2023年辽宁省朝阳八中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省朝阳八中中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省朝阳八中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −13的相反数的倒数是(    )
A. −13 B. 13 C. 3 D. −3
2. 如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算中正确的是(    )
A. 3a+2a=5a2 B. −x2⋅(−x)3=(−x)5
C. 2a2⋅a3=2a6 D. (a−b)(b−a)=−(a−b)2
4. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93
5. 在平面直角坐标系中，以点A(2,1)为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是(    )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
6. 下列说法错误的是(    )
A. 早上太阳从东方升起是必然事件
B. 为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查
C. 一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x=2
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲2=0.2，S乙2=0.03，则乙组数据更稳定
7. 某市用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变.数据表明，某市高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是(    )
A. 22x−22(1+15%)x=5 B. 22x−22(1+15%)x=112
C. 22(1+15%)x−22x=5 D. 22(1+15%)x−22x=112
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC⊥x轴，反比例函数y=kx(k≠0)经过AB两点，则k的值为(    )
A. 32
B. 3
C. 6
D. 94


9. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一点，AM：MD=1：2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是(    )
A. 52
B. 9 58
C. 3
D. 6 55
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)对称轴为直线x=2，下列结论：
①abc>0；
②4a+c>2b；
③4a+2b≤m(am+b)(m为常数)；
④3b−2c>0．
其中正确的个数是(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕地红线．将数据1800000000用科学记数法表示为______．
12. 在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为______．
13. 已知关于x的方程(a+1)x2−2x+3=0有实数根，则a的取值范围是______ ．
14. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为______ ．


15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是边AD、CD的中点，在BF上取点G，使∠EGF=45°，则EG的长为______ ．


16. 我们知道，一元二次方程x2=−1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于−1，如果我们规定一个新数“i”使它满足i2=−1(即x2=−1有一个根为−1)，并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1=i，i2=−1，i3=i2⋅i=−i，i4=(i2)2=1，…那么i2023= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
先化简(aa−1−1)÷2a2−a，然后从−2≤a<2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．
18. (本小题6.0分)
某学校准备为“中国传统文化知识竞赛”购买奖品，已知在某商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品需要65元，购买4个甲种奖品和3个乙种奖品需要90元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元；
(2)该校计划购买甲、乙两种奖品共60个，且购买奖品的总费用不超过600元．恰逢该商场搞促销，所有商品一律八折销售，求该校在该商场最多能购买多少个甲种奖品．
19. (本小题6.0分)
一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．
(1)投掷一次，朝上数字是2的概率是______ ；
(2)连续投掷两次，朝上的数字分别是m、n，如果把m、n作为点A的横，纵坐标那么点A(m,n)在函数y=2x的图象上的概率是多少？
20. (本小题7.0分)
教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h.某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组(每名学生必须选择且只能选择一种情况)：
A组：睡眠时间<8h
B组：8h≤睡眠时间<9h
C组：9h≤睡眠时间<10h
D组：睡眠时间≥10h
如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生有______人；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．

21. (本小题8.0分)
某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长.(结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)

22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点D．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当AB=5，BC=6时，求EF的长．

23. (本小题10.0分)
去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a=20%(10−x)，下表是某4个月的销售记录，每月销售量y(万件)与该月销售价x(元/件)之间成一次函数关系(6≤x<9)．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x(元/件)
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y(万件)
…
30
20
14
5
…
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
(3)当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
(纯收入=销售总金额−成本+政府当月补贴)
24. (本小题10.0分)
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD、CE的交点．
(1)如图1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求证：CP⊥BD；
(2)如图2，若∠ABC=∠ADE=30°，(1)中结论是否还成立？请说明理由；
(3)在(1)的条件下，AB=4，AD=3，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，请直接写出PB的长度．


25. (本小题12.0分)
如图抛物线y=x2+bx+c(c<0)与x轴交于A、B两点，(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，且OB=OC=3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由；
(3)连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB=∠ACO，请直接写出点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：−13的相反数是13，
∵13×3=1，
∴−13的相反数的倒数是3．
故选：C．
根据相反数的定义和倒数的定义解答．
本题考查了倒数的定义，相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可．
考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

3.【答案】D 
【解析】解：A、原式=5a，不符合题意；
B、原式=−x2⋅(−x3)=x5，不符合题意；
C、原式=2a5，不符合题意；
D、原式=−(a−b)2，符合题意．
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：将这组数据从小到大排列为：85，88，90，92，93，93，95，
∴这组数据的众数是93，中位数是92．
故选：C．
将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：∵点A(2,1)到x轴的距离为1，圆的半径=1，
∴点A(2,1)到x轴的距离=圆的半径，
∴圆与x轴相切；
故选：B．
本题可先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．
此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．

