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2022-2023学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使分式1x−2023有意义，x的取值应满足( )
A. x≠2023 B. x≤2023 C. x>2023 D. x≥2023
2. 甲型HIN1流感病毒的直径约为80纳米至120纳米(1纳米=10−9米)，普通纱布或棉布口罩不能阻挡甲型HIN1流感病毒的侵袭，只有配戴阻隔直径低于75纳米的标准口罩才能有效.80纳米用科学记数法表示正确的是( )
A. 80×10−9 B. 8×10−8 C. 0.8×10−7 D. 8×10−7
3. 下列运算正确的是( )
A. a6⋅a3=a9 B. a6+a3=a9 C. (a6)3=a9 D. a6÷a3=a2
4. 如图直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列条件能证明l1//l2的是( )
A. ∠1=60°，∠2=59°
B. ∠2=59°，∠4=60°
C. ∠2=59°，∠3=121°
D. ∠1=60°，∠4=60°
5. 下列调查方式，你认为最合适全面调查的是( )
A. 旅客上飞机前的安检工作 B. 调查所有亚运会志愿者的身高
C. 调查五一假期时，宁波的每日流动人口数 D. 调查一批手机的使用寿命
6. 计算(m+n)(m−2n)所得的结果是( )
A. m2−2n2 B. m2+mm−2n2 C. m2−mn+2n2 D. m2−mn−2n2
7. 如图，直线AB//CD被第三条直线EF所截，射线FG平分∠EFD，若∠AEF=80°，则∠FGE为( )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是( )
A. 12x+y=50y+23x=50 B. x+12y=50y+x=50 C. x+12y=5023y+x=50 D. x+12y=50y+23x=50
9. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.观察如图的长方形，可以得到的因式分解是( )
A. (a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2 B. 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)
C. 2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b) D. 2a2+4ab+2b2=2(a+b)2
10. 如图所示，将三张边长分别为a，a，b(其中a
A. C2=C1 B. C2=C1+2a C. C2=C1+2b D. C2=C1+2c
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 因式分解：x2−4xy= ______ ．
12. 在一个样本中，数据分别落在4个组内，第一、三、四组的频率分别为0.2，0.15，0.35，则第二组的频率是______ ．
13. 已知x=1y=−1是二元一次方程组2ax+by=32ax−by=5的解，则a+b的值是______ ．
14. 若两个数a，b满足ab−6b+6=6，则称b是a的“溜数”.若x是48的“溜数”，则x= ______ ．
15. 两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA′C=45°，∠DAC=30°.接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止.在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′= ______ ．
16. 已知a2+b2=8(a+b)2=20，则ab= ______ ；如图，在正方形ABCD中，BE=2，BH=6，长方形BGLF的面积为4，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，则图中阴影部分的面积之和为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程(组)
(1)x=2y3x−2y=4；
(2)xx+1=4x+13x+3+1．
18. (本小题8.0分)
计算
(1)−22+20230+33+3433；
(2)先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1，其中x从1，2，3中选一个你喜欢的值代入．
19. (本小题8.0分)
如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形ABC的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
(1)将三角形ABC向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形A′B′C′．
(2)连接AA′BB′，则AA′与BB′之间的数量关系为______ ；AA′与BB′之间的位置关系为______ ；
(3)如图2，将三角形MNP沿MM′方向平移若干距离得到三角形M′N′P′.若三角形MNP和五边形M′MNN′P′的周长分别是5与9，则三角形MNP平移的距离为______ ．
20. (本小题10.0分)
第19届亚运会即将在杭州举行，为做好亚运会志愿者服务，某校组织学生参加亚运会志愿者报名.志愿服务项目包括：A：宣传、策划与推广，B：志愿者招募，C：志愿者培训，D：志愿者调配，E：志愿者支持与激励，F：志愿者文化遗产.现随机调查该校50名志愿者的参与的志愿服务项目情况以及其中宣传、策划、推广分别占宣传、策划与推广(项目A)的情况绘制成如图所示的两个统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卷中补全条形统计图．
(2)调查中参与推广的有______ 名志愿者，占扇形圆心角的度数是______ 度.
