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7.5.1 三角形内角和定理教案 北师大版数学八年级上册
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这是一份7.5.1 三角形内角和定理教案 北师大版数学八年级上册,共7页。
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
1.经历探索证明三角形内角和定理的过程,初次学习添加辅助线的方法,进一步了解数学证明的方法,培养学生分析问题、解决问题的能力,激发学生探索知识的兴趣,体验数学活动的探索性和创造性.
2.能够运用三角形内角和定理的知识,解决有关求角的问题.
重点:探索证明三角形内角和定理的不同方法,利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明.
难点:应用运动变化的观点认识数学,正确引入辅助线.
一、导入新课
师:“三角形内角和是180°”一定是个真命题吗?你是怎样知道的?
生:是真命题.可以从度量、折纸、拼角得到的.
师:任何实验都会有误差,即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形,但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性.那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢?
这就需要证明,由哪些公理、定理、定义可以得到三角形内角的和为180°?
这就是我们本节所要学习的内容.
二、探究新知
探究1 动手操作、探索解法:
生:每个学生画出一个三角形,并将它的内角剪下,分小组做拼角实验.通过小组合作交流,讨论有几种拼合方法?
师:组织学生开展小组竞赛,指派小组代表展示拼图,并说出理由.鼓励学生各抒己见,并倾听他人的方法.
师生共同归纳:可以拼一个角用“两直线平行,同旁内角互补”来说理,也可以拼两个角、三个角用“平角定义”说明.
师:引导学生合理添加辅助线,为书写证明过程做好铺垫.指导学生写出已知、求证、证明过程,抽两人黑板演示,给予点评,并规范证明格式.
已知:如图所示,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA,
∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等),
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
注意:应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明.添加辅助线不是盲目的,而是证明需要引用某个定义、公理、定理,但原图形不具备直接使用它们的条件,这时就需要添加辅助线创造条件,以达到证明的目的.
探究2 师:还有其他证明方法吗?
师生共同总结“拼三个角”的特点:把角“拼”到一起,让顶点重合、两条边形成一条直线,以便利用平角定义.
师:在证明三角形内角和定理时,可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗?引导学生叙述证明过程.
已知:如图所示,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).
师:那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢?集中在内部任意一点上呢?外部呢?
生:思考后,讲解自己的思考过程和解法.
三、新知归纳
三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
四、典例剖析
例1 在一个三角形中,下列说法错误的是( )
A.可以有一个锐角和一个钝角
B.可以有两个锐角
C.可以有一个锐角和一个直角
D.可以有两个钝角
思路分析:如果一个三角形中有两个钝角,那么该三角形的内角和将大于180°,故D错误.
答案:D
例2 如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
思路分析:由已知∠B,∠C求出∠BAC,再由角平分线的定义求出∠BAD,再由△ABD的内角和等于180°,求出∠ADB.
解:在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知),
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义).
在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
例3 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点I.求证:∠BIC=90°+∠A.
思路分析:欲证明∠BIC与∠A之间的关系,但它们之间的关系不直接,∠BIC与∠IBC,∠ICB在同一个三角形中,故有∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB),而∠A与∠ABC,∠ACB在同一个三角形中,故有∠A=180°-(∠ABC+∠ACB),又因为BE,CF是角平分线,于是∠IBC与∠ABC有关系:∠IBC=∠ABC.同理,∠ICB=∠ACB,从而可以通过中间量∠ABC,∠ACB或∠IBC,∠ICB找到∠BIC与∠A之间的关系.
证明:∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A(等式的性质).
∵BE,CF分别平分∠ABC和∠ACB(已知),
∴∠EBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB(角平分线定义).
在△BIC中,∠BIC+∠EBC+∠FCB=180°(三角形内角和定理),
∴∠BIC=180°-(∠EBC+FCB)(等式的性质).
∴∠BIC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A(等量代换).
五、反馈训练
完成《作业与单元评估》随堂演练.
六、课堂小测
1.如果三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4,则它是( A )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.钝角或直角三角形
2.任何一个三角形的三个角中至少有( B )
A.一个锐角 B.两个锐角
C.一个直角 D.一个钝角
3.三角形中最大的内角一定是( D )
A.钝角
B.直角
C.大于60°的角
D.大于或等于60°的角
4.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠ACB,CD是高.求证:∠BCD=∠A.
证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),
∠B=∠ACB(已知),
∴∠B==90°-∠A(等式的性质).
∵CD是△ABC的高(已知),
∴∠BDC=90°(高的定义).
∵∠BDC+∠B+∠BCD=180°(三角形内角和定理),
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠B=180°-90°-=∠A(等式的性质).
七、课堂小结
本节课主要学习三角形内角和定理.证明的基本思想:运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.辅助线是联系命题条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它.
八、布置作业
完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习.
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