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高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题14+概率与统计（文）
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这是一份高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题14+概率与统计（文），文件包含专题14概率与统计文全国通用解析版docx、专题14概率与统计文全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
专题14 概率与统计（文）
知识点目录
知识点1：回归分析
知识点2：信息图表处理
知识点3：频率分布直方图与茎叶图
知识点4：古典概型与几何概型
知识点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
知识点6：独立性检验
近三年高考真题
知识点1：回归分析
1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】
【解析】相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：．
2．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【答案】
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：．
3．（2022•乙卷（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
【解析】（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
（2）由题可知，；
（3）设总根部面积和，总材积量为，则，故．
知识点2：信息图表处理
4．（2023•上海）如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【答案】
【解析】显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，正确．
故选：．
5．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为 （亿元） ．
【答案】946（亿元）．
【解析】设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，
中位数与平均数相同，
，
，
该地一年的为（亿元）．
故答案为：946（亿元）．
知识点3：频率分布直方图与茎叶图
6．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：，，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间，内的影视作品数量是
A．20 B．40 C．64 D．80
【答案】
【解析】由频率分布直方图知，
评分在区间，内的影视作品的频率为，
故评分在区间，内的影视作品数量是，
故选：．
7．（2021•甲卷（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
【解析】对于，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项错误；
对于，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项正确．
故选：．
8．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
【答案】7．
【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，
，故组数为7组，
故答案为：7．
9．（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：的分组区间为，，，，，，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】
【解析】志愿者的总人数为，
第3组的人数为，
有疗效的人数为人．
故选：．
10．（2022•乙卷（文））分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：，得如图茎叶图：
则下列结论中错误的是
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】
【解析】由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法正确．
故选：．
11．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
【解析】（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
知识点4：古典概型与几何概型
12．（2023•乙卷（文））某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为．
故选：．
13．（2023•甲卷（文））某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，
基本事件总数，
这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数，
则这2名学生来自不同年级的概率为．
故选：．
14．（2022•甲卷（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，
，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有，，，，，，共6种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率；
故选：．
15．（2021•乙卷（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由于试验的全部结果构成的区域长度为，
构成该事件的区域长度为，
所以取到的数小于的概率．
故选：．
16．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】；．
【解析】设盒子中共有球个，
则甲盒子中有黑球个，白球个，
乙盒子中有黑球个，白球个，
丙盒子中有黑球个，白球个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；．
17．（2022•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】
【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
知识点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
18．（2022•甲卷（文））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】
【解析】对于，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
，，，，，，，，，，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，故错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故正确；
对于，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，
讲座前正确率的极差为：，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故错误．
故选：．
19．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，，的标准差
D．，，，的极差不大于，，，的极差
【答案】
【解析】选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；
选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，错误．
选项，，，，正确．
故选：．
20．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有
A．样本，，，的标准差 B．样本，，，的中位数
C．样本，，，的极差 D．样本，，，的平均数
【答案】
【解析】中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选：．
21．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】
【解析】对于，两组数据的平均数的差为，故错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；
对于，标准差，
两组样本数据的样本标准差相同，故正确；
对于，，2，，，为非零常数，
的极差为，的极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故正确．
故选：．
22．（2023•乙卷（文））某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【解析】（1）根据表中数据，计算，2，，，填表如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
9
6
8
15
11
19
18
20
12
计算平均数为，
方差为．
（2）由（1）知，，，
所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
23．（2021•乙卷（文））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1）由题中的数据可得，，
，
；
；
（2），，
因为，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
知识点6：独立性检验
24．（2023•甲卷（文））一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
25．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
26．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
27．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
28．820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；
对照组
试验组
（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【解析】（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
．
（2）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，
因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是；
填写列联表如下：
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
根据列联表中数据，计算，
所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
29．（2022•甲卷（文））甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数
未准点班次数
240
20
210
30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：．
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【解析】（1）公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故公司准点的概率为；
公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故公司准点的概率为；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，公司共260辆，公司共240辆，
，
有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