(3)上级要求该校需要有200名志愿者参与亚运会宣传工作，该校共招收1200名志愿者，请问参与宣传工作的志愿者人数是否符合上级要求？
21. (本小题10.0分)
如图，AB//CD，F为AB上一点，且FE平分∠AFG，过点F作，FG⊥EH于点G，作FP⊥FG交CD于点P，∠FPH=30°．
(1)求证：∠AFG=2∠GHC．
(2)若FP平分∠HFB，求证：EF⊥FH．
22. (本小题10.0分)
北仑的虾康年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲.因其使用了当地甘甜清澈的虾床龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾康年糕.如今，虾床年糕的品牌越打越响，虾床年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番薯年糕.已知120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，艾草年糕价格是白年糕价格的1.25倍．
(1)白年糕和艾草年糕的价格分别为多少元/斤？
(2)为提升品牌影响力，现将这两种年糕进行包装(5斤1盒)，小雨用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒.小雨分别购买白年糕和艾草年糕多少盒？
23. (本小题12.0分)
数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组3x+2y+z=9①2x+3y+4z=11②，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
(1)小北的方法：②×3−①×2，整理可得：y= ______ ；
①×3−②×2，整理可得：x= ______ ，∴x+y+z=4．
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小仑的方法：①+②：______ ③；∴ ______ 得：x+y+z=4．
(2)已知3x+y+2z=9x−3y−z=3，试求解x+y+z的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
24. (本小题14.0分)
【基础巩固】(1)如图1，已知AD//EF//BC，求证：∠AEB=∠DAE+∠CBE；
【尝试应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是线段CD上一点.∠AEB=70°，∠DAE=30°，求∠CBE的度数；
【拓展提高】(3)如图3，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是线段CD上一点.若AE平分∠DAC，∠CAB=∠ABC．
①试求出∠BAE的度数；
②已知∠AEB=∠ABE，∠EBC=30°，点G是直线AD上的一个动点，连接CG并延长．
2.1若CA恰好平分∠BCD，当CG与四边形ABCD中一边所在直线垂直时，∠ACG= ______ °；
2.2如图4，若CG是∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠BFC=α°，则∠ADC= ______ °(用含α的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：要使分式1x−2023有意义，需x−2023≠0，
解得：x≠2023．
故选：A．
根据分母不为0求出x的取值即可．
此题考查了分式有意义的条件，始终注意分母不为0这个条件．
2.【答案】B
【解析】解：80纳米=80×10−9米=8×10−8米．
故选：B．
根据题意把80纳米表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法−表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：A.a6⋅a3=a9，故此选项符合题意；
B.a6+a3，无法合并，故此选项不合题意；
C.(a6)3=a18，故此选项不合题意；
D.a6÷a3=a3，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠1=60°，∠2=59°，
∴∠1≠∠2，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
∵∠2=59°，∠4=60°，
∴∠2≠∠4，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
∵∠2=59°，∠3=121°，
∴∠2+∠3=180°，
∴l1//l2，故符合题意；
∵∠1=60°，∠4=60°，∠1与∠4是对顶角，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、旅客上飞机前的安检工作适合全面调查，符合题意；
B、调查所有亚运会志愿者的身高适合抽样调查，不符合题意；
C、调查五一假期时，宁波的每日流动人口数适合抽样调查，不符合题意；
D、调查一批手机的使用寿命适合抽样调查，不符合题意；
故选：A．
根据调查的特点、是否具有破坏性，是否耗人力物力等因素排除即可．
本题考查了事件调查的选择，依特点排除是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：原式=m2−2mn+mn−2n2
=m2−mn−2n2．
故选：D．
原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEF=∠EFD=80°，∠EGF=∠GFD，
∵FG平分∠EFD，
∴∠DFG=12∠EFD(角平分线的性质)，
∴∠DFG=40°，
∴∠FGE=40°．
故选：D．
根据平行线的判定及性质解答即可．
本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．
8.【答案】D
【解析】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意得：
x+12y=50y+23x=50，
故选：D．
设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意可得等量关系：甲的钱数+乙的钱数×12=50，乙的钱数+甲的钱数×23=50，然后再列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9.【答案】C
【解析】解：由图可知：
