中考数学二轮精品专题复习 圆(选择题一)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 圆(选择题一)，共42页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题一)》
一．选择题（共32小题）
1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（　　）
A．2π B．3π C．32π D．12π
2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2023•赤峰）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）

A．30cm B．303cm C．60cm D．20πcm
4．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．16π
5．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）

A．2+π6 B．2+π3 C．22+π6 D．22+π3
6．（2023•内蒙古）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
7．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）

A．52π−74 B．52π−72 C．54π−74 D．54π−72
8．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）

A．π B．3π C．2π D．2π−3
9．（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若ABCD=13，则sinC的值是（　　）

A．23 B．53 C．34 D．74
11．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
12．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（　　）

A．70° B．105° C．125° D．155°
13．（2023•兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则AB=（　　）

A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
14．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．53−33π B．53−4π C．53−2π D．103−2π
15．（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）

A．20° B．40° C．50° D．80°
16．（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
17．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）

A．20m B．28m C．35m D．40m
18．（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°
19．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　）

A．3 B．22 C．3 D．23
20．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，则AC的长为（　　）

A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm
21．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　）

A．60° B．54° C．48° D．36°
22．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（　　）

A．56° B．33° C．28° D．23°
23．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A．14πcm2 B．13πcm2 C．12πcm2 D．πcm2
24．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（　　）

A．25π16 B．25π8 C．25π6 D．25π4
25．（2023•十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）

A．5 B．33 C．32 D．63
26．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD=3，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）

A．10°，1 B．10°，2 C．15°，1 D．15°，2
27．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　）

A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
28．（2023•十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）

A．43 B．7 C．8 D．45
29．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题一)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共32小题）
1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（　　）
A．2π B．3π C．32π D．12π
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：l=nπr180=90⋅π×3180=32π，
∴该扇形的弧长为32π．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠BOD＝3∠COD＝150°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD=12∠COD＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．
3．（2023•赤峰）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）

A．30cm B．303cm C．60cm D．20πcm
【考点】圆锥的计算；平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．
【解答】解：∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm，
设扇形的圆心角为n度，
∴nπ×30180=20π，
解得n＝120，
∴∠ABA′＝120°，
作BC⊥AA′于点C，
∴∠BAA′＝30°，
∴AC＝AB×cos30°＝30×32=153（cm），
∴AA′＝2AC＝303（cm），
∴这条彩带的最短长度是303cm．
故选：B．

【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，圆锥的计算，把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．
4．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．16π
【考点】弧长的计算；几何体的展开图．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案．
【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为2π×4＝8π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
5．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）

A．2+π6 B．2+π3 C．22+π6 D．22+π3
【考点】弧长的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE=2，AD的长=30π×1180=π6，
∴阴影部分周长的最小值为2+π6，
故选：A．

【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE为等腰直角三角形是解题的关键．
6．（2023•内蒙古）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形中位线定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF=12（AB+BC+AC）=12×21=10.5，于是得到结论．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DE+DF+EF=12（AB+BC+AC）=12×21=10.5，
∵DE+DF＝6.5，
∴EF＝10.5﹣6.5＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）

A．52π−74 B．52π−72 C．54π−74 D．54π−72
【考点】三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，

由题意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC=5，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积
=90π×(5)2360−12OA•OC−12AB•1
=5π4−12×5×5−12×2×1
=5π4−52−1
=5π4−72，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）

A．π B．3π C．2π D．2π−3
【考点】弧长的计算；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】由等边三角形的性质得到AB=BC=AC，由弧长公式求出AB的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴AB=BC=AC，
∵AB的长=60π×3180=π，
∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB的长．
9．（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案．
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5＝15π，
∴R＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
10．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相
切，切点为E，若ABCD=13，则sinC的值是（　　）

A．23 B．53 C．34 D．74
【考点】切线的性质；解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】连接DB、DE，设AB＝m，由ABCD=13得CD＝3AB＝3m，再证明AB是⊙D的切线，而⊙D与BC相切于点E，则BC⊥OE，由切线长定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，则∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE=CD2−CE2=5m，即可求得sinC=DECD=53，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，
∵ABCD=13，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵⊙D与BC相切于点E，
∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE=CD2−CE2=(3m)2−(2m)2=5m，
∴sinC=DECD=5m3m=53，
故选：B．