30．（2021•甲卷（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
专题14 概率与统计（文）
知识点目录
知识点1：回归分析
知识点2：信息图表处理
知识点3：频率分布直方图与茎叶图
知识点4：古典概型与几何概型
知识点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
知识点6：独立性检验
近三年高考真题
知识点1：回归分析
1．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】
【解析】相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：．
2．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【答案】
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：．
3．（2022•乙卷（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
【解析】（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
（2）由题可知，；
（3）设总根部面积和，总材积量为，则，故．
知识点2：信息图表处理
4．（2023•上海）如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【答案】
【解析】显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，正确．
故选：．
5．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为 （亿元） ．
【答案】946（亿元）．
【解析】设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，
中位数与平均数相同，
，
，
该地一年的为（亿元）．
故答案为：946（亿元）．
知识点3：频率分布直方图与茎叶图
6．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：，，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间，内的影视作品数量是
A．20 B．40 C．64 D．80
【答案】
【解析】由频率分布直方图知，
评分在区间，内的影视作品的频率为，
故评分在区间，内的影视作品数量是，
故选：．
7．（2021•甲卷（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
【解析】对于，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项错误；
对于，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项正确．
故选：．
8．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
【答案】7．
【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，
，故组数为7组，
故答案为：7．
9．（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：的分组区间为，，，，，，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】
【解析】志愿者的总人数为，
第3组的人数为，
有疗效的人数为人．
故选：．
10．（2022•乙卷（文））分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：，得如图茎叶图：
则下列结论中错误的是
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】
【解析】由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项说法正确．
故选：．
11．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
【解析】（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
知识点4：古典概型与几何概型
12．（2023•乙卷（文））某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数，
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为．
故选：．
13．（2023•甲卷（文））某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，
基本事件总数，
这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数，
则这2名学生来自不同年级的概率为．
故选：．
14．（2022•甲卷（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，
，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有，，，，，，共6种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率；
故选：．
15．（2021•乙卷（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由于试验的全部结果构成的区域长度为，
构成该事件的区域长度为，
所以取到的数小于的概率．
故选：．
16．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】；．
【解析】设盒子中共有球个，
则甲盒子中有黑球个，白球个，
乙盒子中有黑球个，白球个，
丙盒子中有黑球个，白球个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率．
故答案为：；．
17．（2022•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】
【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
知识点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
18．（2022•甲卷（文））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】
【解析】对于，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
，，，，，，，，，，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，故错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故正确；
对于，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，
讲座前正确率的极差为：，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故错误．
故选：．
19．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，，的标准差
D．，，，的极差不大于，，，的极差
【答案】
【解析】选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；
选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，错误．
选项，，，，正确．
故选：．
20．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有
A．样本，，，的标准差 B．样本，，，的中位数
C．样本，，，的极差 D．样本，，，的平均数
【答案】
【解析】中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选：．
21．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】
【解析】对于，两组数据的平均数的差为，故错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；
对于，标准差，
两组样本数据的样本标准差相同，故正确；
对于，，2，，，为非零常数，
的极差为，的极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故正确．
故选：．
22．（2023•乙卷（文））某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【解析】（1）根据表中数据，计算，2，，，填表如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
9
6
8
15
11
19
18
20
12
计算平均数为，
方差为．
（2）由（1）知，，，
所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
23．（2021•乙卷（文））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1）由题中的数据可得，，
，
；
；
（2），，
因为，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
知识点6：独立性检验
24．（2023•甲卷（文））一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
25．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
26．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
27．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
28．820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；
对照组
试验组
（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【解析】（1）根据题意，计算试验组样本平均数为
．
（2）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，
因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，
所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以这组数据的中位数是；
填写列联表如下：
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
根据列联表中数据，计算，
所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
29．（2022•甲卷（文））甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数
未准点班次数
240
20
210
30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：．
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【解析】（1）公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故公司准点的概率为；
公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故公司准点的概率为；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，公司共260辆，公司共240辆，
，
有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
30．（2021•甲卷（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
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