2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)．
故选：C．
根据大长方形的面积等于每一个图形的面积和列式可求解．
本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，掌握面积法是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在长方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∵C1=2(AB−a)+2(AD−a)=2(AB+AD)−4a，
C2=2(AB−b)+2AD=2(AB+AD)−2b，
∴C1−C2=−4a+2b=−2(2a−b)，
∵2a−b=c，
∴C1−C2=−2c，
∴C2=C1+2c，
故选：D．
先根据平移的性质求出C1、C2的值，再进行作差求解．
本题考查了整式的运算，掌握平移的性质是解题的关键．
11.【答案】x(x−4y)
【解析】解：原式=x(x−4y)．
故答案为：x(x−4y)．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】0.3
【解析】解：由题意得：1−0.2−0.15−0.35=0.3，
∴第二组的频率是0.3，
故答案为：0.3．
根据各频率之和为1，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握各频率之和为1是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：把x=1y=−1代入方程组得：2a−b=3①2a+b=5②，
①+②得：4a=8，
解得：a=2，
②−①得：2b=2，
解得：b=1，
则a+b=2+1=3．
故答案为：3．
把x与y的值代入方程组计算求出a+b的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
14.【答案】1
【解析】解：若x是48的溜数，则有48x−6x+6=6，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解．
故答案为：1．
根据“溜数”的定义进行计算即可．
本题考查了新定义的问题，读懂题意理解溜数的概念是解题关键．
15.【答案】45°或75°
【解析】解：分三种情况：
①当A′B//AC时，如图：
∴∠ACA′=∠BA′C=45°；
②如图，
当A′B//AD时，作FC//A′B//AD，
∴∠FCA=∠A，FCA′=∠A′，
∴∠ACA′=∠FCA+∠FCA′=45°+30°=75°；
③当A′B′//CD时，旋转角∠ACA′>90°，不合题意，舍去．
综上所述，∠ACA′=45°或75°．
故答案为：45°或75°．
分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】−354 24
【解析】解：∵a2+b2=20，8(a+b)2=20，
∴8(a2+2ab+b2)=20，
即8×(20+2ab)=20，
解答ab=−354，
故答案为：−354；
设正方形KLMN的边长为a，则正方形AFLJ的边长为6−a，正方形GCIL的边长为2−a，
∵长方形BGLF的面积为4，
∴(6−a)(2−a)=4，
设6−a=x，2−a=y，则x−y=4，xy=(6−a)(2−a)=4，
∴图中阴影部分的面积之和为：
(6−a)2+(2−a)2
=x2+y2
=(x−y)2+2xy
=16+8
=24，
故答案为：24．
根据a2+b2=20，8(a+b)2=20，代入8(a2+2ab+b2)=20进行计算即可；
设正方形KLMN的边长为a，得出正方形AFLJ的边长为6−a，正方形GCIL的边长为2−a，由长方形BGLF的面积为4可得(6−a)(2−a)=4，再设6−a=x，2−a=y，得到x−y=4，xy=4，由x2+y2=(x−y)2+2xy代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】解：(1)x=2y①3x−2y=4②，
把①代入②得：6y−2y=4，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x=2，
则方程组的解为x=2y=1；
(2)去分母得：3x=4x+1+3x+3，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：3(x+1)=0，
∴x=−1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=−4+1+3333+3433
=−4+1+1+3
=1；
(2)原式=x−1−2x−1÷(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x−1⋅(x+1)(x−1)(x−3)2
=x+1x−3，
当x=1或3时，原式没有意义；
当x=2时，原式=2+12−3=−3．
【解析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，有理数的乘方，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】AA′=BB′ AA′//BB′ 2
【解析】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求；
(2)连接AA′，BB′，则AA′与BB′之间的数量关系为AA′=BB′；AA′与BB′之间的位置关系为AA′//BB′．
故答案为：AA′=BB′，AA′//BB′；
(3)如图2，∵三角形MNP沿MM′方向平移若干距离得到三角形M′N′P′．
∴MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′，
∵三角形MNP和五边形M′MNN′P′的周长分别是5与9，
∴2MM′=9−5=4，
∴MM′=2
∴三角形MNP平移的距离为2．
故答案为：2．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用平移变换的性质判断即可；
(3)判断出周长差=2MM′，求出MM′，可得结论．
本题考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】7 126
【解析】解：(1)E项目的人数为：50−20−11−2−6−2=9(人)，
补全条形统计图如下：
(2)调查中参与推广的有：20×(1−40%−25%)=7(人)，
占扇形圆心角的度数是：360°×35%=126°，
