2022-2023学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个电子的静止质量me约为0.00054858原子质量单位，将0.00054858用科学记数法表示应为(    )
A. 0.54858×10−5 B. 5.4858×10−4 C. 5.4858×10−5 D. 5.4858×104
2. 下列计算正确的是(    )
A. (a2)3=a5 B. a+2a=3a2
C. a⋅a=2a D. a(x+y)=ax+ay
3. 两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)下列三幅图依次表示(    )

A. 同位角、内错角、同旁内角 B. 同位角、同旁内角、内错角
C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角
4. 下列因式分解正确的是(    )
A. −2x2−2xy=−2x(x−y) B. xy+3xz+2=x(y+3z)+2
C. 3x2−3y2=3(x2−y2) D. x3−2x2+x=x(x−1)2
5. 已知x、y满足方程组x+5y=123x−y=4，则x+y的值为(    )
A. −4 B. 4 C. −2 D. 2
6. 如图，点O在直线AB上，AB/​/CD，EO⊥OF，若∠BOF=55°，则∠DEO的度数是(    )
A. 145°
B. 45°
C. 35°
D. 135°
7. 有理数a，b在数轴上的位置如图，则正确的结论是(    )

A. a>b B. a+b>0 C. a−b>0 D. |a|>|b|
8. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如6613用算筹表示就是，则2023用算筹可表示为(    )

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 因式分解：x2y−4y=______．
10. 如果2x−y=5，那么用含x的代数式表示y，则y= ______ ．
11. 某班有10名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如表所示．
服务时长(小时)
15
16
20
人数(人)
2
5
3
这10名同学社区服务的平均时长是          小时．
12. 把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则AB/​/CD，理由是______ ．


13. 某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费6元.某学习小组统计了一段时间内该外卖平台的部分订单中，每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的数据，对于两种情况得到的两组数据有如下3个判断：
①众数不同；
②中位数不同；
③平均数相同；
④方差相同．
其中所有正确判断的序号是______ ．
14. 用一个a的值说明“|a|=a”是错误的，则a的值可以是______ ．
15. 直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，E为平面上一点，若∠EOD=30°，则∠BOE= ______ ．
16. 某校要举办秋季运动会，初一(2)班有四名同学分别想参与100m，200m，400m，和800m的比赛，其中甲同学擅长跑100m和200m，乙同学擅长跑400m和800m，丙同学擅长跑100m、200m和400m，丁同学最擅长跑100m.为了让班级取得好成绩，也让他们每个人都可以参加比赛，并且每人只能参加一项比赛，那么只能派______ 参加400m比赛．
三、解答题（本大题共13小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：32+|−3|−(−2023)0−(13)−1．
18. (本小题5.0分)
计算：3(2a−1)(2a+1)−2(a+2)(a−3)．
19. (本小题5.0分)
解不等式2(5−2x)≤−3(x−2)并把解集在数轴上表示．
20. (本小题5.0分)
解不等式组3x+2>2(x−1),x+12≤1并写出它的整数解．
21. (本小题5.0分)
解方程组x−y=72x+y=5．
22. (本小题5.0分)
已知x=12，求(x−1)(x+1)−(x−2)2+3的值．
23. (本小题5.0分)
已知x2−5x−4=0，求2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+12)的值．
24. (本小题5.0分)
完成下面证明：
已知：BC/​/DE，∠1=∠2．
求证：AB/​/DF．
证明：∵BC/​/DE，
∴∠ ______ =∠ ______ (______ ).
又∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠ ______ ．
∴AB//DF(______ ).

25. (本小题5.0分)
通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
24×26=(2×3)×100+4×6=624
52×58=(5×6)×100+2×8=3016
84×86=(8×9)×100+4×6=7224
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
(1)若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数______ × ______ ；
(2)若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：

∵b+d= ______ ，
∴ab−⋅ad−= ______ ．
26. (本小题5.0分)
每年的4月23日是“世界读书日”.某校为了解4月份七年级学生的读书情况，老师随机调查了七年级50名学生读书的册数，进行统计分析，绘制成如图表所示，根据图表信息，解答下列问题：
册数
1
2
3
4
人数
6
24
a
5
根据上述表格中的信息绘制出扇形统计图如下(数据分成四组：A.阅读册数为1的人数，B.阅读册数为2的人数，C.阅读册数为3的人数，D.阅读册数为4的人数).请根据以上数据回答：
(1)直接写出表中a的值为______ ；
(2)50名学生4月份读书册数的中位数______ 册；
(3)扇形统计图中，4月份阅读3本书的人数所在扇形的圆心角是______ 度；
(4)若规定：每月阅读2本以上(含2本)课外书籍者为完成阅读任务，据此估计该校600名学生中，完成阅读任务的有多少人？

