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2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一组数据3，5，4，6，3，3，4的众数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1 B. x≥1 C. x<1 D. x≤1
3. 如图，DE是△ABC的中位线，若DE=4，则BC=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知点(−2,5)在一次函数y=−x+b的图象上，则b等于( )
A. 2 B. −2 C. 3 D. −3
5. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2× 3= 6 C. 3 2− 2=3 D. 12÷ 3=2
6. 如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为米．( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
7. 在△ABC中，BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，点D是BC的中点，则AD=cm．( )
A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5
8. 已知数据3，x，7，1，10的平均数为5，则x的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 已知点A(a,m)，B(b,n)在一次函数y=−4x+1的图象上，若an D. 无法确定
10. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为(2,0)，∠AOC=30°，则点C的坐标为( )
A. ( 3,1)
B. (1, 3)
C. ( 3, 2)
D. ( 2, 3)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是87分，方差分别是s甲2=1.56，s乙2=0.56，你认为成绩更稳定的选手是______ .(填“甲”或“乙”)
12. 命题“如果|a|=|b|，那么a=b.”的逆命题是______．
13. 一组数据1，6，7，4，7，5，2的中位数是______ ．
14. 若菱形的两条对角线的长分别为4和5，则此菱形的面积是______ ．
15. 若m= 2023+2，则式子m2−4m+5的值为______ ．
16. 已知一次函数y=(2−m)x−3m+9的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 12+ 27；
(2) 2( 2−2 3)+ 24．
18. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
19. (本小题6.0分)
已知正比例函数y=4x．
(1)该直线向下平移2个单位，平移后所得直线的解析式为______ ；
(2)在图中画出平移后的直线．
20. (本小题6.0分)
为了提高节能意识，某中学对全校的耗电情况进行了抽样调查，并记录了10天的耗电量情况，数据如表：
度数(度)
250
300
350
400
450
天数
1
2
m
3
2
(1)表格中的m= ______ ；
(2)求出这10天的平均耗电量；
(3)若每度电的定价是0.6元，根据(2)所获得的数据，请估计该中学每月应付电费多少元？(每月按30天计)
21. (本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，AD平分∠CAB交BC于点D．
(1)求△ABC的面积；
(2)求BD的长．
22. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，AD//BC．
(1)请你从以下条件①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=BO中，选择一个使得四边形ABCD是菱形的条件______ (填序号)；
(2)根据(1)中所选择的条件，求证：四边形ABCD是菱形．
23. (本小题10.0分)
某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章.已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
(1)每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
24. (本小题12.0分)
如图，已知直线l1：y=2x−8和直线l2：y=−x+7相交于点A，直线l1与x轴相交于点D，与y轴相交于点E．
(1)求点A的坐标；
(2)点B在直线l2上，在直线l1上是否存在点C，使以点C、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)直线l3：y=mx+2m+x+6经过一定点G，与y轴相交于点F，若直线l3把△DEF的面积分成1：3两部分，求定点G的坐标和m的值．
25. (本小题12.0分)
已知在正方形ABCD中，
(1)如图1，点M、N分别为AD、CD边上的动点，且DM=CN，连接CM、BN交于点P，点G为正方形ABCD对角线的交点．
①猜想线段CM与BN之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
②下列结论：甲同学认为PC+PGPB的值不变；乙同学认为PB−PCPG的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值；
(2)如图2，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=90°，求证：CE= 2DF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在数据3，5，4，6，3，3，4中，3出现了3次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为3．