故答案为：7，126；
(3)1200×20×40%50=192(名)，
∵192<200，
∴参与宣传工作的志愿者人数不符合上级要求．
(1)用样本容量50分别减去其他五个项目的人数可得E项目的人数，即可补全条形统计图；
(2)用A的人数乘参与推广所占百分比可得调查中参与推广的志愿者人数；用360°乘参与推广所占百分比可得对应的圆心角的度数；
(3)用1200乘参与宣传工作所占百分比可得参与宣传工作的志愿者人数，进而得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】证明：(1)∵FG⊥EH，FP⊥FG，
∴∠PFG=∠FGH=90°，
∴∠PFG+∠FGH=180°，
∴PF//EH，
∴∠GHC=∠FPH=30°，
∵AB//CD，
∴∠BFP=∠FPH=30°，
∴∠AFG=60°，
∴∠AFG=2∠GHC；
(2)∵FP平分∠HFB，∠BFP=30°，
∴∠BFP=∠PFH=30°，
∵∠AFG=60°，FE平分∠AFG，
∴∠EFG=30°，
∴∠EFG=∠PFH=30°，
∴∠EFG+∠HFG=∠PFH+∠HFG，
即∠EFH=∠PFG=90°，
∴EF⊥FH．
【解析】(1)由垂直可得∠PFG=∠FGH=90°，从而可判定PF//EH，则有∠GHC=∠FPH=30°，再由AB//CD，可得∠BFP=∠FPH=30°，则可求得∠AFG=60°，即可求∠FG=2∠GHC；
(2)由角平分线的定义可得∠BFP=∠PFH=30°，∠EFG=30°，从而可求得∠EFH=90°，即可判定EF⊥FH．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
22.【答案】解：(1)设白年糕的价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为1.25x元/斤，
由题意得：120x−1201.25x=6，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x=1.25×4=5，
答：白年糕的价格为4元/斤，则艾草年糕的价格为5元/斤；
(2)设小雨购买白年糕m盒，艾草年糕n盒，
由题意得：m+n=134×5m+5×5m=300，
解得：m=5n=8，
答：小雨购买白年糕5盒，艾草年糕8盒．
【解析】(1)设白年糕的价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为1.25x元/斤，根据120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，列出分式方程，解方程即可；
(2)设小雨购买白年糕m盒，艾草年糕n盒，根据小雨用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
23.【答案】3−2z z+1 5x+5y+5z=20 ③÷5
【解析】解：(1)由题意，小北的方法：②×3−①×2，整理可得：y=3−2z；
①×3−②×2，整理可得：x=z+1，
∴x+y+z=4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z=20③；
∴③÷5得：x+y+z=4．
故答案为：3−2z；z+1；5x+5y+5z=20；③÷5．
(2)由题意，3x+y+2z=9①x−3y−z=3②，
∴①×3+②，整理得：z=6−2x；
①+②×2，整理得，y=x−3，
∴x+y+z=3．
(3)由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组4x+5y+2z=6①4x+8y+2z=7.2②，
∴②−①得，3y=1.2，
∴y=0.4．
又①×8−②×5，整理得，2x+z=2．
∴2x+3y+z=3.2．
∴200x+300y+100z=320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
(1)依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
(2)依据题意，仿照(1)进行消元可以得解；
(3)依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而4x+5y+2z=64x+8y+2z=7.2，变形可得2x+3y+z=3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
24.【答案】60°或15°或120 2α
【解析】(1)证明：∵AD//EF//BC，
∴∠DAE=∠AEF，∠FEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE；
(2)解：如图2，过点E作EF//AD，交AB于F，
∵AD//BC，EF//AD，
∴AD//BC//EF，
由(1)可知：∠AEB=∠DAE+∠CBE，
∵∠AEB=70°，∠DAE=30°，
∴∠CBE=40°；
(3)解：①∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
又∵∠CAB=∠ABC，
∴∠ABC+∠CAB+∠DAE+∠CAE=180°，
∴∠BAE=90°；
②2.1∵∠BAE=90°，∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵∠EBC=30°，
∴∠ABC=75°=∠CAB，
∴∠ACB=180°−75°−75°=30°，
∵CA恰好平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
当CG⊥BC或CG⊥AD时，∠ACG=90°−30°=60°；
当CG⊥AB时，∠GCB=90°−75°=15°，
∴∠ACG=30°−15°=15°；
当CG⊥CD时，∠ACG=90°+30°=120°，
综上所述：∠ACG的度数为60°或15°或120°，
故答案为：60°或15°或120；
2.2∵CG是∠ACD的平分线，
∴∠ACG=∠DCG，
∵∠ACB=30°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，∠FAG=∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°=∠FAC，
∴∠ACF=180°−105°−α°=75°−α°，
∴∠ACD=2∠ACF=150°−2α°，
∴∠BCD=180°−2α°，
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=2α°，
