中考数学二轮精品专题复习 图形的旋转(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 图形的旋转(填空题)，共28页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的旋转(填空题)》
一．填空题（共16小题）
1．（2023•内蒙古）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则ADDC的值为 　 　．

2．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　 　．

3．（2023•菏泽）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　 　度．

4．（2023•绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　 　．
5．（2023•兰州）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　 　．

6．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　 　．

7．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　 　．

8．（2023•枣庄）银杏著名的活化石植物，​其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 　 　．

9．（2023•上海）如图，在△ABC中，∠C＝35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α＝　 　．

10．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　 　．
11．（2023•湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　 　．

12．（2023•江西）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　 　．

13．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　 　米．（结果保留π）

14．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝　 　．

15．（2023•宜宾）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 　 　．

16．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　 　．

2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的旋转(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共16小题）
1．（2023•内蒙古）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则ADDC的值为 　5　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得 AB=10，根据旋转的性质可证△ABB'、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADB=12×BC×AD=12×DF×AB，AD=10DF，证明△AFD∽△ACB，可得 DFBC=AFAC，即AF＝3DF，再由 AF=10−DF，求得 DF=104，从而求得 AD=52，CD=12，即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，AB=32+12=10，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90° 得到△AB'C'，AB=AB′=10，∠BAB'＝90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'＝45°
∵DF⊥AB，∠DFB＝45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
S△DBA=12×BC×AD=12×DF×AB，即 AD=10DF，
∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴DFBC=AFAC，
即AF＝3DF，
又∵AF=10−DF，
∴DF=104，
∴AD=10×104=52，
∴CD=3−52=12，
∴ADCD=5212=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，则 练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2023•张家界）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是 　75°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】依据AO为∠BAC的平分线可知，∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝25°，依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′代入数据即可得解．
【解答】解：∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝25°，
依据旋转的性质可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋转角为∠OAO′，
∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
3．（2023•菏泽）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　80　度．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】先根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，从而可得∠EBC＝35°，然后根据旋转的性质可得：BE＝BF，∠EBF＝90°，从而可得∠BEF＝∠BFE＝45°，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及正方形的性质是解题的关键．
4．（2023•绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　4+23或4−23　．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况：①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过点B作BE⊥A'D于D，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交A'D于F，连接BF，先求出∠D＝15°，再求出A'E＝1，BE=3，进而得DF=BF=23，EF＝3，据此可求得A'D的长；
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过点D作DM⊥A'D于M，作AD的垂直平分线PQ交A'B于Q，先求出∠A'BD＝15°，设A'M＝x，则A'D＝2x，DM=3x，进而可求得DQ=BQ=23x，QM＝3x，据此可求出x，进而可求得A'D的长．
【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转45°得到△A′BC′，
∴有以下两种情况：
①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，
过点B作BE⊥A'D于E，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交A'D于F，连接BF，

∵△ABC为等腰三角形，∠A＝120°，AB＝2，
∴∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，∠ABC＝30°，
∴∠DA'B＝60°，
由旋转的性质得：∠A'BA＝45°，
∴∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝75°，
又∵∠A'BC＝∠DA'B+∠D，
即75°＝60°+∠D＝15°，
在Rt△A'BE中，∠DA'B＝60°，A'B＝2，
∴∠A'BE＝30°，
∴A′E=12AB=1，
由勾股定理得：BE=A′B2−A′E2=3，
∵HF为BD的垂直平分线，
∴DF＝BF，
∴∠D＝∠FBD＝15°，
∴∠EFB＝∠D+∠FBD＝30°，
∴BF=2BE=23，故：DF=BF=23，
由勾股定理得：EF=BF2−BE2=3，
∴A′D=AE+EF+DF=4+23；
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，
过点D作DM⊥A'D于M，作AD的垂直平分线PQ交A'B于Q，

由旋转的性质得：∠ABA'＝45°，∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，
∴∠A'BD＝∠ABA'﹣∠ABC＝15°，∠BA'D＝60°，
∵DM⊥A'D，
∴∠A'DM＝30°，
在Rt△A'DM中，∠A'DM＝30°，设A'M＝x，
则A'D＝2A'M＝2x，
由勾股定理得：DM=A′D2−A′M2=3x，
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ＝DQ，
∴∠A'BD＝∠QDB＝15°，
∴∠DQM＝∠A'BD+∠QDB＝30°，
∴DQ=BQ=2DM=23x，
由勾股定理得：QM=QD2−DM2=3x，
∵A'M+QM+BQ＝A'B，
∴x+3x+23x=2，
∴x=2−3，
即A′D=2x=4−23．
综上所述：A′D的长度为4+23或4−23．
故答案为：4+23或4−23．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握图形的旋转变换，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点之一．
5．（2023•兰州）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　3−7　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】利用正方形的面积求得OA=7，OD＝3，根据旋转的性质得出a＝OA=7，b＝OD＝3，从而求得b﹣a＝3−7．
【解答】解：∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9，
∴OA=7，OD＝3，
∴a＝OA=7，b＝OD＝3，
∴b﹣a＝3−7．
故答案为：3−7．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键．
6．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　4+3　．

【考点】旋转的性质；三角形的面积；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；运算能力；推理能力．
【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．
【解答】解：∵线段CE为定值，
∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，
∴AB＝2BC＝4，CE＝AE=12AB＝2，AC＝AB•cos30°＝23，
∴∠ECA＝∠BAC＝30°，
过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，
∴AG=12AC=3，
∵点F的在以A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴AF＝AB＝4，
∴点F到CE的距离最大值为4+3，
∴S△CEF=12CE⋅(4+3)=4+3，
故答案为：4+3．