故选：A．
根据众数的定义可得答案．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
2.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=8，
故选：D．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点(−2,5)在一次函数y=−x+b的图象上，
∴5=−1×(−2)+b，
解得：b=3，
∴b的值为3．
故选：C．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于b的一元一次方程，解之即可求出b的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2× 3=2 3，故B不符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、 12÷ 3=2，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：梯子顶端离地面的距离= 52−32=4，
故选：B．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理即可得到结论．
7.【答案】A
【解析】解：∵BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=12BC=132cm，
故选：A．
由勾股定理的逆定理可求∠BAC=90°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵数据3，x，7，1，10的平均数为5，
∴3+x+7+1+10=5×5，
解得x=4，
故选：B．
根据平均数的计算方法列方程求解即可．
本题考查算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵k=−4<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A(a,m)，B(b,n)在一次函数y=−4x+1的图象上，且a
故选：C．
根据一次函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，
∵四边形OABC是菱形，A的坐标为(2,0)，
∴OC=OA=2，
在Rt△OCE中，OC=2，∠AOC=30°，
∴OE= 3，CE=1，
∴点C的坐标是( 3,1)，
故选：A．
利用菱形的性质和点A的坐标先求出OC的长，根据含30°角的直角三角形进行计算求出OE、CE，可以求出点C的坐标．
本题主要考查菱形性质、坐标与图形性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的四条边都相等和含30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙两人的平均成绩都是87分，
∵方差s甲2=1.56，s乙2=0.56，
0.56<1.56，
∴乙的成绩更稳定，
故答案为：乙．
两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
12.【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【解析】解：命题“如果|a|=|b|，那么a=b.”的逆命题是如果a=b，那么|a|=|b|，
故答案为：如果a=b，那么|a|=|b|．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】5
【解析】解：将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故答案为：5．
根据中位数的定义进行解答即可．
本题考查中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的计算方法是解决前提的关键．
14.【答案】10
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S=12×4×5=10．
故答案为：10．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
15.【答案】2024
【解析】解：∵m= 2023+2，
∴m2−4m+5
=(m−2)2+1
=( 2023+2−2)2+1
=2023+1
=2024．
故答案为：2024．
把代数式化为(m−2)2+1的形式，再把m的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】2
解得2
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
17.【答案】解：(1)原式=2 3+3 3
=5 3；
(2)原式= 2×2−2 3×2+2 6
=2−2 6+2 6
=2．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵AD//BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
19.【答案】y=4x−2
【解析】解：(1)直线向下平移2个单位，平移后所得直线的解析式为：y=4x−2．
故答案为：y=4x−2；
(2)∵当x=0时，y=−2；当y=0时，x=12，
∴直线与坐标轴的交点为(0,−2)，(12,0)，
函数图象如图．
(1)根据“上加下减”的法则进行解答即可；
(2)求出直线与坐标轴的交点，画出函数图象即可．
本题考查一次函数的图象与几何变换，正比例的性质，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)由题意得，m=10−1−2−3−2=2，
故答案为：2；
(2)110×(250×1+300×2+350×2+400×3+450×2)=365(度)，
答：这10天的平均耗电量为365度；
(3)0.6×365=219(元)，
答：估计该中学每月应付电费大约为219元．