故答案为：2α．
(1)由平行线的性质可得∠DAE=∠AEF，∠FEB=∠EBC，即可求解；
(2)由平行线的推论可得AD//BC//EF，由(1)的可求解；
(3)①由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，由三角形内角和定理可求∠BAE=90°；
②2.1先求出∠ACB的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解；
2.2分别求出∠FAC，∠ACF的度数，由平行线的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使分式1x−2023有意义，x的取值应满足( )
A. x≠2023 B. x≤2023 C. x>2023 D. x≥2023
2. 甲型HIN1流感病毒的直径约为80纳米至120纳米(1纳米=10−9米)，普通纱布或棉布口罩不能阻挡甲型HIN1流感病毒的侵袭，只有配戴阻隔直径低于75纳米的标准口罩才能有效.80纳米用科学记数法表示正确的是( )
A. 80×10−9 B. 8×10−8 C. 0.8×10−7 D. 8×10−7
3. 下列运算正确的是( )
A. a6⋅a3=a9 B. a6+a3=a9 C. (a6)3=a9 D. a6÷a3=a2
4. 如图直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列条件能证明l1//l2的是( )
A. ∠1=60°，∠2=59°
B. ∠2=59°，∠4=60°
C. ∠2=59°，∠3=121°
D. ∠1=60°，∠4=60°
5. 下列调查方式，你认为最合适全面调查的是( )
A. 旅客上飞机前的安检工作 B. 调查所有亚运会志愿者的身高
C. 调查五一假期时，宁波的每日流动人口数 D. 调查一批手机的使用寿命
6. 计算(m+n)(m−2n)所得的结果是( )
A. m2−2n2 B. m2+mm−2n2 C. m2−mn+2n2 D. m2−mn−2n2
7. 如图，直线AB//CD被第三条直线EF所截，射线FG平分∠EFD，若∠AEF=80°，则∠FGE为( )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是( )
A. 12x+y=50y+23x=50 B. x+12y=50y+x=50 C. x+12y=5023y+x=50 D. x+12y=50y+23x=50
9. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.观察如图的长方形，可以得到的因式分解是( )
A. (a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2 B. 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)
C. 2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b) D. 2a2+4ab+2b2=2(a+b)2
10. 如图所示，将三张边长分别为a，a，b(其中a
A. C2=C1 B. C2=C1+2a C. C2=C1+2b D. C2=C1+2c
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 因式分解：x2−4xy= ______ ．
12. 在一个样本中，数据分别落在4个组内，第一、三、四组的频率分别为0.2，0.15，0.35，则第二组的频率是______ ．
13. 已知x=1y=−1是二元一次方程组2ax+by=32ax−by=5的解，则a+b的值是______ ．
14. 若两个数a，b满足ab−6b+6=6，则称b是a的“溜数”.若x是48的“溜数”，则x= ______ ．
15. 两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA′C=45°，∠DAC=30°.接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止.在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′= ______ ．
16. 已知a2+b2=8(a+b)2=20，则ab= ______ ；如图，在正方形ABCD中，BE=2，BH=6，长方形BGLF的面积为4，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，则图中阴影部分的面积之和为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程(组)
(1)x=2y3x−2y=4；
(2)xx+1=4x+13x+3+1．
18. (本小题8.0分)
计算
(1)−22+20230+33+3433；
(2)先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−1，其中x从1，2，3中选一个你喜欢的值代入．
19. (本小题8.0分)
如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形ABC的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
(1)将三角形ABC向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形A′B′C′．
(2)连接AA′BB′，则AA′与BB′之间的数量关系为______ ；AA′与BB′之间的位置关系为______ ；
(3)如图2，将三角形MNP沿MM′方向平移若干距离得到三角形M′N′P′.若三角形MNP和五边形M′MNN′P′的周长分别是5与9，则三角形MNP平移的距离为______ ．
20. (本小题10.0分)
第19届亚运会即将在杭州举行，为做好亚运会志愿者服务，某校组织学生参加亚运会志愿者报名.志愿服务项目包括：A：宣传、策划与推广，B：志愿者招募，C：志愿者培训，D：志愿者调配，E：志愿者支持与激励，F：志愿者文化遗产.现随机调查该校50名志愿者的参与的志愿服务项目情况以及其中宣传、策划、推广分别占宣传、策划与推广(项目A)的情况绘制成如图所示的两个统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卷中补全条形统计图．
(2)调查中参与推广的有______ 名志愿者，占扇形圆心角的度数是______ 度.
