高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题07+平面解析几何（选择题、填空题）

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专题07 平面解析几何（选择题、填空题）
知识点目录
知识点1：圆的方程
知识点2：直线与圆的位置关系
知识点3：圆与圆的位置关系
知识点4：轨迹方程及标准方程
知识点5：椭圆的几何性质
知识点6：双曲线的几何性质
知识点7：抛物线的几何性质
知识点8：弦长问题
知识点9：离心率问题
知识点10：焦半径、焦点弦问题
知识点11：范围与最值问题
知识点12：面积问题
知识点13：新定义问题

近三年高考真题
知识点1：圆的方程
1．（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】由点在直线上，可设，
由于点和均在上，圆的半径为，
求得，可得半径为，圆心，
故的方程为，
故答案为：．
2．（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】（或或或．
【解析】设过点，，的圆的方程为，
即，解得，，，
所以过点，，圆的方程为．
同理可得，过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．
故答案为：（或或或．
知识点2：直线与圆的位置关系
3．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则　　
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以，
所以．
故选：．

4．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则　　
A． B． C．1 D．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，
直线是圆的一条对称轴，
圆心在直线上，可得，即．
故选：．
5．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆外，则直线与圆相离
C．若点在直线上，则直线与圆相切
D．若点在圆内，则直线与圆相离
【答案】
【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；
中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；
中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；
中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；
故选：．
6．（2022•甲卷（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线的渐近线：，
圆的圆心与半径1，
双曲线的渐近线与圆相切，
，解得，舍去．
故答案为：．
7．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，
的圆心，半径为1，
所以，得，解得，．
故答案为：，．
知识点3：圆与圆的位置关系
8．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】（填，都正确）．
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：

，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
知识点4：轨迹方程及标准方程
9．（2022•甲卷（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，
则，
由平面向量数量积的运算法则可得：
，，
则椭圆方程为．
故选：．
10．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
11．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
12．（2022•天津）已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
，联立，可得，又，
，
，，，
又，
，
，，
双曲线的标准方程为．
故选：．
13．（2021•北京）双曲线的离心率为2，且过点，，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为双曲线过点，，
则有①，
又离心率为2，
则②，
由①②可得，，，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
14．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是　　
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】
【解析】函数，因为，，成等比数列，
则，即，
即，
整理可得，
因为，故，即，
所以或，
当时，点的轨迹是直线；
当，即，因为，故点的轨迹是双曲线．
综上所述，平面上点的轨迹是直线或双曲线．
故选：．
知识点5：椭圆的几何性质
15．（2023•甲卷（理））已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得


．
可得．
故选：．
16．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】设，，，，线段的中点为，
由，，
相减可得：，
则，
设直线的方程为：，，，，，，
，，，
，解得，
，，化为：．
，，解得．
的方程为，即，
故答案为：．
17．（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 　 　．
【答案】．
【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过，设直线的方程为，
直线和圆相切，
圆心到直线的距离与半径相等，
，解得，
将代入，可得点坐标为，
，
，，
．
故答案为：．
知识点6：双曲线的几何性质
18．（2023•乙卷（文））设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，，，，中点为，，
，
①②得，
即，
即或，
故、、错误，正确．
故选：．
19．（2021•甲卷（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线 的距离，
则点到双曲线的一条渐近线的距离．
故选：．
20．（2021•乙卷（理））已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：4．
21．（2021•乙卷（文））双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
22．（2022•上海）双曲线的实轴长为 ．
【答案】6
【解析】由双曲线，可知：，
所以双曲线的实轴长．
故答案为：6．
23．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】．
【解析】双曲线化为标准方程可得，
所以，双曲线的渐近线方程，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得．
故答案为：．
24．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的方程是，
双曲线渐近线为
又离心率为，可得
，即，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
知识点7：抛物线的几何性质
25．（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则　　
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，，
由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以．
故选：．
26．（2023•乙卷（文））已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
【答案】．
【解析】点在抛物线上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
27．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则　　
A．1 B．2 C． D．4
【答案】
【解析】抛物线的焦点，到直线的距离为，
可得，解得．
故选：．
28．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】6．
【解析】如图，

由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
29．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
【答案】．
【解析】法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，．
所以，所以的方程为：，
时，，
，所以，解得，
所以抛物线的准线方程为：．
法二：根据射影定理，可得，可得，解得，
因此，抛物线的准线方程为：．
故答案为：．
知识点8：弦长问题
30．（2023•甲卷（理））已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
31．（2023•甲卷（文））已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
32．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2．
【解析】圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，
，
解得．
故答案为：2．
33．（2021•天津）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】．
【解析】假设在轴的上方，斜率为的直线与轴交于，
则可得，所以，如图所示，由圆的方程可得，圆的半径为，
由于为切点，所以，所以，
故答案为：．