(1)用10分别减去其他天数可得m的值；
(2)利用加权平均数公式计算即可；
(3)用样本估计总体，根据“总价=单价×数量”可得答案．
本题考查了加权平均数及利用样本估计总体．解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB= AC2−BC2=4，
∴△ABC的面积=12×3×4=6；
(2)过D作DE⊥AC于E，
∵AD平分∠CAB，∠B=90°，
∴BD=DE，
在Rt△ADE与Rt△ADB中，
DE=BDAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADB(HL)，
∴AE=AB=4，
∴CE=1，
∵CD2=DE2+CE2，
∴(3−BD)2=BD2+1，
解得BD=43．
【解析】(1)根据勾股定理得到AB= AC2−BC2=4，根据三角形的面积公式即可得到△ABC的面积=12×3×4=6；(2)过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到BD=DE，根据全等三角形的性质得到AE=AB=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】①②③
【解析】(1)解：使得四边形ABCD是菱形的条件为①②③，
故答案为：①②③；
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DAO与△BCO中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCO(ASA)，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(1)根据题意和菱形的判定进行选择即可；
(2)先证△DAO≌△BCO(ASA)，得OA=OC，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，
根据题意得：x−y=46x=10y，
解得：x=10y=6．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
(2)设购进m个A种纪念章，则购进(400−m)个B种纪念章，
根据题意得：10m+6(400−m)≤2800，
解得：m≤100．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w=(13−10)m+(8−6)(400−m)，
即w=m+800，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值=100+800=900，此时400−m=400−100=300．
答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
【解析】(1)设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，根据“每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m个A种纪念章，则购进(400−m)个B种纪念章，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不超过2800元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】解：(1)联立y=2x−8y=−x+7，
解得x=5y=2，
∴A(5,2)；
(2)在直线l1上存在点C，使以点C、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
在y=2x−8中，令y=0得x=4，
∴D(4,0)，
设B(m,−m+7)，C(n,2n−8)，
又O(0,0)，
①当DB，CO为对角线时，DB，CO的中点重合，
∴m+4=n−m+7=2n−8，
解得m=73n=193，
∴C(193,143)；
②当DC，BO为对角线时，DC，BO的中点重合，
∴n+4=m2n−8=−m+7，
解得m=233n=113，
∴C(113,−23)；
③当DO，BC为对角线时，DC，BO的中点重合，
∴4=m+n0=−m+7+2n−8，
解得m=73n=53，
∴C(53,−143)；
综上所述，C的坐标为(193,143)或(113,−23)或(53,−143)；
(3)∵y=mx+2m+x+6=(x+2)m+x+6，
∴当x=−2时，y的值与m无关，都为4，
∴G(−2,4)；
设直线l3交直线l1于K，
由2x−8=mx+2m+x+6得x=−2m−14m−1，
∴xK=−2m−14m−1，
当S△DFK：S△EFK=1：3时，如图：
∴S△EFK：S△EFD=3：4，
∴3S△EFD=4S△EFK，
∴3×12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；
∵OD=4，
∴3×4=4×−2m−14m−1，
解得m=−115，
经检验，m=−115是方程的解，符合题意，
∴m的值为−115；
当S△EFK：S△DFK=1：3时，如图：
∴S△EFK：S△EFD=1：4，
∴S△EFD=4S△EFK，
∴12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；
∵OD=4，
∴4=4×−2m−14m−1，
解得m=−133，
经检验，m=−133是方程的解，符合题意，
∴m的值为−133；
综上所述，m的值为−115或−133．
【解析】(1)联立y=2x−8y=−x+7，解得A(5,2)；
(2)求出D(4,0)，设B(m,−m+7)，C(n,2n−8)，分三种情况：①当DB，CO为对角线时，DB，CO的中点重合，②当DC，BO为对角线时，DC，BO的中点重合，③当DO，BC为对角线时，DC，BO的中点重合，分别列方程组可解得答案；