(3)上级要求该校需要有200名志愿者参与亚运会宣传工作，该校共招收1200名志愿者，请问参与宣传工作的志愿者人数是否符合上级要求？
21. (本小题10.0分)
如图，AB//CD，F为AB上一点，且FE平分∠AFG，过点F作，FG⊥EH于点G，作FP⊥FG交CD于点P，∠FPH=30°．
(1)求证：∠AFG=2∠GHC．
(2)若FP平分∠HFB，求证：EF⊥FH．
22. (本小题10.0分)
北仑的虾康年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲.因其使用了当地甘甜清澈的虾床龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾康年糕.如今，虾床年糕的品牌越打越响，虾床年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番薯年糕.已知120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，艾草年糕价格是白年糕价格的1.25倍．
(1)白年糕和艾草年糕的价格分别为多少元/斤？
(2)为提升品牌影响力，现将这两种年糕进行包装(5斤1盒)，小雨用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒.小雨分别购买白年糕和艾草年糕多少盒？
23. (本小题12.0分)
数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组3x+2y+z=9①2x+3y+4z=11②，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
(1)小北的方法：②×3−①×2，整理可得：y= ______ ；
①×3−②×2，整理可得：x= ______ ，∴x+y+z=4．
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小仑的方法：①+②：______ ③；∴ ______ 得：x+y+z=4．
(2)已知3x+y+2z=9x−3y−z=3，试求解x+y+z的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
24. (本小题14.0分)
【基础巩固】(1)如图1，已知AD//EF//BC，求证：∠AEB=∠DAE+∠CBE；
【尝试应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是线段CD上一点.∠AEB=70°，∠DAE=30°，求∠CBE的度数；
【拓展提高】(3)如图3，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是线段CD上一点.若AE平分∠DAC，∠CAB=∠ABC．
①试求出∠BAE的度数；
②已知∠AEB=∠ABE，∠EBC=30°，点G是直线AD上的一个动点，连接CG并延长．
2.1若CA恰好平分∠BCD，当CG与四边形ABCD中一边所在直线垂直时，∠ACG= ______ °；
2.2如图4，若CG是∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠BFC=α°，则∠ADC= ______ °(用含α的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：要使分式1x−2023有意义，需x−2023≠0，
解得：x≠2023．
故选：A．
根据分母不为0求出x的取值即可．
此题考查了分式有意义的条件，始终注意分母不为0这个条件．
2.【答案】B
【解析】解：80纳米=80×10−9米=8×10−8米．
故选：B．
根据题意把80纳米表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法−表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：A.a6⋅a3=a9，故此选项符合题意；
B.a6+a3，无法合并，故此选项不合题意；
C.(a6)3=a18，故此选项不合题意；
D.a6÷a3=a3，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠1=60°，∠2=59°，
∴∠1≠∠2，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
∵∠2=59°，∠4=60°，
∴∠2≠∠4，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
∵∠2=59°，∠3=121°，
∴∠2+∠3=180°，
∴l1//l2，故符合题意；
∵∠1=60°，∠4=60°，∠1与∠4是对顶角，
∴不能证明l1//l2，故不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、旅客上飞机前的安检工作适合全面调查，符合题意；
B、调查所有亚运会志愿者的身高适合抽样调查，不符合题意；
C、调查五一假期时，宁波的每日流动人口数适合抽样调查，不符合题意；
D、调查一批手机的使用寿命适合抽样调查，不符合题意；
故选：A．
根据调查的特点、是否具有破坏性，是否耗人力物力等因素排除即可．
本题考查了事件调查的选择，依特点排除是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：原式=m2−2mn+mn−2n2
=m2−mn−2n2．
故选：D．
原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEF=∠EFD=80°，∠EGF=∠GFD，
∵FG平分∠EFD，
∴∠DFG=12∠EFD(角平分线的性质)，
∴∠DFG=40°，
∴∠FGE=40°．
故选：D．
根据平行线的判定及性质解答即可．
本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．
8.【答案】D
【解析】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意得：
x+12y=50y+23x=50，
故选：D．
设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意可得等量关系：甲的钱数+乙的钱数×12=50，乙的钱数+甲的钱数×23=50，然后再列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9.【答案】C
【解析】解：由图可知：
2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)．
故选：C．
根据大长方形的面积等于每一个图形的面积和列式可求解．