【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
12．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（　　）

A．70° B．105° C．125° D．155°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．
【解答】解：如图，连接BC，

∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB=180°−140°2=20°，
∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），
∴0°＜∠OCP＜20°，
∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，
∴140°＜∠BPC＜160°，
故选：D．
【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．
13．（2023•兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则AB=（　　）

A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
【考点】圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】由弧长公式：l=nπr180（n是弧的圆心角的度数，r是弧的半径长），即可计算．
【解答】解：∵圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，
∴AB的长=90π×20180=10π（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
14．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．53−33π B．53−4π C．53−2π D．103−2π
【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝43，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．
【解答】解：连接OD．

在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC=3AB＝43，
∴OC＝OD＝OB＝23，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×43−12×23×23×32−60π⋅(23)2360
＝83−33−2π
＝53−2π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
15．（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）

A．20° B．40° C．50° D．80°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵AC=AC，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．
16．（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【解答】解：∵∠C=12∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
17．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）

A．20m B．28m C．35m D．40m
【考点】垂径定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．
【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为Rm，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB=372m，
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（372）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R=156556≈28．
故选：B．

【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
18．（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=12×(180°−140°)=20°，
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　）

A．3 B．22 C．3 D．23
【考点】正多边形和圆；估算无理数的大小；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根据直角三角形的性质得到AM=12OA=12，根据三角形的面积公式得到S△AOB=14，于是得到正十二边形的面积为12×14=3，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
过A作AM⊥OB于M，
在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，
∴AM=12OA=12，
∴S△AOB=12OB•AM=12×1×12=14，
∴正十二边形的面积为12×14=3，
∴3＝12×π，
∴π＝3，
∴π的近似值为3，
故选：C．

【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，则AC的长为（　　）

A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm
【考点】垂径定理的应用；弧长的计算；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；几何直观；运算能力．
【分析】先根据垂径定理求出AD的长，由题意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比计算出AC所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC的长即可．
【解答】解：如图所示：

∵OB⊥AC，
∴AD=12AC＝1503m，∠AOC＝2AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴(1503)2+（OA﹣150）2²＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB=ADOA=32，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴AC的长=120×300π180=200πm．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
21．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　）

A．60° B．54° C．48° D．36°
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=(5−2)×180°5=108°，∠COD=360°5=72°，
∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出∠BAE和∠COD的度数．
22．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（　　）

A．56° B．33° C．28° D．23°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】先由平角定义求得∠AOD＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD．
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD=12∠AOD＝28°，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD＝56°是解决本题的关键．
23．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A．14πcm2 B．13πcm2 C．12πcm2 D．πcm2
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3S扇形O1O2A
＝3×60π×12360
=π2（cm2），
故选：C．

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
24．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（　　）

A．25π16 B．25π8 C．25π6 D．25π4
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE
＝S△OCE+S半弓形DCE
＝S扇形COB
=45π×52360
=25π8，
故选：B．

【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（2023•十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）

A．5 B．33 C．32 D．63
【考点】圆锥的计算；平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【专题】展开与折叠；运算能力．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝4，
故底面周长等于4π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=nπ×6180，
解得n＝120°，
所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°，
因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°，
故三角形SAB为等边三角形，
又∵C为SB的中点，
所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，
根据勾股定理求得AC＝33，
所以蚂蚁爬行的最短距离为33．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
26．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD=3，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）

A．10°，1 B．10°，2 C．15°，1 D．15°，2
【考点】圆内接四边形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴AB=CD，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD=3OA=3，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．

【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．
27．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　）

A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．
【解答】解：连接P4P5，P5P6．

∵点P1～P8是⊙O的八等分点，
∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，
∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，
∵P5P4+P5P6＞P4P6，
∴P3P4+P7P6＞P1P3，
∴b﹣a＞0，
∴a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．（2023•十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）

A．43 B．7 C．8 D．45
【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【解答】解：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM=52，BM=3CM=532，
∴AM＝AC﹣CM=112，
∴AB=AM2+BM2(112)2+(532)2=7．
故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
29．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】确定圆的条件．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．

考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
10．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
11．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

12．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
13．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
14．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
15．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
16．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
17．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
18．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
19．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
20．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
21．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
22．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
25．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/9 9:12:35；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966