2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）专题07+不等式

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专题07 不等式

（新课标全国Ⅰ卷）1．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10

混合动力汽车
10

电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
（全国乙卷数学（文）(理)）2．若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】8
【详解】作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8.
  
（全国甲卷数学（文）（理））3．已知.
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
【答案】(1)；
(2)8.
【详解】（1）依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，因此，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，
  
由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.
（全国甲卷数学（文）（理））4．执行下边的程序框图，则输出的（    ）

A．21 B．34 C．55 D．89
【答案】B
【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选：B.
（全国甲卷数学（文）（理））5．设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为____________．
【答案】15
【详解】作出可行域，如图，
  
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即,
所以.
故答案为：15
（全国甲卷数学（文）（理））6．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与坐标轴围成与
的高为,所以
所以,解得
  
（新高考天津卷）7．若，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D

一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）
A．5 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【详解】由题意画出可行域，如图所示，由图可知在点A处取到最大值，
因为此处的直线的截距最大，
  
联立，可得，即，
所以的最大值为10.
故选:C.
2．（2023·河南驻马店·统考三模）已知，，：，：，则是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为，， ：
即，即，则，
而：，
所以，是的充分不必要条件，
故选：.
3．（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
4．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，用代替，，
根据分别为上的奇函数和偶函数，于是，
结合可得.
故，设，则，
根据基本不等式和余弦函数的范围，，，
于是，则在上单调递增，注意到，于是时，递增.
由于是偶函数，根据对数的性质，，，
于是，，，故只需要比较的大小.
由，，
根据基本不等式，，故.
由于时，递增可知，，结合是偶函数可得，
，即.
故选：C
5．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）实数a，b满足，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】取,满足,但,所以A错误；
取,满足,但，所以B错误；
若，则,,所以C正确；
取,则,所以D错误.
故选:C.
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则的最小值是 （    ）
A． B．1
C．2 D．
【答案】C
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
7．（2023·天津滨海新·统考三模）已知，，，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，




，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
二、多选题
8．（2023·浙江·统考模拟预测）已知，则下列选项中能使成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，由可得，A错误，
对于B，由可得，B错误，
对于C，由可得，C错误，
对于D，由可得，D正确，
故选：BD.
9．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知，满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由，得，
当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，解得，解得，
得在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，B正确；
对于C，当时，满足，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
10．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（    ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为6 D．的最小值为4
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
11．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（    ）
A． B．
C．若，则 D．与的交点可能在第三象限
【答案】ABC
【详解】如图，因为与互为反函数，
故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，
故，，故A正确；
由题意，，均为锐角，，，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则，
即，解得或（舍去），
故，
对于，则，令，解得，所以切点为，
所以曲线的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
同理可得的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
所以，则，则，故C正确；
由图可知点必在第一象限，故D错误.
  
故选：ABC.
12．（2023·重庆·统考三模）已知，，且，则下列结论正确的是（    ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值是3
【答案】BC
【详解】对于A，因为，，
所以，当且仅当时取等号，
由，
即，解得，
即，A错误；
对于B， 由，,，
当且仅当时取等号，
得，
所以,
又，
所以，即，
故B正确；
对C选项，因为，,，
得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确，
对于D, C选项知：，
则，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故D错误；
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】5
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为及其内部的阴影区域，且，
  
令，则，当直线经过点时，取得最大值5.
故答案为：5
14．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知，则的最大值为___________
【答案】2
【详解】不等式组所表示的阴影部分如图所示，
  
因为与y轴的交点为，
所以当直线平移至点时，取得最大值为2.
故答案为：2.
15．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
【答案】①③
【详解】由题意得，则，
即和为的零点；
而在R上单调递增，且，
在R上有且仅有一个零点，，
又，①正确；
又，
而在上单调递增，
，②错误；
，，
则，
而，故，即，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
16．（2023·河南驻马店·统考三模）已知实数满足，则的最大值为______________．
【答案】1
【详解】根据已知画出可行域(如图所示阴影部分)，
移动直线，
当直线经过点A时，最小，即最大，
对直线，令，则，即，
故此时．
  
故答案为：
17．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为____________.
【答案】
【详解】，构造函数，则，即在上单调递增，
则.则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
四、解答题
18．（2023·河南开封·统考三模）已知，，函数的最小值为2.
(1)求的值；
(2)求证：.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
所以；
（2）证明：要证，
即证，即证，
又，且，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，即得证.
19．（2023·河南驻马店·统考三模）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时,不等式化为,,
所以,①
当时,同理可得,②
联立①和②，解得.
而时,原不等式为
显然恒成立,所以.
（2）由（1）知,
所以,
因为,所以,所以在上恒成立.
令,则.
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以,
所以,即实数的取值范围为.
20．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)记（1）中集合M中最大的整数为t，若正数a，b，c满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数
因为，所以，
当时，，此时x无解；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，不等式的解集．
（2）解：由（1）可知，即，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．