本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，掌握面积法是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在长方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∵C1=2(AB−a)+2(AD−a)=2(AB+AD)−4a，
C2=2(AB−b)+2AD=2(AB+AD)−2b，
∴C1−C2=−4a+2b=−2(2a−b)，
∵2a−b=c，
∴C1−C2=−2c，
∴C2=C1+2c，
故选：D．
先根据平移的性质求出C1、C2的值，再进行作差求解．
本题考查了整式的运算，掌握平移的性质是解题的关键．
11.【答案】x(x−4y)
【解析】解：原式=x(x−4y)．
故答案为：x(x−4y)．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】0.3
【解析】解：由题意得：1−0.2−0.15−0.35=0.3，
∴第二组的频率是0.3，
故答案为：0.3．
根据各频率之和为1，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握各频率之和为1是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：把x=1y=−1代入方程组得：2a−b=3①2a+b=5②，
①+②得：4a=8，
解得：a=2，
②−①得：2b=2，
解得：b=1，
则a+b=2+1=3．
故答案为：3．
把x与y的值代入方程组计算求出a+b的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
14.【答案】1
【解析】解：若x是48的溜数，则有48x−6x+6=6，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解．
故答案为：1．
根据“溜数”的定义进行计算即可．
本题考查了新定义的问题，读懂题意理解溜数的概念是解题关键．
15.【答案】45°或75°
【解析】解：分三种情况：
①当A′B//AC时，如图：
∴∠ACA′=∠BA′C=45°；
②如图，
当A′B//AD时，作FC//A′B//AD，
∴∠FCA=∠A，FCA′=∠A′，
∴∠ACA′=∠FCA+∠FCA′=45°+30°=75°；
③当A′B′//CD时，旋转角∠ACA′>90°，不合题意，舍去．
综上所述，∠ACA′=45°或75°．
故答案为：45°或75°．
分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】−354 24
【解析】解：∵a2+b2=20，8(a+b)2=20，
∴8(a2+2ab+b2)=20，
即8×(20+2ab)=20，
解答ab=−354，
故答案为：−354；
设正方形KLMN的边长为a，则正方形AFLJ的边长为6−a，正方形GCIL的边长为2−a，
∵长方形BGLF的面积为4，
∴(6−a)(2−a)=4，
设6−a=x，2−a=y，则x−y=4，xy=(6−a)(2−a)=4，
∴图中阴影部分的面积之和为：
(6−a)2+(2−a)2
=x2+y2
=(x−y)2+2xy
=16+8
=24，
故答案为：24．
根据a2+b2=20，8(a+b)2=20，代入8(a2+2ab+b2)=20进行计算即可；
设正方形KLMN的边长为a，得出正方形AFLJ的边长为6−a，正方形GCIL的边长为2−a，由长方形BGLF的面积为4可得(6−a)(2−a)=4，再设6−a=x，2−a=y，得到x−y=4，xy=4，由x2+y2=(x−y)2+2xy代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】解：(1)x=2y①3x−2y=4②，
把①代入②得：6y−2y=4，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x=2，
则方程组的解为x=2y=1；
(2)去分母得：3x=4x+1+3x+3，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：3(x+1)=0，
∴x=−1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=−4+1+3333+3433
=−4+1+1+3
=1；
(2)原式=x−1−2x−1÷(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x−1⋅(x+1)(x−1)(x−3)2
=x+1x−3，
当x=1或3时，原式没有意义；
当x=2时，原式=2+12−3=−3．
【解析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，有理数的乘方，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】AA′=BB′ AA′//BB′ 2
【解析】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求；
(2)连接AA′，BB′，则AA′与BB′之间的数量关系为AA′=BB′；AA′与BB′之间的位置关系为AA′//BB′．
故答案为：AA′=BB′，AA′//BB′；
(3)如图2，∵三角形MNP沿MM′方向平移若干距离得到三角形M′N′P′．
∴MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′，
∵三角形MNP和五边形M′MNN′P′的周长分别是5与9，
∴2MM′=9−5=4，
∴MM′=2
∴三角形MNP平移的距离为2．
故答案为：2．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用平移变换的性质判断即可；
(3)判断出周长差=2MM′，求出MM′，可得结论．
本题考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】7 126
【解析】解：(1)E项目的人数为：50−20−11−2−6−2=9(人)，
补全条形统计图如下：
(2)调查中参与推广的有：20×(1−40%−25%)=7(人)，
占扇形圆心角的度数是：360°×35%=126°，
故答案为：7，126；
(3)1200×20×40%50=192(名)，
∵192<200，
∴参与宣传工作的志愿者人数不符合上级要求．
(1)用样本容量50分别减去其他五个项目的人数可得E项目的人数，即可补全条形统计图；
(2)用A的人数乘参与推广所占百分比可得调查中参与推广的志愿者人数；用360°乘参与推广所占百分比可得对应的圆心角的度数；
(3)用1200乘参与宣传工作所占百分比可得参与宣传工作的志愿者人数，进而得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】证明：(1)∵FG⊥EH，FP⊥FG，