(3)由y=mx+2m+x+6=(x+2)m+x+6，知当x=−2时，y的值与m无关，都为4，故G(−2,4)；设直线l3交直线l1于K，可得xK=−2m−14m−1，分两种情况：当S△DFK：S△EFK=1：3时，3×12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；可得3×4=4×−2m−14m−1，当S△EFK：S△DFK=1：3时，12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；4=4×−2m−14m−1，解方程可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标特征，平行四边形，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】(1)解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCN=∠CDM=90°，
又∵CN=DM，
∴△BCN≌△CDM(SAS)，
∴CM=BN，∠BNC=∠CMD，
又∵∠DMC+∠DCM=90°，
∴∠BNC+∠DCM=90°，
∴∠CPN=90°，
∴CM⊥BN，
综上，CM=BN，CM⊥BN；
②如图1，分别在边AB、BC上取点E、F，使AE=BF=CN=DM，交点分别为P、Q、J、K，连接GK，
由①可得：BN=CM，BN⊥CM，
同理可证：DE=CM，DE⊥CM，AF=DE，AF⊥DE，AF=BN，AF⊥BN，
∴四边形PQJK是矩形，
∵∠NCP=∠MDQ，∠NPC=∠MQD=90°，CN=DM，
∴△NCP≌△MDQ(AAS)，
∴CP=DQ，NP=MQ，
同理可得：CP=BK=AJ，MQ=EJ=FK，
∴PK=PQ，
∴矩形PQJK为正方形，
∵点G为正方形ABCD对角线的交点，
∴G为正方形PQJK对角线交点，
∴PK= 2PG，
∵PK=PB−BK，
∴PK=PB−PC，
∴PB−PC= 2PG，
即PB−PCPG= 2；
(2)证明：如图2，将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，连接DM，
则△DMF是等腰直角三角形，
∴AD=EM，∠DAF=∠MEF，
由旋转可知：∠APQ=90°，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠APQ，
∴CD//EM，
∵AD=CD，AD=EM，
∴CD=EM，
∴四边形CDME是平行四边形，
∴CE=DM，
∵△DMF是等腰直角三角形，
∴DM= 2DF，
∴CE= 2DF．
【解析】(1)①根据正方形的性质和已知条件推出判定△BCN≌△CDM的条件，然后根据全等三角形的性质即可推出线段CM与BN之间的数量和位置关系；
②分别在线段AB、BC上截取AE=BF=CN=DM，根据①中结论可知∠BNM=90°，同理证得四边形PQJK的几个内角都是直角，判定四边形PQJK是矩形，然后判定△NCP≌△MDQ，推出PK=PQ，判定矩形PQJK是正方形，再根据正方形的性质可以推出PB−PCPG的值不变；
(2)将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，根据旋转的性质推出CD//ME，再推出CD=EM后判定四边形CDME为平行四边形，推出CE=DM，最后根据△DMF是等腰直角三角形即可得证．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一组数据3，5，4，6，3，3，4的众数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1 B. x≥1 C. x<1 D. x≤1
3. 如图，DE是△ABC的中位线，若DE=4，则BC=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知点(−2,5)在一次函数y=−x+b的图象上，则b等于( )
A. 2 B. −2 C. 3 D. −3
5. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2× 3= 6 C. 3 2− 2=3 D. 12÷ 3=2
6. 如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为米．( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
7. 在△ABC中，BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，点D是BC的中点，则AD=cm．( )
A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5
8. 已知数据3，x，7，1，10的平均数为5，则x的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 已知点A(a,m)，B(b,n)在一次函数y=−4x+1的图象上，若a
10. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为(2,0)，∠AOC=30°，则点C的坐标为( )
A. ( 3,1)
B. (1, 3)
C. ( 3, 2)
D. ( 2, 3)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是87分，方差分别是s甲2=1.56，s乙2=0.56，你认为成绩更稳定的选手是______ .(填“甲”或“乙”)
12. 命题“如果|a|=|b|，那么a=b.”的逆命题是______．
13. 一组数据1，6，7，4，7，5，2的中位数是______ ．
14. 若菱形的两条对角线的长分别为4和5，则此菱形的面积是______ ．
15. 若m= 2023+2，则式子m2−4m+5的值为______ ．
16. 已知一次函数y=(2−m)x−3m+9的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 12+ 27；
(2) 2( 2−2 3)+ 24．
18. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
19. (本小题6.0分)
已知正比例函数y=4x．
(1)该直线向下平移2个单位，平移后所得直线的解析式为______ ；
(2)在图中画出平移后的直线．
20. (本小题6.0分)