6.【答案】B 
【解析】解：A、早上太阳从东方升起是必然事件，故A不符合题意；
B、为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用抽样调查，故B符合题意；
C、一组数据1，3，x，4，5的平均数是3，则x=2，故C不符合题意；
D、若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲2=0.2，S乙2=0.03，则乙组数据更稳定，故D不符合题意；
故选：B．
根据随机事件，全面调查与抽样调查，方差，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：设提速前车辆平均速度为x km/h，
由题意得：22 x−22(1+15%)x=112，
故选：B．
设提速前车辆平均速度为xkm/h，根据题意可得等量关系：提速前行驶22km所用时间−提速后行驶22km所用时间=112小时，然后列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

8.【答案】B 
【解析】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：

∵AB=AC，
∴H是线段BC的中点，
设B(m,km)，则CB=km，
∴CH=k2m，
∵BC⊥x轴，
∴A点纵坐标为k2m，
∴A点横坐标为2m，
∵S△ABC=32，
∴12(2m−m)⋅km=32，
∴k=3．
故选：B．
过点A作AH⊥BC于点H，易证H是BC的中点，设点B的坐标为(m,km)，表示出A点坐标，根据△ABC的面积列方程，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及等腰三角形的性质，三角形的面积等，根据三角形面积列方程是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H.如图：

∵AB=6，AM：MD=1：2．
∴AM=2，MD=4．
∵四边形ABCD是正方形．
∴BM= AB2+AM2=2 10．
根据折叠性质，AO⊥BM，AO=ON.AM=MN=2．
∴12AB⋅AM=12BM⋅AO．
∴AO=2×62 10=3 105．
∴AN=6 105．
∵NH⊥AD．
∴AN2−AH2=MN2−MH2．
∴(6 105)2−(2+MH)2=22−MH2．
∴MH=85．
∴HN= MN2−MH2= 22−(85)2=65．
∴HD=AD−AM−MH=125．
∴DN= HD2+HN2= (125)2+(65)2=6 55．
故选：D．
连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H，根据已知可求出AM、BM.的长度，利用面积法求出AO，再结合折叠性质，找到AN长度．结合勾股定理建立AN2−AH2=MN2−MH2等式，即可求出MH.最后即可求解．
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边MH的长度．

10.【答案】A 
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误，
由图知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，
∴4a+c<2b，故②错误，
由图知，抛物线开口向下，对称轴为x=2，
∴抛物线有最大值为：4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥m(am+b)+c，
∴4a+2b≥m(am+b)，故③错误，
∵−b2a=2，
∴b=−4a，
∵图象过(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=−5a，
∴3b−2c=−12a+10a=−2a>0，故正确，
故选：A．
根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，是中考常考题型．

11.【答案】1.8×109 
【解析】解：1800000000=1.8×109．
故答案为：1.8×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】27 
【解析】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为：414=27，
故答案为：27．
根据概率公式进行计算即可．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．

13.【答案】a≤−23 
【解析】解：当a+1≠0，即a≠−1时，
∵关于x的方程(a+1)x2−2x+3=0有实数根，
∴△≥0，即4−12(a+1)≥0得，
解得a≤−23，
∴a的取值范围为a≤−23且a≠−1．
当a+1=0，即a=−1时为一元一次方程，方程有一根．
综上所知a的取值范围为a≤−23．
故答案为：a≤−23．
关于x的方程(a+1)x2−2x+3=0有实数根说明△≥0，根据用一元二次方程的意义得到a+1≠0，然后求出两个不等式的公共部分；当a=−1时为一元一次方程，方程有一根．
本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解答此题时注意考虑特殊情况：当二次项系数等于0时为一元一次方程．

14.【答案】32π−2 
【解析】解：由勾股定理得，OC=OD= 22+22=2 2，
则OC2+OD2=CD2，
∴∠COD=90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB=45°，
∴S扇形OCD=90π×(2 2)2360=2π，S扇形OBE=45π×22360=12π，S△OBD=12×2×2=2，
∴阴影部分的面积为2π−12π−2=32π−2．