∴∠PFG=∠FGH=90°，
∴∠PFG+∠FGH=180°，
∴PF//EH，
∴∠GHC=∠FPH=30°，
∵AB//CD，
∴∠BFP=∠FPH=30°，
∴∠AFG=60°，
∴∠AFG=2∠GHC；
(2)∵FP平分∠HFB，∠BFP=30°，
∴∠BFP=∠PFH=30°，
∵∠AFG=60°，FE平分∠AFG，
∴∠EFG=30°，
∴∠EFG=∠PFH=30°，
∴∠EFG+∠HFG=∠PFH+∠HFG，
即∠EFH=∠PFG=90°，
∴EF⊥FH．
【解析】(1)由垂直可得∠PFG=∠FGH=90°，从而可判定PF//EH，则有∠GHC=∠FPH=30°，再由AB//CD，可得∠BFP=∠FPH=30°，则可求得∠AFG=60°，即可求∠FG=2∠GHC；
(2)由角平分线的定义可得∠BFP=∠PFH=30°，∠EFG=30°，从而可求得∠EFH=90°，即可判定EF⊥FH．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
22.【答案】解：(1)设白年糕的价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为1.25x元/斤，
由题意得：120x−1201.25x=6，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x=1.25×4=5，
答：白年糕的价格为4元/斤，则艾草年糕的价格为5元/斤；
(2)设小雨购买白年糕m盒，艾草年糕n盒，
由题意得：m+n=134×5m+5×5m=300，
解得：m=5n=8，
答：小雨购买白年糕5盒，艾草年糕8盒．
【解析】(1)设白年糕的价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为1.25x元/斤，根据120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，列出分式方程，解方程即可；
(2)设小雨购买白年糕m盒，艾草年糕n盒，根据小雨用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
23.【答案】3−2z z+1 5x+5y+5z=20 ③÷5
【解析】解：(1)由题意，小北的方法：②×3−①×2，整理可得：y=3−2z；
①×3−②×2，整理可得：x=z+1，
∴x+y+z=4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z=20③；
∴③÷5得：x+y+z=4．
故答案为：3−2z；z+1；5x+5y+5z=20；③÷5．
(2)由题意，3x+y+2z=9①x−3y−z=3②，
∴①×3+②，整理得：z=6−2x；
①+②×2，整理得，y=x−3，
∴x+y+z=3．
(3)由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组4x+5y+2z=6①4x+8y+2z=7.2②，
∴②−①得，3y=1.2，
∴y=0.4．
又①×8−②×5，整理得，2x+z=2．
∴2x+3y+z=3.2．
∴200x+300y+100z=320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
(1)依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
(2)依据题意，仿照(1)进行消元可以得解；
(3)依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而4x+5y+2z=64x+8y+2z=7.2，变形可得2x+3y+z=3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
24.【答案】60°或15°或120 2α
【解析】(1)证明：∵AD//EF//BC，
∴∠DAE=∠AEF，∠FEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE；
(2)解：如图2，过点E作EF//AD，交AB于F，
∵AD//BC，EF//AD，
∴AD//BC//EF，
由(1)可知：∠AEB=∠DAE+∠CBE，
∵∠AEB=70°，∠DAE=30°，
∴∠CBE=40°；
(3)解：①∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
又∵∠CAB=∠ABC，
∴∠ABC+∠CAB+∠DAE+∠CAE=180°，
∴∠BAE=90°；
②2.1∵∠BAE=90°，∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵∠EBC=30°，
∴∠ABC=75°=∠CAB，
∴∠ACB=180°−75°−75°=30°，
∵CA恰好平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
当CG⊥BC或CG⊥AD时，∠ACG=90°−30°=60°；
当CG⊥AB时，∠GCB=90°−75°=15°，
∴∠ACG=30°−15°=15°；
当CG⊥CD时，∠ACG=90°+30°=120°，
综上所述：∠ACG的度数为60°或15°或120°，
故答案为：60°或15°或120；
2.2∵CG是∠ACD的平分线，
∴∠ACG=∠DCG，
∵∠ACB=30°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，∠FAG=∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°=∠FAC，
∴∠ACF=180°−105°−α°=75°−α°，
∴∠ACD=2∠ACF=150°−2α°，
∴∠BCD=180°−2α°，
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=2α°，
故答案为：2α．
(1)由平行线的性质可得∠DAE=∠AEF，∠FEB=∠EBC，即可求解；
(2)由平行线的推论可得AD//BC//EF，由(1)的可求解；
(3)①由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，由三角形内角和定理可求∠BAE=90°；
②2.1先求出∠ACB的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解；
2.2分别求出∠FAC，∠ACF的度数，由平行线的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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