为了提高节能意识，某中学对全校的耗电情况进行了抽样调查，并记录了10天的耗电量情况，数据如表：
度数(度)
250
300
350
400
450
天数
1
2
m
3
2
(1)表格中的m= ______ ；
(2)求出这10天的平均耗电量；
(3)若每度电的定价是0.6元，根据(2)所获得的数据，请估计该中学每月应付电费多少元？(每月按30天计)
21. (本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，AD平分∠CAB交BC于点D．
(1)求△ABC的面积；
(2)求BD的长．
22. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，AD//BC．
(1)请你从以下条件①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=BO中，选择一个使得四边形ABCD是菱形的条件______ (填序号)；
(2)根据(1)中所选择的条件，求证：四边形ABCD是菱形．
23. (本小题10.0分)
某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章.已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
(1)每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
24. (本小题12.0分)
如图，已知直线l1：y=2x−8和直线l2：y=−x+7相交于点A，直线l1与x轴相交于点D，与y轴相交于点E．
(1)求点A的坐标；
(2)点B在直线l2上，在直线l1上是否存在点C，使以点C、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)直线l3：y=mx+2m+x+6经过一定点G，与y轴相交于点F，若直线l3把△DEF的面积分成1：3两部分，求定点G的坐标和m的值．
25. (本小题12.0分)
已知在正方形ABCD中，
(1)如图1，点M、N分别为AD、CD边上的动点，且DM=CN，连接CM、BN交于点P，点G为正方形ABCD对角线的交点．
①猜想线段CM与BN之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
②下列结论：甲同学认为PC+PGPB的值不变；乙同学认为PB−PCPG的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值；
(2)如图2，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=90°，求证：CE= 2DF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在数据3，5，4，6，3，3，4中，3出现了3次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为3．
故选：A．
根据众数的定义可得答案．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
2.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=8，
故选：D．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点(−2,5)在一次函数y=−x+b的图象上，
∴5=−1×(−2)+b，
解得：b=3，
∴b的值为3．
故选：C．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于b的一元一次方程，解之即可求出b的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、2× 3=2 3，故B不符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、 12÷ 3=2，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：梯子顶端离地面的距离= 52−32=4，
故选：B．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理即可得到结论．
7.【答案】A
【解析】解：∵BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=12BC=132cm，
故选：A．
由勾股定理的逆定理可求∠BAC=90°，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵数据3，x，7，1，10的平均数为5，
∴3+x+7+1+10=5×5，
解得x=4，
故选：B．
根据平均数的计算方法列方程求解即可．
本题考查算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵k=−4<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A(a,m)，B(b,n)在一次函数y=−4x+1的图象上，且a
故选：C．
根据一次函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，
∵四边形OABC是菱形，A的坐标为(2,0)，
∴OC=OA=2，
在Rt△OCE中，OC=2，∠AOC=30°，
∴OE= 3，CE=1，
∴点C的坐标是( 3,1)，
故选：A．
利用菱形的性质和点A的坐标先求出OC的长，根据含30°角的直角三角形进行计算求出OE、CE，可以求出点C的坐标．
本题主要考查菱形性质、坐标与图形性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的四条边都相等和含30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙两人的平均成绩都是87分，
∵方差s甲2=1.56，s乙2=0.56，
0.56<1.56，
∴乙的成绩更稳定，
故答案为：乙．
