第二章 一元二次方程 讲义 北师大版数学九年级上册
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第01讲：一元二次方程
ÿ 考点一 一元二次方程的定义与认识
? 例1 将方程9x2＝4（3x﹣1）化成一般形式后的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 、 、 ．
? 练1 将方程（x+2）（1﹣3x）＝2x化成一元二次方程的一般形式 ．
? 例2 当m＝ 时，方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程．
? 练2 方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为 ．
ÿ 考点二 一元二次方程的解
? 例1 若x＝﹣1是关于x的方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的根，则a+b+c＝ ．
? 练1 关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
? 例2 已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为 ．
? 练2 若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则代数式201﹣2a﹣b的值是 ．
? 例3 设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝ ．
? 练3 已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝ ．
? 练4 已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（ ）
A．﹣1 B．+1 C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1
ÿ 考点三 解一元二次方程
? 例1 一元二次方程x2﹣9＝0的根是（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
? 练1 9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
? 例2 已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为 ．
? 练2 若方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2＝（ ）
A．5或﹣3 B．5 C．±4 D．4
? 例3 已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
? 练3 已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m、h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝5 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝2
? 例4 把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
? 练4 方程的实数解为（ ）
A． B． C． D．
? 例5 解方程：x2+（）x+＝0（因式分解法）
? 练5 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是 ．
? 例6 用公式法解方程：2x2+4x＝3．
? 练6 2x2﹣4x﹣1＝0
? 例7 解方程x4﹣x2﹣6＝0
? 练7 （x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．
ÿ 考点四 一元二次方程实数解个数的判定
? 例1 已知一元二次方程ax2﹣b＝0（a≠0），若方程有解，则（ ）
A．b是a的整数倍 B．a，b同号
C．b≠0 D．a，b异号或b＝0
? 练1 若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定
? 练2 使用配方法判断一元二次方程 3x2+6x-27＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
? 例2 使用判别式直接判别下列各式实数根的个数
x2+5x＝0 （2）x2﹣2x+1＝0 （3）x2﹣3x+5＝0
? 练1 如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
ÿ 考点五 韦达定理
? 例1 已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
? 练1 设x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则+的值为（ ）
A． B．﹣ C．3 D．4
? 练2 已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的一个根，则代数式m2﹣mn+3m+n的值为 ．
ÿ 考点六 一元二次方程的综合与实际应用
? 例1 已知m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2017的值为 ．
? 练1 设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，则x13+2021x2﹣2020＝ ．
? 例2 设a，b是整数，方程x2+ax+b＝0的一根是，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
? 练2 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是1，且a，b满足b＝++3，求c．
? 例3 若关于的一元二次方程（ab＞0）的两根分别是与，则式子的值是 ．
? 练3 解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，得；解一元二次方程6x2﹣7x+2＝0，得．观察这两个方程之间及根之间的相互关系，解答以下的问题：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的两根分别是x1＝m，x2＝n；则方程cx2+bx+a＝0的两根分别为（ ）
A．﹣m，﹣n B．mn，m+n C． D．
? 例4 设a，b 为实数，求的最小值，并求出此时a和b的值。
? 练4 已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
? 例5 一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0
? 练5 △ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m＝0的两个根，则m的取值范围 ．
? 例6 已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有实数根．
（Ⅰ）求m的取值范围．
（Ⅱ）若m是正整数，方程的根是整数，求m的值．
? 练6 关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值
? 例7 一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A． 有两个正根
B． B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C． 有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
? 练7 一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有一正根一负根且负根绝对值大
ÿ 考点七 实际应用
? 例1 一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是原来的，问第一次倒出酒精多少升？
? 练1 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
? 例2 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
? 练2 国内猪肉价格不断上涨，已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%，李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱．
（1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？
? 例3 如图，在△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中△PBQ的面积能否等于7？请说明理由．
? 练3 如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝ 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
? 例4 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度．
? 练4 学校准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花圃ABCD，围墙EF最长可利用25米，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口MN（不用砌墙），现在已备足可以砌46米长的墙的材料，问当矩形的长BC为多少米时，矩形花圃的面积为299平方米．
? 例5 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A．12 B．11 C．10 D．9
? 练5 在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
R 例1.若方程（m﹣2）x|m|+4mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为
R 例2.已知m，n都是方程x2+2015x﹣2015＝0的根，则代数式（m2+2015m﹣2016）（n2+2015n﹣2014）的值为
R 例3.用配方法证明的值恒小于0。
R 例4.若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2
R 例5. 5x2+2x﹣1＝0（公式法） y2+6y+2＝0（配方法）
＝1（换元法） （x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
R 例6. 已知：关于x的方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；
（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数
R 例7.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
【A类】
1.如果x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝0可以配方成（ ）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝6
2.解方程：（1）4x2＝9 （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）
3.设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝ ．
4.方程x2＝（x﹣1）0的解为 ．
【B类】
1.一元二次方程x2﹣3456x﹣5678＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个符号相同的实数根
C．有一正一负两个实数根，正根的绝对值较大 D．有一正一负两个实数根，负根的绝对值较大
2.关于x的方程x2+2（k+2）x+k2＝0的两个实数根之和大于﹣4，则k的取值范围是 ．
3.已知0是关于x的方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的根，则m＝ ．
4.某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
5.小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润．
（1）小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的售价，釆取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
【C类】
1.一次同学聚会中，见面时两两握手一次，共握手28次．则这次参加聚会的有（ ）人．
A．9 B．7 C．4 D．8
2.已知：△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q停止运动，点P的运动时间t（s）
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在t，使APQC的面积是△ABC面积的？如果存在，求出t的值；存在说明理由．
3.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
1. 若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝ ．
2. 设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（ ）
A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣
3. 当a＜﹣1时，方程（a3+1）x2+（a2+1）x﹣（a+1）＝0的根的情况是（ ）
A．两负根
B．一正根、一负根且负根的绝对值大
C．一正根、一负根且负根的绝对值小
D．没有实数根
4. 如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是 ．