【点评】本题主要考查了旋转的性质，特殊直角三角形的性质，点的运动轨迹等知识，采取动静互换，画出△CEF的面积最大时的图形是解题的关键．
7．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　3+33　．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；运算能力；推理能力．
【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE=12∠ABC＝30°，CD=12AC＝3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG＝60°，CG＝GH=12AC＝3，
∴CH＝AC＝6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH＝CD•tan60°=33，
AG垂直平分CH，
∴CI＝HI，CF＝FH，
∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝33，
CF+DF＝HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝33，
∴△CDF的周长的最小值为3+33．
故答案为：3+33．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹．
8．（2023•枣庄）银杏著名的活化石植物，​其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 　（﹣3，1）　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标确定位置．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】先根据B、C两点的坐标建立平面直角坐标系，再作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点，即可求解．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（﹣1，﹣3），
作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点A′，
则点A′的坐标为（﹣3，1）．

故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质，作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点是解题的关键．
9．（2023•上海）如图，在△ABC中，∠C＝35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α＝　(1103)°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由AB＝AD，∠BAD＝α及角平分线的定义得∠CAD＝∠BAD＝α，根据三角形外角性质得∠ADB＝35°+α，即有∠B＝∠ADB＝35°+α，由三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：如图，

∵AB＝AD，∠BAD＝α，AD是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝35°+α，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝35°+α，
在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴35°+2α+35°+α＝180°，
解得：α=(1103)°；
故答案为：(1103)°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质 及三角形的内角和等知识，孰练掌握相关图形的性质是解题的关键．
10．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　（﹣5，4）　．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．

故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
11．（2023•湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　233　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x 于点F，在 Rt△CEF 中，解直角三角形可得 EF=33ℎ，CE=233ℎ，再证明△CAE≌△ABD（AAS），则 AD=CE=233ℎAE＝BD，求得 OD=3−233ℎ，在Rt△BOD中，得 BD=6−433ℎAE=BD=6−433ℎ3+6−433ℎ+33ℎ=7，解方程即可求得答案．
【解答】解：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x于点F，
∵点C的坐标为（7，h），
∴OF＝7，CF＝h，
在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h，EF=CFtan60°=33ℎ，CE=CFsin60°=233ℎ，∠BAC＝120°，∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝120°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵AB＝CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AD=CE=233ℎ，AE＝BD，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OD=OA−AD=3−233ℎ
在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°，BD=ODcos∠BDO=ODcos60°=2(3−233ℎ)=6−433ℎ，
∴AE=BD=6−433ℎ，
∵OA+AE+EF＝OF，
∴3+6−433ℎ+33ℎ=7，
解得 ℎ=233，
故答案为：233．

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键．
12．（2023•江西）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　90°或180°或270°　．

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，有固定轨迹，△PCD为直角三角形，要分三种情况讨论求解．
【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．
∵P3C＝2AB＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴△P3BC为等边三角形，
∴AC⊥AB．
在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CD⊥AC．
∴∠ACD＝90°，
∴当P在直线AC上时符合题意，
∴α1＝90°，α2＝270°．
连接P3D，
∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，
∴四边形ACDP3为平行四边形．
∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，
即：P运动到P3时符合题意．
∴α3＝180°．
记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．
AG=AC2+CG2=BC2−AB2+CG2=(2CD)2−CD2+(12CD)2=132CD＞32CD，
∴⊙A与⊙G相离，
∴∠DPC＜90°．
故答案为：90°、180°、270°．

【点评】本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．
13．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　5π　米．（结果保留π）

【考点】生活中的旋转现象；认识立体图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．
【解答】解：AB=150°π×6180°=5π（米）．
故答案为：5π．
【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．
14．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝　334　．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】先根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半求出AB，再根据勾股定理求出OA，在Rt△AOE中求出AE，OE，最后根据点C是OA的中点求出点C的坐标，利用待定系数法求出k的值即可．
【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4，
∴AB=12OB=12×4=2，
由勾股定理得OA=OB2−AB2=42−22=23，
在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，OA=23，
∴AE=12OA=12×23=3，
由勾股定理得OE=OA2−AE2=(23)2−(3)2=3，
∵点C是OA的中点，
∴CF=12AE=32，OF=12OE=32，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标是(32，32)，
∵反比例函数y=kx的图象经过OA的中点C，
∴k=32×32=334，
故答案为：334．

【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点C的坐标是此题的关键．
15．（2023•宜宾）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 　210−1　．

【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，证明△BPM≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，求出BM=BC2+CM2=25，可得MF=2BM＝210，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥210−1，从而可得MQ的最小值为210−1．
【解答】解：连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，如图：

∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，
∴A，B，E共线，
∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，
由旋转性质得PB＝QB，MB＝FB，
∴△BPM≌△BBQF（SAS），
∴MP＝QF＝1，
∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，
∵BC＝AB＝4，CM=12CD＝2，
∴BM=BC2+CM2=25，
∵∠MBF＝90°，BM＝BF，
∴MF=2BM＝210，
∵MQ≥MF﹣QF，
∴MQ≥210−1，
∴MQ的最小值为210−1．
故答案为：210−1．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
16．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称，掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．

考点卡片
1．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
3．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
　③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．　．
15．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
16．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
17．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
18．几何变换综合题
几何变换综合题．