【讲义】人教版七年级数学上册 专题1.7+有理数混合运算的八种技巧 （含答案解析）

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专题1.7 有理数混合运算的八种技巧【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6568" 【技巧1 巧用凑整法计算】  PAGEREF _Toc6568 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22485" 【技巧2 运用拆项法计算】  PAGEREF _Toc22485 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18709" 【技巧3 巧妙组合法计算】  PAGEREF _Toc18709 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7277" 【技巧4 相互转化法计算】  PAGEREF _Toc7277 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc28108" 【技巧5 裂项相消法计算】  PAGEREF _Toc28108 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5482" 【技巧6 巧用分配律计算】  PAGEREF _Toc5482 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc4493" 【技巧7 巧用倒数法计算】  PAGEREF _Toc4493 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc12703" 【技巧8 变形相加法计算】  PAGEREF _Toc12703 \h 17【技巧1 巧用凑整法计算】【例1】（重庆市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）计算：−87.21+531921−12.78+43221 ；【答案】−3【分析】原式交换再结合后，相加即可得到结果；【详解】解：−87.21+531921−12.78+43221=−87.21−12.78+531921+43221=−100+97=−3；【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1-1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）计算：316−135−425−+116【答案】−4【分析】先去括号，计算同分母加减法，再计算；【详解】解：316−135−425−+116=316−135−425−116=316−116−135+425=2−6=−4；【点睛】此题考查了有理数的加减计算，正确掌握有理数计算法则是解题的关键．【变式1-2】（2023秋·七年级单元测试）计算：−218++5+−312++1.125++412；【答案】5【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；【详解】解：−218++5+−312++1.125++412=−218+5−312+1.125+412=−218+118+5−312−412=−1+5+1=5；【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握各运算法则是解题关键．【变式1-3】（2023秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：0.125+314+−318+−0.25；【答案】0【分析】根据有理数加法的简便计算法则求解即可；【详解】解：原式=0.125−318+314−0.25=−3+3=0；【点睛】有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【技巧2 运用拆项法计算】【例2】（2023秋·全国·七年级期末）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：−556+−923+1734+−312解：原式=(−5−9+17−3)+ −56−23+34−12 =0+ −134 = −134启发应用，用上面的方法完成下列计算：−3310+−112+235−212【答案】−4 710【分析】将原式利用“拆项法”得出原式=(−3−1+2−2)+( −310−12+35−12 )，再根据有理数的加减运算法则计算可得．【详解】解：−3310+−112+235−212=(−3−1+2−2)+( −310−12+35−12 )=−4+( −710 )=−4 710．【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算，理解题干中的“拆项法”是解题关键．【变式2-1】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：−556+−923+1734+−312【答案】原式=−5+−56+−9+−23+17+34+−3+−12=−5+−9+17+−3+−56+−23+34+−12=0+−114=−114【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键．【变式2-2】（2023秋·山东济宁·七年级统考期中）计算：−202156+−202023+404223+−112【答案】−43【分析】将−202156、−202023、404223、−112拆分，然后再运用简便方法进行计算即可．【详解】解：原式=−2021+−56+−2020+−23+4042+23+−1+−12=−2021−2020+4042−1+−56−23+23−12=0+−43=−43．【点睛】本题考查有理数的运算及方法拓展，解题关键是看懂题目，并根据题目所给示例进行正确拆分．【变式2-3】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：(1)+3579+−2349；(2)−201856+−201723+−112+4036．【答案】(1)1213(2)−2【分析】（1）依据“拆项法”计算即可；（2）依据“拆项法”计算即可．【详解】（1）+3579+−2349=35+79+−23+−49=35+−23+79+−49=12+13=1213；（2）−201856+−201723+−112+4036=−2018+−56+−2017+−23+−1+−12+4036=−2018+−2017+−1+4036+−56+−23+−12=0+−2=−2．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键．【技巧3 巧妙组合法计算】【例3】（2023秋·全国·七年级期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（  ）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【答案】D【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可．【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×505＝-2020．故选D.【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键．【变式3-1】（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯ +2017+2018−2019−2020+2021的值为（   ）A．1 B．0 C．2021 D．−2021【答案】A【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为－1和1循环，而其和为0，且共有1010个0，最后可求得和的值．