安徽省宣城市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷

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安徽省宣城市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，则（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．

2．已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（    ）
A． B． C．0， D．0，
【答案】D
【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】.
当时，为空集，满足条件.
当时，或，解得或.
综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.
3．为提高学生的数学学习兴趣，某中学拟开设《数学史》､《数学建模》､《数学探究》､《微积分先修课程》四门校本选修课程，其中有5位同学打算在上述四门课程中每人选择一门学习，则每门课程至少有一位同学选择的不同方法数共有（    ）
A．120种 B．180种 C．240种 D．300种
【答案】C
【分析】按照先分组，再分配的过程，结合排列，组合数公式，即可求解.
【详解】将5名同学分为2，1，1，1的分组，有种分组方法，
再分配学习4门课程，有种方法，
所以共有种方法.
故选：C
4．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
则当x∈[2，+∞）时，
x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数
即，f（2）=4+a＞0
解得﹣4＜a≤4
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．
5．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则下列说法不正确的是（    ）
A．椭圆的焦距是2
B．椭圆的离心率是
C．抛物线的准线方程是
D．抛物线的焦点到其准线的距离是4
【答案】D
【分析】根据椭圆方程，求得，再结合椭圆和抛物线的性质，即可求解.
【详解】，所以椭圆的焦距为，离心率，故AB正确；
抛物线的焦点坐标为，所以准线方程为，焦点到准线的距离，故C正确，D错误.
故选：D
6．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（    ）
A．4 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．
【详解】当公比 时可得，代入，与矛盾，所以.
由等比数列的前项和公式 ，可得，
两式相除，得 ，可解得或（舍），
当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.
故选：D
7．已知向量，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式求.
【详解】由，可得，即
，解得：或（舍），
.
故选：C
8．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：B

二、多选题
9．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（    ）

A．四点，，，共面
B．
C．平面
D．若，则正方体外接球的表面积为
【答案】BD
【分析】连接和，由此可知点，，在平面中，而点不在平面中，即可判断选项；由已知得为△的中位线，利用中位线的性质即可判断选项；由已知得点,,都在平面,与平面相交，即可判断选项；由即可求得正方体的棱长为，则可以求出正方体外接球的半径，即可判断选项.
【详解】对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中，
点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；
对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是的中点，所以,
又因为, 所以，即选项正确；
对于选项，点,,都在平面,所以与平面相交，即选项不正确；
对于选项，因为为△的中位线，且，所以正方体的棱长为，
设正方体外接球的半径为,则,
即，则外接球的表面积为,即选项正确；
故选： .

10．已知函数，下列说法正确的是（    ）
A．在区间上单调递减，在区间上单调递增
B．在上仅有一个零点
C．若关于的方程有两个实数解，则
D．在上有最小值，无最大值
【答案】ABD
【分析】根据题意，求导即可判断AB，画出函数的图像，即可判断CD.
【详解】
因为，则，由，可得，由，可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；在处取得极小值，也是最小值为，当时，，当时，，可以得到的图像，如图所示，
由图像可得，在上仅有一个零点，故B正确；若关于的方程有两个实数解，则函数与，的图像有两个交点，由图像可得，故C错误；在上有最小值，无最大值，故D正确；
故选：ABD
11．已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（    ）
A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条
B．已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4
C．的最小值为
D．的最小值为4
【答案】BCD
【分析】由点在抛物线外从而判断A；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断B；由抛物线的定义结合图像判断C；联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合基本不等式得出的最小值.
【详解】对于A，因为在抛物线外，显然过与抛物线相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；
对于B，设，则，即，
则线段的中点的横坐标为，故B正确；
对于C，，（当点在线段上时，取等号），故C正确；
对于D，设，设直线的方程为，
由，得，
易得，则，
，（当且仅当时，等号成立），故D正确；
故选：BCD
    .  
12．记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴，A错.
，B对.
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
故选：BC.

三、填空题
13．已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】直接根据向量的投影公式求解即可
【详解】因为，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
14．已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 .
【答案】/
【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率.
【详解】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点，
即，即，则，得.
故答案为：
15．已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】可得为等腰直角三角形时，点C到直线的距离，要使为钝角三角形，需满足.
【详解】圆：化为，
故圆心，半径为2，
当为等腰直角三角形时，
点C到直线的距离，解得，
为钝角三角形，，当时，，
则可得的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出要使为钝角三角形，需满足点C到直线的距离.
16．已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值；
【详解】因为在区间上单调，所以，，，解得；
因为，，
所以，所以，所以，
所以；
当，解得，所以.
故答案为：.

四、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上中线长为，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解；（2）设中点为,得,两边平方后，再代入，即可解决.
【详解】（1），
由正弦定理得，所以，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，
又因为，所以，解得，
所以.
18．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用即可求出通项公式；
（2）求出，利用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，，
当时，因为①，所以②，
①－②得，即，所以，
又因为，所以，
所以，当时，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
所以.
（2）因为，所以，当时，，
当时，，所以，
所以，
则数列的前项和为，
当时，
当时，，
，
①－②得，
，
，
所以.
当时，也满足.
故数列的前项和.
19．中国乒乓球队号称梦之队，在过往的三届奥运会上，中国代表团包揽了全部枚乒乓球金牌，在北京奥运会上，甚至在男女子单打项目上包揽了金银铜三枚奖牌.为了推动世界乒乓球运动的发展，增强比赛的观赏性，年世界乒乓球锦标赛在乒乓球双打比赛中允许来自不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名，从这名运动员中随机选择人参加比赛
(1)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
(2)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列，并求.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）由已知，有，所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为、、、，，
，，，
所以随机变量的分布列为










所以.
20．如图，在三棱锥中，为的中点.
  
(1)证明：平面；
(2)点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）在中，根据等腰三角形的性质可得，，在中，结合勾股定理可得，进而得到，，在中，根据勾股定理得到，从而求证即可；
（2）以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，进而求出平面与平面的一个法向量，进而列出方程求解即可.
【详解】（1）证明：在中，，
因为是的中点，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为为的中点，连接，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为，平面，
所以平面.
（2）以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，，
所以.
取平面的一个法向量，
又平面与平面的夹角为，
所以，
整理得，即或，
因为，所以，
所以.
  
21．已知双曲线的焦距为4，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程，以及焦距，即可求双曲线方程；
（2）方法一，首先舍直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明；方法二，分斜率不存在和斜率存在两种情况，斜率不存在时，利用数形结合，即可求解，斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示斜率，即可求解.
【详解】（1）因为点在上，所以①，由题意知，所以②
由①②解得，故双曲线的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，
  
由消去得，
设，则，
因为为

，所以，所以
.所以.
方法二：证明：当直线的斜率不存在时，关于轴对称，结论显然成立
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立消去得，，显然，
设，则，
因为


所以，所以.所以.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：对任意的.
【答案】(1)在上单调递减，上单调递增
(2)证明见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和单调性的关系，即可求解；
（2）不等式转化为证明，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式.
【详解】（1）由题可知函数的定义域为

令得或（舍去）





-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，在上单调递减，上单调递增.
（2），
要证明，只用证明，
令，
设，，即单调递增，
，，
可得函数有唯一的零点且，满足，    
当变化时，与的变化情况如下，






0


单调递减
极小值
单调递增
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
所以，对成立.