27. (本小题6.0分)
列方程组解应用题：
平谷大桃久负盛名，张伯伯为了丰富自家大桃的品种，计划购买黄油桃和水蜜桃两个品种的树苗，经了解，120棵黄油桃树苗和180棵水蜜桃的树苗共需5100元，一棵黄油桃树苗比一棵水蜜桃树苗贵5元.(注：所购的黄油桃树苗价格都一样，所购的水蜜桃树苗的价格都一样)
(1)求这两种树苗的单价各多少元？
(2)为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，张伯伯欲购买的黄油桃树苗比水蜜桃多60棵，总费用不超过6000元，最多可以购买水蜜桃树苗多少棵？
28. (本小题6.0分)
如图，∠A=90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，过点D作DE⊥AB与BC交于点E．
(1)依据题意补充图形；
(2)设∠ACD=α，则∠DEB= ______ (用含α的式子表示)；
(3)求证：∠EDC=∠DCE．

29. (本小题6.0分)
若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的2x−4=0解为x=2.不等式组x−1>0x<5的解集为10x<5，的“友好方程”．
(1)请你写出一个方程______ ，使它和不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4为“友好方程”；
(2)若关于x的方程2x−k=4是不等式组3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−10的“友好方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+3−4m=0是关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：0.00054858=5.4858×10−4，
故选：B．
根据科学记数法表示绝对值较小数的记数规则表示出0.00054858即可．
本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数，a×10n，是记数法的形式，1≤a<10，n的正负取决于小数点移动的方向，左移正，右移负．

2.【答案】D 
【解析】解：A、(a2)3=a6，故A不符合题意；
B、a+2a=3a，故B不符合题意；
C、a⋅a=a2，故C不符合题意；
D、a(x+y)=ax+ay，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，单项式乘多项式，幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)上列三幅图依次表示同位角、内错角、同旁内角，
故选：A．
根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、−2x2−2xy=−2x(x+y)，故A不符合题意；
B、xy+3xz+2=x(y+3z)+2，不属于因式分解，故B不符合题意；
C、3x2−3y2=3(x2−y2)=3(x+y)(x−y)，故C不符合题意；
D、x3−2x2+x=x(x−1)2，故D符合题意；
故选：D．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
直接把两式相加即可得出结论．
【解答】
解：x+5y=12①3x−y=4②
①+②得，4x+4y=16，
解得x+y=4．
故选：B．  
6.【答案】D 
【解析】解：∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
又∠BOF=55°，
∴∠EOB=∠EOF−∠BOF=90°−55°=45°，
∵AB/​/CD，
∴∠DEO+∠EOB=180°，
∴∠DEO=180°−∠EOB=135°．
故选：D．
首先根据EO⊥OF，∠BOF=55°得∠EOB=45°，然后根据两直线平行同旁内角互补可求出∠DEO的度数．
此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行同旁内角互补．

7.【答案】B 
【解析】解：由题意得，−2 ∴a<0 ∴a0，a−b<0，|a|<|b|，
∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
先根据有理数a，b在数轴上的位置确定它们的符号、大小及绝对值，再对各选项进行逐一辨别．
此题考查了运用数轴上的点表示有理数的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．

8.【答案】D 
【解析】解：2023用算筹表示为：
千位上是2，用横式表示：即为=，
百位上是0，则置空，
十位上是2，则用横式表示，即为=，
个位上是3，则用纵式表示，即为|||，
故选：D．
根据算筹的计算方式进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚题意，明确清楚各数位用横式还是纵式表示．

9.【答案】y(x−2)(x+2) 
【解析】解：x2y−4y=y(x2−4)=y(x−2)(x+2)．
故答案为：y(x−2)(x+2)．
首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．

10.【答案】2x−5 
【解析】解：∵2x−y=5，
∴y=2x−5．
故答案为：2x−5．
根据等式性质变形即可．
本题考查等式的变形，解题的关键是掌握等式性质．