故答案为：32π−2．
根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．

15.【答案】6 105 
【解析】解：连接CE交BF于点H，

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
∴AD=CD=BC=4，∠D=∠BCD=90°，
∵点E，F分别是AD，CD的中点，
∴DE=CF=2，
在△CDE和△BCF中，
DE=CF=2∠BCF=∠CDE=90°BC=CD，
∴△CDE≌△BCF(SAS)，
∴BF=CE，∠CBF=∠DCE，
∵∠BCH+∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠BCH+∠CBF=90°，
∴∠BHC=180°−(∠BCH+∠CBF)=90°，
在Rt△BCF中，CF=2，BC=4，
由勾股定理得：BF= BC2+CF2=2 5，
∴CE=BF=2 5，
由三角形的面积公式得：S△BCF=12BF⋅CH=12BC⋅CF，
即：12×2 5⋅CH=12×4×2，
∴CH=4 55，
∴EH=CE−CH=2 5−4 55=6 55，
∵∠EGF=45°，∠BCH=90°，
∴△GEH为等腰直角三角形，
∴EH=GH=6 55，
在Rt△GEH中，由勾股定理得：EG= EH2+GH2=6 105．
故答案为：6 105．
连接CE交BF于点H，先证△CDE和△BCF全等得BF=CE，∠CBF=∠DCE，再证∠BHC=90°，然后在Rt△BCF中由勾股定理求得BF，再利用三角形的面积公式求出CH，进而求出EH，最后在等腰Rt△GEH中利用勾股定理即可求出EG的长．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算．

16.【答案】i 
【解析】解：i2023
=(i2)1011⋅i
=(−1)2⋅i
=i，
故答案为：i．
先根据幂的乘方得出i2023=(i2)1011⋅i，再求出答案即可．
本题考查了实数，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能灵活运用i2=−1进行计算是解此题的关键．

17.【答案】解：(aa−1−1)÷2a2−a
=a−(a−1)a−1⋅a(a−1)2
=a−a+1a−1⋅a(a−1)2
=a2，
a不可以取0，1，
又−2≤a<2，任取a=−2时，
a=−2时，原式=−22=−1． 
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2≤a<2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

18.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，依题意得：
3x+2y=654x+3y=90，
解得：x=15y=10，
答：甲种奖品的单价为15元，乙种奖品的单价为10元；
(2)设学校在商场可购买m个甲种奖品，则可购买(60−m)个乙种奖品，依题意得：
15×0.8m+10×0.8(60−m)≤600，
解得：m≤30，
答：学校在商场最多能购买30个甲种奖品． 
【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需65元；购买4个甲种奖品和3个乙种奖品共需90元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校在商场可购买m个甲种奖品，则可购买(60−m)个乙种奖品，根据总价=单价×数量，结合此次购买奖品的费用不超过600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

19.【答案】16 
【解析】解：(1)投掷一次，朝上的面出现数字2的概率=16．
故答案为：16；
(2)根据题意列表如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
由表可知一共有36种情况，其中，点(1,2)、(2,4)、(3,6)满足y=2x，
所以P(点A在函数y=2x的图象上)=336=112．
(1)直接根据概率公式求解；
(2)利用列表法得到所有可能的结果，根据一次函数的性质，找出符合点在函数y=2x图象上的点，即可根据概率公式求解．
本题考查了用列表法和画树形图求随机事件的概率，列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】(1)200
(2)

(3)解：1200×20+60200=480(人)，
即估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有480人． 
【解析】解：(1)本次共调查了90÷45%=200(人)，故答案为：200；
(2)B组学生有：200−20−90−30=60(人)，
(3)见答案

(1)根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
(2)根据(1)中的结果可以计算出B组的人数，然后即可补全条形统计图；
(3)根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足9h的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=6m，
∴BD=ADtan∠ABD=6tan30∘=6 3m，
在Rt△ACD中，∠ACD=16°，AD=6m，
∴CD=ADtan∠ACD=6tan16∘≈60.29≈20.69(m)，
则BC=CD−BD=20.69−6 3≈10.3(m)，
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长1.3m． 
【解析】根据正切的定义求出BD，CD，根据题意计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：如图，连接OE，AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴OE//AC，
又∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE=12BC=3，
在Rt△ACE中，AC=AB=5，CE=3，
∴AE= AC2−CE2=4，
∵sin∠EAF=EFAE=ECAC，
即EF4=35，
∴EF=125． 
【解析】(1)根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得∠CAE=∠OEA，进而得到OE/​/AC，再根据平行线的性质得到OE⊥EF即可；
(2)利用等腰三角形的性质可得BE=CE=3，再由勾股定理求出AE=4，再由锐角三角函数的定义列方程求解即可．
本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，平行线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．

