数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练

这是一份数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示能力提升--人教版A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知向量，且，则的最大值为（    ）
A．1 B．2 C． D．4
2．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ）

A． B．3 C． D．4
3．已知向量，且，则实数m的值（    ）
A． B．1 C． D．
4．向量，，，若，且，则的值为（    ）
A．2 B． C．3 D．
5．如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
6．已知，且三点共线，则（    ）
A． B． C． D．
7．已知在中， ，，，则（    ）
A． B． C． D．1
8．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ）
A． B．或
C．或 D．

二、多选题
9．已知向量，，则（    ）．
A．与共线，则
B．时，与的夹角为锐角
C．时，在方向上的投影向量为
D．的最小值为1
10．下列说法正确的是（    ）
A．已知向量，，若∥，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
11．已知向量，则下列命题正确的是（    ）
A． B．若，则
C．存在唯一的使得 D．的最大值为
12．下列说法中错误的为（    ）
A．已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是
B．已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若与平行，则在方向上的投影数量为
D．若非零，满足，则与的夹角是60°

三、填空题
13．已知向量，，则__．
14．若，，三点不能构成三角形，则t=______．
15．已知向量，，且，则__________.

四、解答题
16．已知.
(1)当k为何值时，与共线?
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.
17．已知平面上的点，，，点C满足，连接DC并延长至点E，使，求点E的坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据向量平行得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，，，故，即，
当，或，时，；
当且时，，，当，即，时等号成立；
综上所述：的最大值为.
故选：B
2．B
【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值.
方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.
【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以，
所以，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，（平面向量基本定理的应用）
又∵，
∴，解得，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，
∵ 则 ，
又∵，设，则
即：
∴，，，
又∵，
∴
∴
∴
由②得，将其代入①得，
故选：B.
3．D
【分析】由向量的坐标运算公式可求得，再利用向量平行的坐标表示可求解.
【详解】

又，，解得
故选：D
4．C
【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标表示得到关于、的方程组进行求解.
【详解】由题意，得 ，，
因为，所以，解得，
则，
即，解得，故.
故选：C.
5．B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，

则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
6．A
【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】由，得,
因为三点共线，所以，即，解得.
所以.
故选：A.
7．A
【分析】根据，，得到，再根据求解.
【详解】解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
所以，
得．
故选：A
8．C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
9．CD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断AB，由投影向量的坐标表示判断C，利用坐标求出向量模求最小值即可判断D.
【详解】对于A，与共线，则，．故A错误；
对于B，时，与共线同向，夹角不为锐角，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量为，时，，故C正确；
对于D．，当时取等号，故D正确．
故选：CD．
10．CD
【分析】对于A，由两向量平行的坐标运算计算即可；
对于B，分向量，同向和向量，反向计算，即可判断；
对于C，由题意可得为的三等分点中靠近的点，于是可得,再由向量的四则运算法则及数量积运算计算即可；
对于D，由题可得,(为的外接圆半径)，进而可得，即有，即可判断.
【详解】解：对于A，因为，，∥，
所以，解得，故错误；
对于B，因为向量，共线，当向量，同向时，则有；当向量，反向时，则有，故错误；
对于C，因为，所以为的三等分点中靠近的点，
所以,,
所以,故正确；
对于D，因为O是的外心，所以(为的外接圆半径),
又因为,所以,即,①
同理可得,②
由①-②可得：，
即有，故正确.
故选：CD.
11．ABC
【分析】对于A，由向量模的坐标公式，根据同角三角函数的恒等式，可得答案；
对于B，由共线定理，可得答案；
对于C，由数量积的性质，可得关于的等式，由辅助角公式和三角函数的性质，可得答案；
对于D，根据数量积的性质和辅助角公式，可得三角函数，可得答案.
【详解】对于A，，故正确；
对于B，由，则，即，，故正确.
对于C，由，则，
，，
，，解得，
因为，所以，故正确.
对于D，，
由，则，即当时，，故错误.
故选：ABC.
12．ACD
【分析】对于A，只是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，还需把使与同向的的值去掉；对于B，因为与共线，故与不能作为平面的一组基底；对于C，利用投影的定义判断；对于D，利用夹角公式判断
【详解】对于A,
因为与的夹角为锐角,
所以
若与同向，则（），
所以解得
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为, 故A错误.
对于B, 因为,所以向量, 即共线,
故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B正确.
对于C, 与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误
对于D, 因为, 两边平方得,


故
而向量的夹角范围为, 得与的夹角为, 故D错误.
故选: ACD
13．
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出，再根据两角和的正切公式可求出结果.
【详解】因为向量，，
所以，
所以，所以．
故答案为：.
14．
【分析】由题设知三点共线，结合且的坐标表示列方程组求参数即可.
【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.
故答案为：
15．
【分析】应用向量线性关系的坐标运算求、，根据向量平行的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设，，又，
所以，解得.
故答案为：
16．(1)
(2)

【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；
(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求.
【详解】（1）

因为与共线，
所以解得.
故当时，与共线.
（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，
所以存在实数λ，使得
即，
整理得
所以，解得.故的值为.
17．
【分析】由结合向量相等列出方程求出的坐标，由题意求出，同理可求得的坐标.
【详解】设，由，得，
即，解得，即，
设，由，得，即
即，解得，即，
故答案为：