还剩4页未读，
继续阅读
7.5.2 三角形的外角 教案北师大版数学八年级上册
展开
这是一份7.5.2 三角形的外角 教案北师大版数学八年级上册，共7页。
第2课时 三角形的外角
1．掌握三角形外角的两条性质．
2．进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
重点：三角形外角的两条性质．
难点：运用三角形的外角的两条性质解决相关问题．
一、导入新课
1．我们已学习过三角形内角和定理是什么？
2．△ABC的内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如下图，∠1是△ABC的∠ACB的外角，你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
3．猜想：图中的∠1与其他角之间有什么关系？你能证明这个猜想吗？
二、探究新知
探究1 三角形的外角．
上面的∠ACD叫做△ABC的外角．也就是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
师：想一想，三角形的外角共有几个？
生：共有六个．
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角．
探究2 三角形外角的性质．
教师引导学生回忆，容易知道三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，它与另外两个角有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
又∠ACD＝∠1＋∠2，
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
师：你能用文字语言叙述这个结论吗？
学生讨论，教师板书：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
师：由加数与和的关系你还能知道什么？
生：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
三、新知归纳
1．三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角．
2．定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．定理：三角形的—个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
四、典例剖析
例1 如图所示，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD平分∠EAC.
(1)图中△ABC的外角有哪几个？
(2)若∠B＝∠C，求证：AD∥BC.
思路分析：在(1)中判断哪些角是△ABC的外角，关键是看这个角是否由三角形的一边和另一边的反向延长线组成．在(2)中，要证AD∥BC，可以考虑证∠EAD＝∠B(或∠DAC＝∠C)，由∠EAC是△ABC的外角，可得∠EAC＝∠B＋∠C，又由AD平分∠EAC，∠B＝∠C，我们可以得到∠EAD＝∠DAC＝∠B＝∠C，从而证得AD∥BC.
解：(1)图中△ABC的外角有两个：∠FAB，∠EAC.
(2)证明：∵AD平分∠EAC(已知)，
∴∠EAD＝∠EAC(角平分线的定义)．
∵∠EAC是△ABC的外角(三角形外角的定义)，
∴∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．
∵∠B＝∠C(已知)，
∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B(等量代换)．
∴∠B＝∠EAC(等式的性质)．
∴∠EAD＝∠B(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
例2 如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线．
(1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是________；若∠BED＝50°，则∠C的度数是________．
(2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．
思路分析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC＝50°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，根据三角形的外角性质即可得到结论；根据三角形的外角性质，得∠BED＝∠BAD＋∠ABE，再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求∠C；(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
解：(1)因为∠C＝70°，∠BAC＝60°，所以∠ABC＝50°.因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，所以∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝30°＋25°＝55°.因为∠BED＝50°，所以∠ABE＋∠BAE＝50°，所以∠ABC＋∠BAC＝2×50°＝100°，所以∠C＝80°.
(2)∠BED＝90°－∠C.证明如下：因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC.因为∠BED＝∠ABE＋∠BAE＝(∠ABC＋∠BAC)＝(180°－∠C)＝90°－∠C.
例3 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC.
求证：∠ACD>∠ABC.
思路分析：要证明的结论中的角因所在的三角形是不同的三角形，故不能直接比较大小，应把一般三角形转化为特殊三角形，若延长CD交AB于点E，这样可以把∠ACD转移到与∠ABC相关的位置．
证明：∵AB>AC(已知)，
∴延长CD交AB于点E(如图)．
∵AD平分∠BAC(已知)
∴∠EAD＝∠CAD(角平分线的定义)．
∵AD⊥CD(已知)，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°(垂直的定义)．
∴∠AED＋∠EAD＝∠CAD＋∠ACD＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
∴∠AED＝∠ACD(等式的性质)．
又∵∠AED是△BEC的一个外角(已知)，
∴∠AED>∠ABC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，
∴∠ACD>∠ABC(等量代换)．
五、反馈训练
完成《作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．若△ABC中，2(∠A＋∠C)＝3∠B，则∠B的外角等于( C )
A．36° B．72°
C．108° D．144°
2．如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( B )
A．∠A>∠1>∠2
B．∠2>∠1>∠A
C．∠A>∠2>∠1
D．∠2>∠A>∠1
3．如下图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__70°__.
4．如下图，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝__54°__.
5．已知：如下图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边．
求证：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
证明：如图：
延长AD到点E，则∠BDE＝∠BAD＋∠B，∠CDE＝∠CAD＋∠C.
∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠B＋∠CAD＋∠C＝∠BAC＋∠B＋∠C.