23.【答案】解：(1)∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，
∴设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
则6k+b=307k+b=20，
解得：k=−10b=90，
∴y与x的函数关系式y=−10x+90(6≤x<9)；
(2)当x=8时，y=−10×8+90=10(万元)，
∵a与x之间满足关系式：a=20%(10−x)，
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a=10×20%(10−8)=4(万元)，
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；
(3)设该月的纯收入w万元，
则w=y[(x−6)+0.2(10−x)]=(−10x+90)(0.8x−4)=−8x2+112x−360=−8(x−7)2+32，
∵−8<0，6≤x<9
∴当x=7时，w最大，最大值为32万元，
答：当销售价定为7时，该月纯收入最大． 
【解析】(1)设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；
(2)先求出x=8时，销售量y的值，再求政府补贴；
(3)纯收入=销售总金额−成本+政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据纯收入=销售总金额−成本+政府当月补贴列出函数解析式．

24.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠AEP+∠AEC=180°，
∴∠AEP+∠DPE=180°，
∴∠DAE+∠DPE=180°，
∴∠DPE=90°，
∴CP⊥BD；
(2)解：(1)中结论还成立，理由如下：
∵∠ABC=∠ADE=30°，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AD= 3AE，AB= 3AC，∠AEC=∠ADB，
∴ADAE=ABAC= 3，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠AEP+∠AEC=180°，
∴∠AEP+∠DPE=180°，
∴∠DAE+∠DPE=180°，
∴∠DPE=90°，
∴CP⊥BD；
(3)解：如图3，当点E在线段AB上时，

∵AB=4，AD=3，
∴BD= AD2+AB2= 16+9=5，CD=7，BC=4 2，
∵CP2=BC2−BP2=DC2−DP2，
∴32−BP2=49−(5−BP)2，
∴BP=45，
如图4，点E在BA的延长线上时，

∵AB=4=AC，AD=AE=3，
∴CE= AE2+AC2= 16+9=5，BE=7，BC=4 2，
∵BP2=BC2−CP2=BE2−EP2，
∴32−CP2=49−(5−CP)2，
∴CP=45，
∴BP= BC2−CP2= 32−1625=285，
故答案为：45或285． 
【解析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠AEC=∠ADB，由四边形内接和定理可求∠DPE=90°，即可求解；
(2)通过证明△ADE∽△ABC，可得∠AEC=∠ADB，由四边形内接和定理可求∠DPE=90°，即可求解；
(3)分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵OB=OC=3，
∴点B坐标为(3,0)，点C坐标为(0,−3)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点B，C，∴c=−39+3b+c=0，
解得：c=−3，b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴点D坐标为(1,−4)，
∵直线BD经过点B，D，设直线BD解析式为y=kx+b，
则k+b=−43k+b=0，
解得：k=2，b=−6，
∴直线BD解析式为y=2x−6，
∵△ECF为直角三角形，
当∠CEF=90°时，E点纵坐标和等于C点纵坐标，
∴点E纵坐标为−3，
∴点E横坐标为32，
∴点E坐标为(32,−3)；
当∠FCE=90°时，
∵EF⊥x轴，所以易得△CFO∽FEC，
∴EFCF=CFOC，即EF⋅OC=CF2，=OF2+OC2，
设OF=m，因此F的坐标为(m,0)代入直线BD的方程y=2x−6得E的坐标为(m,2m−6)，
∴EF=6−2m，
∴(6−2m)×3=m2+9，解得m=3 2−3(负值舍去)，
∴点E的坐标为(3 2−3,6 2−12)
综上可得E点的坐标为(32,−3)或(3 2−3,6 2−12)．
(3)存在2种情况：

①∠PCB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=13，
∴tan∠PCB=13，
∴tan∠PCE=tan(∠BCE−∠PCB)=1−131+13=12，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=12x−3，
∴点P坐标为：(52,−74)，
②∠P′CB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=13，
∴tan∠P′CB=13，
∴tan∠P′CE=tan(∠BCE−∠P′CB)=1+131−13=2，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y=2x−3，
∴点P坐标为：(4,5)． 
【解析】(1)易求得点B，C坐标，即可求得b、c的值，即可解题；
(2)易求得顶点D的坐标，即可求得直线BD的解析式，根据∠CEF=90°，即可求得点E纵坐标为−3，即可解题；
(3)存在2种情况：①∠PCB=∠ACO，②∠P′CB=∠ACO，可分别求得tan∠PCE的值，即可求得直线PC斜率，即可求得直线PC于抛物线交点P坐标，即可解题．
本题考查了二次函数顶点的求解，考查了二次函数解析式的求解，考查了直线和抛物线交点的求解，本题中求得抛物线解析式是解题的关键．