中考数学二轮精品专题复习 圆(填空题一)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 圆(填空题一)，共41页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(填空题一)》
一．填空题（共30小题）
1．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．AC=2BD，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　 　°．

2．（2023•北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　 　．

3．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　 　cm．

4．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　 　°．

5．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝　 　．（结果保留一位小数）

6．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　 　．

7．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　．

8．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．

9．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　 　．

10．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　 　寸．

11．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为 　 　m．（结果保留π）
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12．（2023•菏泽）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

13．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π）
14．（2023•绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为AB上的一点，将AB沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π与根号）

15．（2023•黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　 　cm．
16．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　 　°．

17．（2023•河南）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　 　．
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18．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　 　台．

19．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　 　．
20．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　 　度．
21．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　 　cm．

22．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　 　．

23．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　 　．

24．（2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　 　．

25．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为 　 　．

26．（2023•滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　 　．

27．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 　 　cm2．（结果保留π）

28．（2023•广元）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是 　 　．

29．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 　 　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=6EF，则题字区域的面积为 　 　．

30．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：
（1）∠α＝　 　度；
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 　 　（结果保留根号）．
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2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(填空题一)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．AC=2BD，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　66　°．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】先根据切线的性质得出∠ABF＝90°，结合∠AFB＝68°可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数．
【解答】解：如图，连接OC，OD，

∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝68°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，
∵AC=2BD，
∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA=12∠COA=44°，
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，
故答案为：66．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．（2023•北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　2　．

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD=12BC=1，于是得到结论．
【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，
∴∠A＝90°，
∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，
∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，
∴OD＝CD，OA＝AE，
∵OA⊥BC，
∴CD=12BC=1，
∴OD＝CD＝1，
∴OC=2OD=2，
∴AE＝OA＝OC=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　2　cm．

【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，
2πr=120π×6180，
∴r＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
4．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　35　°．

【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝　0.1　．（结果保留一位小数）

【考点】垂径定理的应用；弧长的计算；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】数形结合；圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】根据题意分别求出线段的长度，代入公式中求出s，得出答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AO＝2，∠AOB＝90°，
∴OB＝2，AB＝22，
∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO=2，CD＝2−2，
∵s=AB+CD2OA，
∴s＝22+(2−2)22=3，
∵l＝2π×2×90360≈3.1，
∴|l﹣s|≈0.1
故答案为：0.1．

【点评】本题以圆为背景考察了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键．
6．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　1　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】连接OB，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD＝60°，则∠OAE＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OB，

∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴AD=BD，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE=12OA=12×2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD＝60°是解题的关键．
7．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　．

【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．
【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35°．

【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　π　．

【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝22，再由扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=22+22=22，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(22)2360=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
9．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　（﹣2023，1）　．

【考点】弧长的计算；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得，
∴A1点坐标为（2，0），
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得，
∴A2点坐标为（0，﹣2），
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得，
∴A3点坐标为（﹣3，1），
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得，
∴A4点坐标为（1，5），
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、……、n，每次增加1．
∵2023÷5＝505……3，
故A2023为以点C为圆心，半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得，
故A2023点坐标为（﹣2023，1）．
故答案为：（﹣2023，1）．
【点评】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
10．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　26　寸．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE=12AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AE=12AB=12×10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．

【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．
11．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为 　10π　m．（结果保留π）
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【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】由弧长公式：l=nπr180（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，
∴AB的长=120π×15180=10π（m）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
12．（2023•菏泽）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　6π　（结果保留π）．

【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，∠HAB=(8−2)×180°8=135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影部分=135π×42360=6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
13．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 　6 π　cm2．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）
故答案为：6π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
14．（2023•绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为AB上的一点，将AB沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　（23π−3）cm2　.（结果保留π与根号）

【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】连接OA，OC，OC交AB于点M，根据折叠性质及等边三角形性质求得∠AOC＝60°，OM的长度，再利用勾股定理求得AM的长度，然后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OA，OC，OC交AB于点M，

由折叠性质可得OA＝AC，AB⊥OC，
∴OA＝OC＝AC＝2cm，
∴OM＝CM=12OC＝1cm，∠AOC＝60°，
∵∠AMO＝90°，
∴AM=OA2−OM2=22−12=3（cm），
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
=60π×22360−12×2×3
＝（23π−3）（cm2），
故答案为：（23π−3）cm2．
【点评】本题考查扇形面积公式和折叠性质，结合已知条件求得∠AOC的度数及OM的长度是解题的关键．
15．（2023•黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　12　cm．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到12•2π•r•13＝65π，解得r＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得12•2π•r•13＝65π，
解得r＝5，
所以圆锥的高=132−52=12（cm）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　34　°．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠AOC＝2∠B＝56°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，
故答案为：34．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
17．（2023•河南）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　103　．
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【考点】切线的性质；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OC，

∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP=OA2+AP2=52+122=13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴12OA•AC+12OP•BC=12OA•AP，
∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC=103，
故答案为：103．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　4　台．

【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3311≈4台．
【解答】解：∵∠P＝55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°＝3311，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4．
【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
19．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　4π　．
【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由弧长公式得40π×18180=4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即l=nπr180（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．
20．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　60　度．
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则nπ×62360=6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
21．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　16　cm．

【考点】垂径定理的应用．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴AC=BC=12AB，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中，AC=OA2−OC2=102−62=8cm，
∴AB＝2AC＝16cm，
故答案为：16．

【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
22．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　30°　．

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】连接OC，根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OC，

∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠ADC=12∠AOC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查圆的有关性质的应用，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．
23．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　80°　．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
24．（2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°．
∵∠ABC＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
25．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为 　2+2　．

【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，
∴AE＝CE=22AC=2，
同理BG=2，
∴AB＝EG+BG＝2+2，
故答案为：2+2．

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
26．（2023•滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　62°或118°　．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．

【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
27．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 　240π　cm2．（结果保留π）

【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这张扇形纸板的面积=12•2π•8•30＝240π（cm2）．
故答案为：240π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
28．（2023•广元）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是 　22≤t≤4+22　．

【考点】切线的性质；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDN＝45°，求得OD＝22，得到CN＝DN＝2+22，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE＝EQ，FQ=2PF，求得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN＝OP＝2，求得t＝4+22；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝22，于是得到结论．
【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，

∴∠CND＝∠OMD＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴△CND是等腰直角三角形，
∴∠CDN＝45°，
∵ON＝OM＝2，
∴OD＝22，
∴CN＝DN＝2+22，
如图1，延长EP交BC于Q，
∵EQ⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠EQC＝45°，
∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，
∴CE＝EQ，FQ=2PF，
∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ，
当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，
连接OP，
则四边形ENOP是正方形，
∴EN＝OP＝2，
∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+22+2=4+22；
如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，

同理可得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝22，
故t的取值范围是22≤t≤4+22，
故答案为：22≤t≤4+22．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
29．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 　5　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=6EF，则题字区域的面积为 　64625　．

【考点】扇形面积的计算；七巧板；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接 OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，
∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，
又NK⊥QL，
∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，
∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，
在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5；
连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，
∵AB∥PN，
∴AB⊥OT，
∴AS＝SB，
∵点A，N，M在同一直线上，
∴ANMM=ASSB，
∴MN＝AN，
又NB＝NA，
∴∠ABM＝90°，
∵MN＝NB，NP⊥MP，
∴MP＝PB＝2，
∴NS=12MB＝2，
∵KH+HN＝2+4＝6，
∴ON＝6﹣5＝1，
∴OS＝3，
∵DE=6EF，
设EF＝ST＝a，则 ET=12DE=62a，
在Rt△OET中，OE2＝OT2+7E2，即 52=(3+a)2+(62a)2，
整理得 5a2+12a﹣32＝0，
即（a+4）（5a﹣8）＝0，
解得：a=85 或a＝﹣4，
∴题字区域的面积为 6a2=6256．
故答案为：5，64256．

【点评】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
30．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：
（1）∠α＝　30　度；
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 　23　（结果保留根号）．
​
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；
（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．
【解答】解：（1）作图如图所示，
∵多边形是正六边形，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥直线l，
∴∠ABC＝90°，
∴α＝30°；
故答案为：30°；
（2）取中间正六边形的中心为O，
作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，
∴四边形ABFG为矩形，
∴AB＝GF，
∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，
∴△ABC≌△GFH（SAS），
∴BC＝FH，
在Rt△PDE中，DE＝1，PE=3，
由图1知AG＝BF＝2PE＝23，OM＝PE=3，
∵BC=12(BF−CH)=3−1，
∴AB=BCtan∠BAC=3−133=3−3，
∴BD=2−AB=3−1，
∵DE=12×2=1，
∴BE=BD+DE=3，
∴ON=OM+BE=23．
∴中间正六边形的中心到直线l的距离为23，
故答案为：23．

【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
3．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．

4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
6．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
7．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
9．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
12．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
13．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
14．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
15．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
16．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
17．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
18．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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