11.【答案】17 
【解析】解：这10名同学社区服务的平均时长是：
15×2+16×5+20×310=17(小时)．
故答案为：17．
根据加权平均数的公式直接代入数据计算即可．
本题考查了加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题的关键．

12.【答案】内错角相等，两直线平行 
【解析】解：∵∠BAD=∠ADC=30°，
∴AB/​/CD，(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．

13.【答案】①②④ 
【解析】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在每单不计算配送费额的基础上，每个数据增加6，
所以这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；方差相同．
故答案为：①②④．
根据众数、中位数、平均数以及方差的意义求解即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

14.【答案】−1 
【解析】解：∵|a|=a(a≥0)−a(a<0)，
∴当a≥0时，|a|=a是正确的；
当a<0时，|a|=a是错误的，
故答案为：−1(答案不唯一)．
运用实数绝对值的计算方法进行讨论、求解．
此题考查了实数绝对值的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．

15.【答案】40°或100° 
【解析】解：如图1，当OE在OD上方时，

∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠EOD=30°，
∴∠BOE=∠BOD+∠EOD=70°+30°=100°；
如图2，当OE在OD下方时，

∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠EOD=30°，
∴∠BOE=∠BOD−∠EOD=70°−30°=40°；
综上，∠BOE的度数为40°或100°，
故答案为：40°或100°．
分两种情况讨论，当OE在OD上方时，根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE=∠BOD+∠EOD进行计算即可；当OE在OD下方时，根据∠BOE=∠BOD−∠EOD进行计算即可．
本题考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键，同时掌握分类讨论思想的应用．

16.【答案】丙 
【解析】解：∵甲同学擅长跑100m和200m，丁同学最擅长跑100m，
∴让丁同学跑100m，甲同学跑200m，
∵乙同学擅长跑400m和800m，丙同学擅长跑100m、200m和400m，
∴让乙同学跑800m，丙同学跑400m，
故答案为：丙．
根据四名同学最擅长的项目分析即可得出答案．
本题考查了数据的分析的观念，正确理解题意是关键．

17.【答案】解：32+|−3|−(−2023)0−(13)−1
=9+3−1−3
=8． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：原式=3(4a2−1)−2(a2−a−6)
=12a2−3−2a2+2a+12
=10a2+2a+9． 
【解析】将3(2a−1)(2a+1)用平方差公式计算，将(a+2)(a−3)多项式乘多项式，合并同类项即可．
本题考查了整式的化简，平方差公式的应用和多项式乘多项式是考查的重点．

19.【答案】解：2(5−2x)≤−3(x−2)，
10−4x≤−3x+6，
−4x+3x≤6−10，
−x≤−4，
x≥4，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
 
【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

20.【答案】解：3x+2>2(x−1)①x+12≤1②，
解不等式①得：x>−4，
解不等式②得：x≤1，
所以这个不等式组的解集为：−4 ∴整数解为：−3，−2，−1，0，1． 
【解析】分别求出两个不等式的解集，再求出一元一次不等式组的解集，最后求出整数解．
本题主要考查了解一元一次不等式组的知识、整数的知识，难度不大，认真计算即可．

21.【答案】解：x−y=7①2x+y=5②，
①+②得：3x=12，
解得：x=4，
把x=4代入①中得：4−y=7，
解得：y=−3，
∴原方程组的解为：x=4y=−3． 
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．

22.【答案】解：(x−1)(x+1)−(x−2)2+3
=x2−1−x2+4x−4+3
=4x−2，
当x=12时，原式=4×12−2=2−2=0，
∴(x−1)(x+1)−(x−2)2+3的值为0． 
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

23.【答案】解：∵x2−5x−4=0，
∴x2−5x=4，
∴2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+12)
=2x2−3x2+6−3x−2x+2x2−1
=x2−5x+5
=4+5
=9． 
【解析】将已知等式化成x2−5x=4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可．
本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化．

24.【答案】CBD  EDB  两直线平行内错角相等  FDB  内错角相等两直线平行 
【解析】证明：∵BC/​/DE，
∴∠CBD=∠EDB(两直线平行内错角相等)．
又∵∠1=∠2，
∴∠ABD=∠FDB，
∴AB/​/DF(内错角相等两直线平行)．
故答案为：CBD；EDB；两直线平行内错角相等；FDB；内错角相等两直线平行．
根据题目中的证明过程，结合图形利用平行线的性质和判定进行填写即可．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．

