专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训-2023-2024八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

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题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
二 两定点在直线的同侧
三 两动点一定点问题
四 造桥选址问题
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点，
AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为( )

A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可．
【详解】解：在上取一点P，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，

点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________．
【答案】12
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，从而得到PB+PD的最小值为AD的长，再由，求出AD，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，
∵MN垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴PB+PD=AP+PD≥AD，
即PB+PD的最小值为AD的长，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴，
∵AB=AC=13，BC=10，BE=，
∴，
解得：AD=12，
即PB+PD的最小值为12．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边中，，P是的中线上的动点，
∴AD是BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，
∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是边的中点，
∴的最大值=6÷2=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．
【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6B．12C．16D．20
【答案】B
【详解】
作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．
故选B．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC
∴点D是BC边的中点
∴BD=CD==3
∵的面积为21
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴点B关于直线EF的对称点为点A
∴AD的长为BP+PD的最小值
∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10
故选D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
【答案】8
【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【详解】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．
故答案为：8．
．
【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【答案】(1)见解析；（2）10
【详解】试题分析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求．
试题解析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求．
此时线段的长度即为周长的最小值
连接
由对称性知：

为等边三角形

所以三角形的最小周长为10.
点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短.
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．

(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【答案】(1)2
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）利用网格，间接表示出的面积即可得到答案；
（2）根据点的对称，先作出三个顶点关于直线的对称点，再连接顶点即可画出；
（3）由动点最值问题-“将军饮马”模型，作出点关于动点轨迹直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求（连接与直线相交于点也可）．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图所示：

即为所求；
（3）解：如图所示：

连接，与直线的交点即为所求（连接与直线相交于点也可）．
【点睛】本题考查网格中求三角形面积、复杂作图-对称及动点最值问题-“将军饮马”，熟练掌握相关题型解法及对称作图是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求；
（2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点）
（3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求．
【详解】（1）如图①，点P即为所求

此时；
（2）如图②，点P即为所求

此时的值最小；
（3）如图③，点P即为所求

此时最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
∴的长度为．
②当P与M重合时，的周长最小．
理由：∵，，
∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长，
∴的周长最小值．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接交于P，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：点P即为所求．
两点之间线段最短，
要使得的和最短，则点应为线段和线段的交点．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
【重难点训练】
1．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（ ）

A．10B．17C．14D．13
【答案】D
【分析】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，再根据勾股定理求解即可．
【详解】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，能够根据题意找出点E是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为3，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，动点是正方形内一点，满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】B
【分析】设中边上的高是h，即可得出，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离，再根据勾股定理即可解答．
【详解】设中边上的高是h，
∵，
∴，
∴，
动点P在与平行且与的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离，
在中，
∵，，
∴，
即的最小值为10．
故选：B．
【点睛】本题考查了对称-最短线路问题，三角形面积，正方形的性质，勾股定理，得出动点所在的位置是解题的关键．
4．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∵点E、点F关于对称，
∴F在上，
∴，
∴，
即最小，且为，
∵，
∴，即点F为中点，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到取得最小值时点M的位置是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．

设中边上的高是．
，
，
，
，
动点在与平行且与的距离是2的直线上，
在中，，，
，
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
6．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作直线，过点作于点，延长交于点，由图可知，根据面积关系求出长度即可．
【详解】解：如图，过点作直线，过点作于点，延长交于点．
是等腰直角三角形，且，
，，，
，
，
点的运动轨迹是直线，
，
解得，
，
的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了最短距离问题、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识，根据题意添加相应辅助线是解题关键．
7．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，
在和中，
，
，
，
欲求的最小值，只要求出的最小值，
当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
在中，，，，
，
的最小值是7，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键．
8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，
由轴对称的性质得，，，，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，
∴，,
∴，
当三点共线，时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在三角形中，，三角形的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，点．若点为边的中点，为线段上一个动点，则三角形周长的最小值是______．

【答案】
【分析】根据轴对称—最短路径得到是的最小值，再根据等腰三角形的性质及三角形的面积即可解答．
【详解】解：连接，交于点，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴有最小值为，
∵在三角形中，点为边的中点，
∴，
∵三角形的面积是，，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴三角形周长的最小值是，
故答案为；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称—最短路径，三角形的面积公式，根据题意找到有最小值是解题的关键．
12．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．

