2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）专题10+圆锥曲线

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专题10 圆锥曲线-

（新课标全国Ⅰ卷）1．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
（新课标全国Ⅰ卷）2．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】/
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.

方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
（新课标全国Ⅰ卷）3．在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
  
则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，
  
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，


令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而

故
①当时,

②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此


，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
 
（新课标全国Ⅱ卷）4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.

（新课标全国Ⅱ卷）5．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
  
（新课标全国Ⅱ卷）6．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
  
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：

，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
（全国乙卷数学（文）(理)）7．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
（全国乙卷数学（文）(理)）8．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
【答案】
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
（全国乙卷数学（文）(理)）9．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则

，
所以线段的中点是定点.
  
（全国甲卷数学（文））10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
（全国甲卷数学（文）（理））11．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
（全国甲卷数学（文）（理））12．已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，

，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
（全国甲卷数学（理））13．己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
（新高考天津卷）14．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，
  
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
（新高考天津卷）15．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
（新高考天津卷）16．设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【详解】（1）如图，
  
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.

一、单选题
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
设，因为点在渐近线上，所以，
因为，所以，所以，所以，
又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，
所以，所以，所以，
所以，可得，

故选：C.
2．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题意可知，，即，
则，解得：，
所以双曲线的离心率.
故选：C
3．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，
  
由，得，，
在中，，则，
，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.
故选：A
5．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.
故选：C
  
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设椭圆的方程为，椭圆中，，当时， ，故
又，所以，故椭圆方程为，
故选：B
二、多选题
7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（    ）
A．双曲线的方程为 B．
C．以为直径的圆经过点 D．当时，平行于轴
【答案】ACD
【详解】由题知，，，，解得，所以双曲线方程为，A正确；
由A知，，，设，则，，
所以，B错；
由上述知，直线方程为，直线方程为，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
则，，
所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；
当时，即，，所以代入坐标得，
所以平行于轴，D正确.
  
故选：ACD
8．（2023·广东东莞·校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（    ）
A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为 D．
【答案】ACD
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD
  
三、解答题
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，0
【详解】（1）因为椭圆过点，所以，
设满足，则，
又，
则，
所以椭圆的方程.
（2）直线，代入椭圆，可得，
由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.
设，由于点与关于原点对称，所以，
于是有，
，
又，
于是有

故直线的斜率与直线的斜率之和为0.
  
10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，，
，
点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，
点的轨迹的方程为：.
（2）连接，延长交椭圆于点，连接，
  
由椭圆对称性可知：，又，四边形为平行四边形，
，，且三点共线
四边形的面积，
设直线，，
由得：，
，，
，
又，点到直线的距离即为点到直线的距离，
点到直线的距离，，
设，则，，，
又，当，即时，四边形面积取得最大值，最大值为.
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.
【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.
(2)①证明见解析；②最大值为.
【详解】（1）由题意，得，
化简得，
所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.
（2）如图，
  
①证明：设.
因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，
所以直线的斜率必不为0.
设直线的方程为.
由得，
所以，且
因为点是曲线上一点，
所以由题意可知，
所以，即
因为


所以，此时，
故直线恒过轴上一定点.
②由①可得，，
所以


当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为.
12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，
如图
  
则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，，求的值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，所以，可得，
设，则，即，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
又由于，则，故双曲线方程为.
（2）解：设直线，其中，，，
联立方程组，整理得，
由于，且，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为，
因为，，
所以
，
即为定值.
  
14．（2023·山东聊城·统考三模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值是2
【详解】（1）设，
因为点在上，直线的斜率为，椭圆的左焦点为，
则由题意得，
解得，，，
所以的方程为．
（2）由（1）知，，
设，，，其中，，
由题意设：，与联立消得，
则，，
因为直线与直线相交于点，且与的另一交点为，
所以，，即，，
所以

，
所以，即点在直线上，
又轴，，所以，
即为定值2．

15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意可知，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，代入中，
可得，设，
则.
  
直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，
直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，
因为，
所以，即.
16．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)直线是否过定点，证明见解析.
【详解】（1）由双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，
因为直线与双曲线的左右两支分别交于点，
则，
联立，得，
设，
则，直线的方程，
令，得
，
所以直线过定点.
    
17．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.
(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）设，设直线AB：x=my+1.
联立化简可得：
由韦达定理可得：；
所以，                              
所以直线OA，OB的斜率之积为定值.
（2）设线段AB的中点N，设.
则，解得，
所以，即；
所以；
又线段AB的中点N，可得，所以.
因为，所以，所以.
所以，解得；
所以直线AB的方程为：或.
四、双空题
18．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于两点（点在两点之间），则______；设交轴于点，交准线于点，则______.
【答案】 /
【详解】  
到准线的距离为，，
抛物线为，准线，，，
由题意可设直线，，
由得：，，解得：或，
，，
；
设，则，
直线，直线，，，
.
故答案为：；.
五、填空题
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的准线与轴的交点为，过焦点的直线分别与抛物线交于两点（点在第一象限），，直线的倾斜角为锐角，且满足，则___________.
【答案】12
【详解】如图，过点作轴于点，由抛物线的定义可知点到准线的距离，故，
同理，则，故，，则，
可得，则，所以.
故答案为：12.
    
20．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是______.
【答案】/
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，
  
则，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.
又轴，，所以，
又抛物线，则，所以，
所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，
易得，设点，则，
则，
又直线，可化为，
则点到直线的距离，
所以.
故选：B.