25.【答案】63  67  10  100a(a+1)+bd 
【解析】解：(1)根据规律：
∵63×67=6(6+1)×100+3×7=4221，
∴4221=63×67；
故答案为：63×67；
(2)ab⋅ad
=(10a+b)(10a+d)
=100a2+10ab+10ad+bd
=100a2+10a(b+d)+bd，
∵b+d=10，
∴原式=100a2+100a+bd
=100a(a+1)+bd，
∴ab⋅ad=100a(a+1)+bd，
故答案为：10，100a(a+1)+bd．
(1)直接根据规律计算即可得出结论；
(2)根据已知两个两位数的个位数字分别为b和d则b+d=10，然后根据多项式乘以多项式的法则展开计算即可得出结论．
本题主要考查了−数字问题，利用多项式乘多项式找出规律是解答本题的关键．

26.【答案】15  2  108 
【解析】解：(1)a=50−6−24−5=15，
故答案为：15；
(2)50名学生读书的册数第25，26个数据分别为2，2，所以中位数为2+22=2．
故答案为：2；
(3)360°×1550=108°，
故答案为：108；
(4)600×24+15+550=528(人)，
答：估计该校600名学生中，完成阅读任务的有528人．
(1)利用总人数减去A，B，D的人数即可得到C的人数a的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)利用C的人数除以总人数，再乘以360度即可得；
(4)用总人数乘以阅读2本以上(含2本)的百分比即可．
此题考查了统计表，中位数，扇形统计图及用样本估计总体，求扇形的圆心角度数，中位数，利用部分的比例求总体中的数量，正确理解统计图表是解题的关键．

27.【答案】解：(1)设购买一棵购买黄油桃需要x元，购买一棵水蜜桃需要y元，
依题意，得：x−y=5120x+180y=5100，
解得：x=20y=15，
答：购买一棵购买黄油桃需要20元，购买一棵水蜜桃需要15元；

(2)设购买水蜜桃树苗m棵，则购买黄油桃树苗(m+60)棵，
依题意，得：15m+20(m+60)≤6000，
解得：m≤13717．
答：最多可以购买水蜜桃树苗137棵． 
【解析】(1)设购买一棵购买黄油桃需要x元，购买一棵水蜜桃需要y元，根据“120棵黄油桃树苗和180棵水蜜桃的树苗共需5100元，一棵黄油桃树苗比一棵水蜜桃树苗贵5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买黄油桃树苗m棵，则购买水蜜桃树苗(m−60)棵，根据总价=单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

28.【答案】2α 
【解析】(1)解：图形如图所示：

(2)解：∵DE⊥AB，∠A=90°
∴∠BDE=∠A，
∴DE/​/AC，
∴∠DEB=∠ACB=2∠ACD=2α．
故答案为：2α；
(3)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE/​/AC，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠EDC=∠DCE，
(1)根据要求画出图形即可；
(2)证明DE/​/AC，理由平行线的性质解决问题；
(3)利用平行线的性质，角平分线的定义证明即可．
本题考查作图−复杂作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

29.【答案】x−3=0 
【解析】解：(1)解不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4得1 不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4为“友好方程”可以是x−3=0，
故答案为：x−3=0；

(2)解不等式组3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−10得：−1 解方程2x−k=4得：x=4+k2，
∵关于x的方程2x−k=4是不等式组3x+1>2x3(x−1)≥2(2x+1)−10的“友好方程”，
∴−1<4+k2≤5，
解得：−6 即k的取值范围是−6
(3)解方程x+3−4m=0得x=4m−3，
解关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1得0 ∵不等式组有3个整数解，
∴3≤3m+1<4，
∴23≤m<1，
∵关于x的方程x+3−4m=0是关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“友好方程”，
∴0<4m−3≤3m+1，
解得34 所以m的取值范围是34 (1)求出不等式组的解集，根据解集即可得出方程；
(2)先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出−1<4+k2≤5，再去解不等式组的解集即可；
(3)解关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1得03mx−m≤2m+1的“友好方程”得出0<4m−3≤3m+1，解得34 本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．