七、课堂小结
1．三角形外角的性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．探究这些性质用了化归的数学思想．
3．了解运用辅助线是解决几何问题的常见解题思路．
八、布置作业
完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．
第2课时 三角形的外角
1．掌握三角形外角的两条性质．
2．进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
重点：三角形外角的两条性质．
难点：运用三角形的外角的两条性质解决相关问题．
一、导入新课
1．我们已学习过三角形内角和定理是什么？
2．△ABC的内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如下图，∠1是△ABC的∠ACB的外角，你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
3．猜想：图中的∠1与其他角之间有什么关系？你能证明这个猜想吗？
二、探究新知
探究1 三角形的外角．
上面的∠ACD叫做△ABC的外角．也就是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
师：想一想，三角形的外角共有几个？
生：共有六个．
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角．
探究2 三角形外角的性质．
教师引导学生回忆，容易知道三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，它与另外两个角有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
又∠ACD＝∠1＋∠2，
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
师：你能用文字语言叙述这个结论吗？
学生讨论，教师板书：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
师：由加数与和的关系你还能知道什么？
生：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
三、新知归纳
1．三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角．
2．定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．定理：三角形的—个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
四、典例剖析
例1 如图所示，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD平分∠EAC.
(1)图中△ABC的外角有哪几个？
(2)若∠B＝∠C，求证：AD∥BC.
思路分析：在(1)中判断哪些角是△ABC的外角，关键是看这个角是否由三角形的一边和另一边的反向延长线组成．在(2)中，要证AD∥BC，可以考虑证∠EAD＝∠B(或∠DAC＝∠C)，由∠EAC是△ABC的外角，可得∠EAC＝∠B＋∠C，又由AD平分∠EAC，∠B＝∠C，我们可以得到∠EAD＝∠DAC＝∠B＝∠C，从而证得AD∥BC.
解：(1)图中△ABC的外角有两个：∠FAB，∠EAC.
(2)证明：∵AD平分∠EAC(已知)，
∴∠EAD＝∠EAC(角平分线的定义)．
∵∠EAC是△ABC的外角(三角形外角的定义)，
∴∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．
∵∠B＝∠C(已知)，
∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B(等量代换)．
∴∠B＝∠EAC(等式的性质)．
∴∠EAD＝∠B(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
例2 如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线．
(1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是________；若∠BED＝50°，则∠C的度数是________．
(2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．
思路分析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC＝50°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，根据三角形的外角性质即可得到结论；根据三角形的外角性质，得∠BED＝∠BAD＋∠ABE，再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求∠C；(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
解：(1)因为∠C＝70°，∠BAC＝60°，所以∠ABC＝50°.因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，所以∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝30°＋25°＝55°.因为∠BED＝50°，所以∠ABE＋∠BAE＝50°，所以∠ABC＋∠BAC＝2×50°＝100°，所以∠C＝80°.
(2)∠BED＝90°－∠C.证明如下：因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC.因为∠BED＝∠ABE＋∠BAE＝(∠ABC＋∠BAC)＝(180°－∠C)＝90°－∠C.
例3 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC.
求证：∠ACD>∠ABC.
思路分析：要证明的结论中的角因所在的三角形是不同的三角形，故不能直接比较大小，应把一般三角形转化为特殊三角形，若延长CD交AB于点E，这样可以把∠ACD转移到与∠ABC相关的位置．
证明：∵AB>AC(已知)，
∴延长CD交AB于点E(如图)．
∵AD平分∠BAC(已知)
∴∠EAD＝∠CAD(角平分线的定义)．
∵AD⊥CD(已知)，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°(垂直的定义)．
∴∠AED＋∠EAD＝∠CAD＋∠ACD＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
∴∠AED＝∠ACD(等式的性质)．
又∵∠AED是△BEC的一个外角(已知)，
∴∠AED>∠ABC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，
∴∠ACD>∠ABC(等量代换)．
五、反馈训练
完成《作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．若△ABC中，2(∠A＋∠C)＝3∠B，则∠B的外角等于( C )
A．36° B．72°
C．108° D．144°
2．如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( B )
A．∠A>∠1>∠2
B．∠2>∠1>∠A
C．∠A>∠2>∠1
D．∠2>∠A>∠1
3．如下图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__70°__.
4．如下图，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝__54°__.
5．已知：如下图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边．
求证：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
证明：如图：
延长AD到点E，则∠BDE＝∠BAD＋∠B，∠CDE＝∠CAD＋∠C.
∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠B＋∠CAD＋∠C＝∠BAC＋∠B＋∠C.
七、课堂小结
1．三角形外角的性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．探究这些性质用了化归的数学思想．
3．了解运用辅助线是解决几何问题的常见解题思路．
八、布置作业
完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．
