解：n2﹣9＝（n+3）（n﹣3），
故答案为：（n+3）（n﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
34．（2023•苏州）因式分解：a2+ab＝　a（a+b）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2+ab＝a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
35．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝　（x+y）（x﹣y）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案是：（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键．
36．（2023•宜宾）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　x（x﹣3）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
37．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
38．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　x2﹣1（答案不唯一）．　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】x2﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，
故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
39．（2023•成都）因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【答案】m（m﹣3）．
【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
40．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　15　；第23个智慧优数是 　57　．
【考点】因式分解的应用；一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】新定义；数据分析观念．
【答案】15，57．
【分析】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．
【解答】解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，
当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，
当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，
当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，
当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，
以此类推，
当m＝6时，有4个智慧优数，
同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，智慧优数虽然不会重复，但产生方式却会．举例：24是一个智慧数，却可以有两种方式产生：m＝7，n＝5和m＝5，n＝1．
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的，所以需要将智慧优数进行一一列出，并进行比较．
第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，
第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，
故答案为：15，57．
【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．
41．（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝　x（x﹣2）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】x（x﹣2）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2．
故答案为：x（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
42．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式．菁优网版权所有
【答案】（x+3）（x﹣3）．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
43．（2023•凉山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 　2023　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】2023．
【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，将所求式子变形为3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴3x3﹣10x2+5x+2027
＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027
＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027
＝3x﹣4﹣3x+2027
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．
44．（2023•长春）分解因式：m2﹣1＝　（m+1）（m﹣1）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【答案】（m+1）（m﹣1）．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
45．（2021•嘉鱼县模拟）分解因式：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
三．解答题（共1小题）
46．（2023•齐齐哈尔）（1）计算：|3−1|−4sin30°+(12)−1+(4−π)0；
（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）2a（a﹣3）2．
【分析】（1）根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式=3−1﹣4×12+2+1
=3−1﹣2+2+1
=3；
（2）原式＝2a（a2﹣6a+9）
＝2a（a﹣3）2．
【点评】本题考查实数的运算及因式分解，特别注意因式分解必须彻底．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
4．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
5．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
6．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
9．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
10．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
12．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
13．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
14．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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