【答案】
【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，

，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，可得的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，则，，
∴
即的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即的周长的最小值为10，
∴①⑤正确，
故答案为：①⑤．
【点睛】此题考查轴对称——最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．
14．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为____________．
【答案】
【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】
【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，
∴，
∴，此时P点到A与B的距离和最小，
过作，延长与交于点M，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与C点的距离是，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键．
16．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．
【答案】8
【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵和都是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
17．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．

【答案】3
【分析】根据是的平分线确定出点关于的对称点在上，根据垂线段最短，过点作于交于，根据轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，过点作于，利用三角形的面积求出，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过作于交于，

则，
是的平分线，
，
，
，
，
点关于的对称点在上，
过点作于交于，
由轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，
过点作于，
，，
，
解得，
是的平分线，与关于对称，
，
是等腰三角形，
，
即的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点的位置是解题的关键．
18．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____．
【答案】
【分析】连接交与点，连结，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长．
【详解】解：连接交与点，连结．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当点位于点处时，有最小值，最小值．
的周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．能结合垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一得出BM+MD的最短值即为AD是解题关键．
19．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

【答案】
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结交于点，交于点，当、、、共线时，的周长最小，先求，则．
【详解】解：如答图①，分别作点关于直线，的对称点，，

则，．
的周长，
当，，，四点共线（如答图②）时，的周长取到最小值．
，，
．
根据轴对称的性质可得，．
又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得，
又
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短的方法，灵活应用三角形、四边形内角和是解题的关键．
20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
【答案】(1)
(2)9
(3)当时，；当时，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；
（2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可；
（3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．
【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，在上取点，使得，连接，
根据对称的性质，，

∴，
要求的最小值，求的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值，
此时，如图所示，

由对称的性质，，
∵取得最小值时，，
∴，
即：，解得：，
∴的最小值为9；
（3）解：①当时，；
∵由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由翻折的性质，当时，．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．
21．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图：
(1)在图1中作线段的垂直平分线；
(2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P和点M，则直线即为所求；
（2）以点A为圆心，以适当长度为半径画弧与直线交于点E和点F，分别以点E和点F为圆心，以同样长度为半径画弧，两弧相交于点A和点H，则与互相垂直平分，连接，交于点N，则点N即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）解：如图所示，点N即为所求，
由作图可知，与互相垂直平分，
∴点A与点H关于直线成轴对称，
∴，
∴,
当点H、N、D三点共线时，取得最小值，
∴点N满足要求．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质、轴对称的作图和性质等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键．
22．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，．
(1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）．
(2)连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①6cm；②存在，8cm
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）①利用线段垂直平分线的性质得，可得答案；
②根据垂直平分线的性质得点关于直线的对称点为点，要使的值最小，则连接与直线的交点即为点，即的最小值即可的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）①垂直平分，
，
的周长
，
又，
；
②如图，
垂直平分，
点关于直线的对称点为点，
要使的值最小，则连接与直线的交点即为点，
当点与点重合时，最小值，
最小值为．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比 长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
【答案】(1)见解析
(2)元；元
【分析】（1）先作出点关于河流的对称点，然后连接，与河流的交点即为所求作的水站的位置，此时最小．
（2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，水站修在点处才能使所需的管道最短．
（2）解：水管每米的费用为：（元），
由题意得，，
解得，
∴村所付水管费用为（元），
村所付水管费用为（元），
【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)50°
(2)∠AMN =2∠B-90°，理由见解析
(3)①6cm；②存在，图见解析，8cm
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∴，
∵MN垂直平分AB，
∴，
∴．
故答案为：50°．
（2）解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，
又∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠ANM=90°，
∴∠A+∠AMN=90°，
∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°．
（3）①∵MN是AB的垂直平分线
∴AM=BM
∵C△BCM =BM+BC+CM
=AM+MC+BC
=AC+BC
=14cm，
又∵AB=AC=8cm，
∴BC=14-8=6（cm）；
②∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，
∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm，
∴PB＋CP的最小值是8cm．
【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
问题1
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
连接AB，与直线l的交点P即为所求。
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
问题2：将军饮马
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。
化折为直；
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
问题3：两个动点
作法
图形
原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。
两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
问题4：造桥选址
作法
图形
原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。
两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。