两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
12.【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【解析】解：命题“如果|a|=|b|，那么a=b.”的逆命题是如果a=b，那么|a|=|b|，
故答案为：如果a=b，那么|a|=|b|．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】5
【解析】解：将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故答案为：5．
根据中位数的定义进行解答即可．
本题考查中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的计算方法是解决前提的关键．
14.【答案】10
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S=12×4×5=10．
故答案为：10．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
15.【答案】2024
【解析】解：∵m= 2023+2，
∴m2−4m+5
=(m−2)2+1
=( 2023+2−2)2+1
=2023+1
=2024．
故答案为：2024．
把代数式化为(m−2)2+1的形式，再把m的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】2
解得2
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
17.【答案】解：(1)原式=2 3+3 3
=5 3；
(2)原式= 2×2−2 3×2+2 6
=2−2 6+2 6
=2．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵AD//BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
19.【答案】y=4x−2
【解析】解：(1)直线向下平移2个单位，平移后所得直线的解析式为：y=4x−2．
故答案为：y=4x−2；
(2)∵当x=0时，y=−2；当y=0时，x=12，
∴直线与坐标轴的交点为(0,−2)，(12,0)，
函数图象如图．
(1)根据“上加下减”的法则进行解答即可；
(2)求出直线与坐标轴的交点，画出函数图象即可．
本题考查一次函数的图象与几何变换，正比例的性质，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)由题意得，m=10−1−2−3−2=2，
故答案为：2；
(2)110×(250×1+300×2+350×2+400×3+450×2)=365(度)，
答：这10天的平均耗电量为365度；
(3)0.6×365=219(元)，
答：估计该中学每月应付电费大约为219元．
(1)用10分别减去其他天数可得m的值；
(2)利用加权平均数公式计算即可；
(3)用样本估计总体，根据“总价=单价×数量”可得答案．
本题考查了加权平均数及利用样本估计总体．解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB= AC2−BC2=4，
∴△ABC的面积=12×3×4=6；
(2)过D作DE⊥AC于E，
∵AD平分∠CAB，∠B=90°，
∴BD=DE，
在Rt△ADE与Rt△ADB中，
DE=BDAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADB(HL)，
∴AE=AB=4，
∴CE=1，
∵CD2=DE2+CE2，
∴(3−BD)2=BD2+1，
解得BD=43．
【解析】(1)根据勾股定理得到AB= AC2−BC2=4，根据三角形的面积公式即可得到△ABC的面积=12×3×4=6；(2)过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到BD=DE，根据全等三角形的性质得到AE=AB=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】①②③
【解析】(1)解：使得四边形ABCD是菱形的条件为①②③，
故答案为：①②③；
(2)证明：∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
在△DAO与△BCO中，
∠ADO=∠CBOOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCO(ASA)，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(1)根据题意和菱形的判定进行选择即可；
(2)先证△DAO≌△BCO(ASA)，得OA=OC，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，
根据题意得：x−y=46x=10y，
解得：x=10y=6．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
(2)设购进m个A种纪念章，则购进(400−m)个B种纪念章，
根据题意得：10m+6(400−m)≤2800，
解得：m≤100．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w=(13−10)m+(8−6)(400−m)，
即w=m+800，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值=100+800=900，此时400−m=400−100=300．
答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
【解析】(1)设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，根据“每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m个A种纪念章，则购进(400−m)个B种纪念章，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不超过2800元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】解：(1)联立y=2x−8y=−x+7，