知识点9：离心率问题
34．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由椭圆可得，，，
椭圆的离心率为，
，，，
，
或（舍去）．
故选：．
35．（2022•甲卷（理））椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】已知，设，，则，，
，
，
故①，
，即②，
②代入①整理得：，
．
故选：．
36．（2022•甲卷（文））记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ．
【答案】，内的任意一个值都满足题意）．
【解析】双曲线的离心率为，，
双曲线的渐近线方程为，
直线与无公共点，可得，即，即，
可得，
满足条件“直线与无公共点”的的一个值可以为：2．
故答案为：，内的任意一个值都满足题意）．
37．（2021•甲卷（理））已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为．
故选：．
38．（多选题）（2022•乙卷（理））双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，

设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，

过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
39．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．

40．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，
所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．
故答案为：．

41．（2021•乙卷（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】点的坐标为，设，，
则，
，
故，，，
又对称轴，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
故只需要满足，即，则，
所以，
又，
故的范围为，，
当时，即时，
则当时，最大，
此时，
当且仅当即时等号成立，
又，所以，即，
故不满足题意，
综上所述的的范围为，，
方法二：根据题意，有，设，，则，
也即，
不妨设，则，，，
也即，，，
也即，，，
从而可得，，
从而离心率的取值范围为，，
故选：．
42．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，
由题意可得：，渐近线的方程为：，
可得，，，，
，，，，
所以，，
由，
解得：，所以双曲线的离心率，
故选：．
知识点10：焦半径、焦点弦问题
43．（2023•甲卷（文））设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则　　
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】
【解析】根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆，其中，
则有，，
可得，
故选：．
44．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则　　
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【解析】如图所示，因为点到直线的距离，
点到直线的距离．
由方程可知，是抛物线的准线，
又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等，
故．
故选：．

45．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则　　
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【答案】
【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，
所以正确；
抛物线方程为：，与交于，两点，
直线方程代入抛物线方程可得：，
，
所以，所以不正确；
，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，
所以以为直径的圆与相切，所以正确；
，
不妨可得，，，，
，，，
所以不是等腰三角形，所以不正确．
故选：．
46．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 ．
【答案】．
【解析】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，

由抛物线的定义，可得，，
，
直线的斜率．
故答案为：．
47．（2021•北京）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则点的横坐标是 　 　．
【答案】．
【解析】抛物线，
则焦点，准线方程为，
过点作，垂足为，设，，
则，
所以，则，
所以点的横坐标为5；
点在抛物线上，故，
所以，即，
所以．
故答案为：5；．

48．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
【答案】13．
【解析】椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
的周长等价于．
故答案为：13．

49．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则　　
A．的准线为 B．直线与相切
C． D．
【答案】
【解析】点在抛物线上，
，解得，
抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；
由于，，则，直线的方程为，
联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；
根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，
联立，消去并整理可得，则，，，
，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；
，选项正确．
故选：．
50．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则　　
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】
【解析】如图，

，，，且，，，
由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，
，故正确；
，，，故错误；
，故正确；
，，，，，
，，
，均为锐角，可得，故正确．
故选：．
知识点11：范围与最值问题
51．（2023•乙卷（理））已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，设，则，
根据题意可得：，




，又，
当，，时，
取得最大值．
故选：．

52．（2021•北京）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】圆，直线，
直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，
则圆心到直线的距离，
当弦长取得最小值2时，则有最大值，
又，因为，则，
故的最大值为，解得．
故选：．
53．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】
【解析】，是椭圆的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为9．
故选：．
54．（2023•乙卷（文））已知实数，满足，则的最大值是　　
A． B．4 C． D．7
【答案】
【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
55．（2021•乙卷（文））设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为　　
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】是椭圆的上顶点，所以，
点在上，设，，，，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：．
56．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则　　
A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】
【解析】，，
过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，，
，，，
点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），
此时，
，故正确．
故选：．

57．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】，．
【解析】设的对称点，仍在双曲线右支，由，
得，即恒成立，
恒为锐角，即，
其中一条渐近线的斜率，
，
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．

58．（2021•全国）双曲线的左、右焦点分别为，，点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得左右焦点，
设为关于直线的对称点，
则，可得，，
连接与直线的交点为，则，
故答案为：．

知识点12：面积问题
59．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】记直线与轴交于，
椭圆的左，右焦点分别为，，，，
由△面积是△的2倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，所以△，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
60．（2021•甲卷（文））已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】8．
【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
即，
所以，
所以四边形的面积为．
故答案为：8．
61．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
【答案】．
【解析】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为1，
，
．
故答案为：．
62．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【答案】2（或或或．
【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心眼到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
知识点13：新定义问题
63．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】
【解析】椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，
在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故②错误．
故选：．
64．（2022•上海）设集合，，
①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；
②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【答案】
【解析】当时，集合，，，
当时，集合，，，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心在直线上，半径单调递增，
相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，
因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，
若直线斜率不存在，显然不成立，
设直线，若考虑直线与圆的焦点个数，
，，
给定，，当足够大时，均有，
故直线只与有限个圆相交，②错误．
故选：．