第六章　反比例函数 　讲义　　 北师大版数学九年级上册

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第03讲：反比例函数



ÿ 考点一 反比例函数的定义与基本解析式
? 例1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．

? 练1 若（xy﹣2）（x2y2+1）＝0，则y与x之间的函数关系式为　 　．

? 例2 函数y＝（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m＝　 　．

? 练2 若函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　 　；使分式有意义的x的取值范围是　 　．

ÿ 考点二 反比例函数的图像和性质
? 例1 如图所示，y＝mx+m与y＝（m＜0）在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　）
A． B． C． D．

? 练1 一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的部分图象在同一坐标系中可能为（　　）
A． B． C． D．

? 练2 已知反比例函数图象A，B，C对应各自反比例函数系数k1，k2，k3；则k1，k2，k3的大小关系　 　．


ÿ 考点三 反比例函数图像的增减性
? 例1 已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．

? 练1 一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．它们的函数值y随着x的增大而增大 B．它们的函数值y随着x的增大而减小
C．k＜0 D．它们的自变量x的取值为全体实数
? 例2 如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是　 　．

? 练2 如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是　 　．


ÿ 考点四 反比例函数的对称性
? 例1 对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是（　　）
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称

? 练1 关于双曲线的对称性叙述错误的是（　　）
A. 关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于直线y＝﹣x对称

? 例2 如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）

? 练2 如图，直线 y＝kx（k＞0）与双曲线 y＝交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 5x1y2﹣ 8x2y1 的值为 ．

? 例3 如图1，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣

? 练3 如图2，⊙O的半径为3，双曲线的关系式为和，则阴影部分的面积为　 　．




图1 图2 图3

? 练4 如图3，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

ÿ 考点五 反比例函数“K”的几何意义
? 例1 如图 5，A、B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A、B 两点向坐标轴作垂线段，已知 S 阴影＝1.7，则 S1+S2 等于（ ）
A．4 B．4.2 C．4.6 D．5




图5 图6

? 练1 如图 2，矩形 OABC的顶点 A在 y轴上，C在 x轴上，双曲线 y＝与 AB交于点 D，与
BC交于点 E，DF⊥x轴于点 F，EG⊥y轴于点 G，交 DF于点 H．若矩形 OGHF和矩形 HDBE的
面积分别是1和2，则 k的值为（ ）
A． B． C． D．
? 例2 如图1，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．





图1 图2

? 练2 如图2，在坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　）
A．9 B．6 C． D．3

? 例3 如图3，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．





图3 图4

? 练3 如图4，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为　　．
ÿ 考点六 截平面图形
? 例1 如图1，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

? 练1 如图2，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，下列说法正确的是（　　）
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k1﹣k2；
③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④





图1 图2 图3

? 练2 如图3，矩形ABCD的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线DB的延长线交y轴于点E，连接CE，若△BCE的面积是6，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12

? 例2 如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，＝2，反比例函数y＝在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（　　）

A．（2，4） B．（，2）

C．（1，2） D．（，）
? 练3 如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2

C．4 D．无法计算

ÿ 考点七 待定系数法求反比例函数的解析式
? 例1 如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，已知点B坐标为（0，﹣4），点P坐标为（3，0）．提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），点M（x，y）为线段AB的中点，则有x＝，y＝.求反比例函数解析式；


? 练1 如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0），正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）若α＝45°，当AE取得最小值时，求过正方形OEFG的顶点G的反比例函数解析式．








R 例1. 已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5． y与x之间的函数关系式　 　，当x＝4时，求y＝　 　．

R 例2. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（1，4）在这个函数图象上 D．当x＞0时，y随x的增大而增大

R 例3. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．该函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（1，4）在这个函数图象上 D．当x＞0时，y随x的增大而增大

R 例4. 如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9

C．6 D．4

R 例5. 如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为12，则k的值为（　　）


A．4 B．9



C．8 D．10




【A类】
1.下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ）
A．y＝3x B．3xy＝1 C．y＝1+ D．y＝
2.如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y＝﹣与一次函数 y＝kx﹣3（k 为常数，且 k≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．设 A（﹣2，y1） ，B（1，y2） ， C（2，y3）是双曲线 上的三点，则（ ）

A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2


【B 类】
1.如图所示，点 P（4a，a）是反比例函数 y＝（k＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 17π，则 k 的值为（ ）



A．4 B．16 C． D．
若y＝kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则 2x1y2﹣5x2y1的值为 ．
【C 类】
1.已知 a 满足以下三个条件：①a 是整数；②关于 x 的一元二次方程 ax2+4x﹣2＝0 有两个不相等的实数根；③反比例函数的图象在第二、四象限．
（1）求 a 的值．（2）求一元二次方程 ax2+4x﹣2＝0 的根．






1．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则5x1y2﹣3x2y1的值为　 　．




2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A． B．9 C． D．
3．如图，在平行四边形OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值；（2）求点D的坐标．