2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）专题13+空间向量与立体几何

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专题13 空间向量与立体几何

（新课标全国Ⅰ卷）1．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
（新课标全国Ⅰ卷）2．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
（新课标全国Ⅰ卷）3．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
  
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
（新课标全国Ⅱ卷）4．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
（新课标全国Ⅱ卷）5．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
（新课标全国Ⅱ卷）6．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
    
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
（全国乙卷数学(理)（文））7．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（    ）
  
A．24 B．26 C．28 D．30
（全国乙卷数学（文））8．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．
（全国乙卷数学(理)（文））9．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
（全国乙卷数学(理)）10．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
（全国乙卷数学(理)）11．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ）
A． B． C． D．
（全国甲卷数学（文））12．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ）
A．1 B． C．2 D．3
（全国甲卷数学（文））13．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．
（全国甲卷数学（文））14．如图，在三棱柱中，平面．
  
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
（全国甲卷数学（理））15．在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
（全国甲卷数学（理））16．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．
（全国甲卷数学（理））17．在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．
  
(1)求证：；
(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．
（新高考天津卷）18．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ）
A． B． C． D．
（新高考天津卷）19．三棱台中，若面，分别是中点.
  
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．

一、多选题
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则
B．若平面与平面的交线为，则AC//l
C．三棱柱的外接球的表面积为
D．当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，，，，．下列说法正确的是（    ）
A．设平面平面，则
B．平面平面
C．设点，点，则的最小值为
D．在四棱锥的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球
3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面所成角为，三棱锥的体积为，则下列命题中正确的是（    ）
A．若平面平面，则 B．若平面平面，则
C．若，则的最大值是 D．若，则的最大值是
4．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）
  
A．存在点，使得与异面
B．不存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最小值为
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
二、单选题
5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法确定
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）
  
A． B． C． D．
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（    ）


  
A． B． C．2 D．
三、填空题
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在正四棱柱中，，，点P为侧棱上一点，过A，C两点作垂直于BP的截面，以此截面为底面，以B为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值范围是______．
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在四棱锥中，平面平面，又为等边三角形，为的中点，为平面内的动点，则直线与直线所成角的正切值最小为____________.
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）在棱长为2的正方体中，为的中点，过点的平面截正方体的外接球的截面面积的最小值为______.
12．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为______．
  
四、解答题
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.
  
(1)证明：OD∥平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的大小.
14．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.
  
(1)证明：；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
15．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，正方体中，分别为棱的中点.
  
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正方体中，如图、分别是，的中点．
  
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与所成角的正弦值．
17．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）如图，四棱柱的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.
  
(1)证明：四点共面；
(2)若，求点A到平面的距离.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.

(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，矩形ABCD与半圆柱相接，半圆柱的轴截面平面ABCD，线段DC的中点为O，M是上一点，，，OM与底面ABCD所成的角为．
  
(1)在线段AM上有一点P满足，证明：直线平面PBD；
(2)若，求平面与平面的夹角的佘弦值．
20．（2023·河南开封·统考三模）如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.