解得x=5y=2，
∴A(5,2)；
(2)在直线l1上存在点C，使以点C、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
在y=2x−8中，令y=0得x=4，
∴D(4,0)，
设B(m,−m+7)，C(n,2n−8)，
又O(0,0)，
①当DB，CO为对角线时，DB，CO的中点重合，
∴m+4=n−m+7=2n−8，
解得m=73n=193，
∴C(193,143)；
②当DC，BO为对角线时，DC，BO的中点重合，
∴n+4=m2n−8=−m+7，
解得m=233n=113，
∴C(113,−23)；
③当DO，BC为对角线时，DC，BO的中点重合，
∴4=m+n0=−m+7+2n−8，
解得m=73n=53，
∴C(53,−143)；
综上所述，C的坐标为(193,143)或(113,−23)或(53,−143)；
(3)∵y=mx+2m+x+6=(x+2)m+x+6，
∴当x=−2时，y的值与m无关，都为4，
∴G(−2,4)；
设直线l3交直线l1于K，
由2x−8=mx+2m+x+6得x=−2m−14m−1，
∴xK=−2m−14m−1，
当S△DFK：S△EFK=1：3时，如图：
∴S△EFK：S△EFD=3：4，
∴3S△EFD=4S△EFK，
∴3×12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；
∵OD=4，
∴3×4=4×−2m−14m−1，
解得m=−115，
经检验，m=−115是方程的解，符合题意，
∴m的值为−115；
当S△EFK：S△DFK=1：3时，如图：
∴S△EFK：S△EFD=1：4，
∴S△EFD=4S△EFK，
∴12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；
∵OD=4，
∴4=4×−2m−14m−1，
解得m=−133，
经检验，m=−133是方程的解，符合题意，
∴m的值为−133；
综上所述，m的值为−115或−133．
【解析】(1)联立y=2x−8y=−x+7，解得A(5,2)；
(2)求出D(4,0)，设B(m,−m+7)，C(n,2n−8)，分三种情况：①当DB，CO为对角线时，DB，CO的中点重合，②当DC，BO为对角线时，DC，BO的中点重合，③当DO，BC为对角线时，DC，BO的中点重合，分别列方程组可解得答案；
(3)由y=mx+2m+x+6=(x+2)m+x+6，知当x=−2时，y的值与m无关，都为4，故G(−2,4)；设直线l3交直线l1于K，可得xK=−2m−14m−1，分两种情况：当S△DFK：S△EFK=1：3时，3×12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；可得3×4=4×−2m−14m−1，当S△EFK：S△DFK=1：3时，12EF⋅OD=4×12EF⋅xK；4=4×−2m−14m−1，解方程可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标特征，平行四边形，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】(1)解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCN=∠CDM=90°，
又∵CN=DM，
∴△BCN≌△CDM(SAS)，
∴CM=BN，∠BNC=∠CMD，
又∵∠DMC+∠DCM=90°，
∴∠BNC+∠DCM=90°，
∴∠CPN=90°，
∴CM⊥BN，
综上，CM=BN，CM⊥BN；
②如图1，分别在边AB、BC上取点E、F，使AE=BF=CN=DM，交点分别为P、Q、J、K，连接GK，
由①可得：BN=CM，BN⊥CM，
同理可证：DE=CM，DE⊥CM，AF=DE，AF⊥DE，AF=BN，AF⊥BN，
∴四边形PQJK是矩形，
∵∠NCP=∠MDQ，∠NPC=∠MQD=90°，CN=DM，
∴△NCP≌△MDQ(AAS)，
∴CP=DQ，NP=MQ，
同理可得：CP=BK=AJ，MQ=EJ=FK，
∴PK=PQ，
∴矩形PQJK为正方形，
∵点G为正方形ABCD对角线的交点，
∴G为正方形PQJK对角线交点，
∴PK= 2PG，
∵PK=PB−BK，
∴PK=PB−PC，
∴PB−PC= 2PG，
即PB−PCPG= 2；
(2)证明：如图2，将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，连接DM，
则△DMF是等腰直角三角形，
∴AD=EM，∠DAF=∠MEF，
由旋转可知：∠APQ=90°，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠APQ，
∴CD//EM，
∵AD=CD，AD=EM，
∴CD=EM，
∴四边形CDME是平行四边形，
∴CE=DM，
∵△DMF是等腰直角三角形，
∴DM= 2DF，
∴CE= 2DF．
【解析】(1)①根据正方形的性质和已知条件推出判定△BCN≌△CDM的条件，然后根据全等三角形的性质即可推出线段CM与BN之间的数量和位置关系；
②分别在线段AB、BC上截取AE=BF=CN=DM，根据①中结论可知∠BNM=90°，同理证得四边形PQJK的几个内角都是直角，判定四边形PQJK是矩形，然后判定△NCP≌△MDQ，推出PK=PQ，判定矩形PQJK是正方形，再根据正方形的性质可以推出PB−PCPG的值不变；
(2)将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，根据旋转的性质推出CD//ME，再推出CD=EM后判定四边形CDME为平行四边形，推出CE=DM，最后根据△DMF是等腰直角三角形即可得证．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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