【详解】1+2−3−4+5+6−7−8+⋯ +2017+2018−2019−2020+2021=1+(2−3)+(−4+5)+(6−7)+(−8+9)+⋯+(2018−2019)+(−2020+2021)=1−1+1−1+1+⋯−1+1=1+(−1+1)+(−1+1)+⋯+(−1+1)︸1010个（−1+1）=1故选：A【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1或－1的特点，从而问题得以解决．【变式3-2】（2023·全国·七年级专题练习）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015= ．【答案】0【分析】通过观察，每四项结合在一起，每一项结果为0，然后将原式利用加法结合律进行计算．【详解】原式＝1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015＝0，故填：0．【点睛】本题考查了加法中的巧算问题，熟练应用加法结合律是关键．【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算：1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2020+2021结果为 ．【答案】2021【分析】根据运算式子归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】观察式子可知，1−2−3+4=0，5−6−7+8=0，归纳类推得：从第1个数开始，每4个数的运算结果都等于0，∵505×4+1=2021，∴ 1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2020+2021，=1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2017−2018−2019+2020+2021，=505×0+2021，=2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查了有理数加减混合运算的规律性问题，正确归纳出一般规律是解题关键．【技巧4 相互转化法计算】【例4】（2023春·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）−0.375×123÷135【答案】−2564【分析】先统一成分数，再算乘除即可．【详解】原式=−38×53÷85=−38×53×58=−2564．【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，熟记运算法则是解题的关键．【变式4-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；(2)−15×−0.1÷125×−10；【答案】(1)18(2)−5【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6=3×47×34×73×6=18；（2）解：−15×−0.1÷125×−10=−15×110×25×10=−5；【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．【变式4-2】（2023秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：1.25÷(−0.5)÷(−212)×1【答案】1【详解】1.25÷(−0.5)÷(−212)×1=54×−2×−25×1 =1；【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用是解本题的关键．【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）计算：8÷−113×(−12.5)×−45；【答案】−60【分析】根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】原式=8×−34×(−12.5)×−45=−8×12.5×34×45=−60．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【技巧5 裂项相消法计算】【例5】（2023秋·七年级课时练习）阅读下列材料：计算：11×2+12×3+13×4+…+12021×2022解：原式=1−12+12−13+13−14+…+12021−12022=1−12022=20212022这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：222−1+232−1+242−1+…+21002−1= ．【答案】1494910100【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案．【详解】解：222−1+232−1+242−1+…+21002−1 =23+28+215+…+29999=21×3+22×4+23×5+…+299×101=1−13+12−14+13−15+…+199−1101=1+12−1100−1101=1494910100，故答案为：1494910100．【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键．【变式5-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）计算：(1)11×2+12×3+13×4+14×5=_______；(2)计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12020×2021【答案】(1)45(2)20202021【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可；（2）结合（1）中的计算方法求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：11×2+12×3+13×4+14×5=11−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45，故答案为：45（2）11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12020×2021=11−12+12−13+13−14+14−15+⋯12020−12021=1−12021=20202021．【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键．【变式5-2】（2023秋·山东淄博·七年级统考期中）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+159×60；(3)1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．【答案】(1)5960(2)−10112023【分析】（1），把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算；（2）先变形，再把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可．【详解】（1）11×2+12×3+13×4+⋯+199×100=1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100，=1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100，=1−1100，=99100；（2）1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023=−11×3−13×5−15×7−17×9+⋯+−12021×2023，=−121−13+13−15+15−17+17−19+⋯+12021−12023，=−121−12023，=−12×20222023，=−10112023．【变式5-3】（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题．（1）①−556+−923+1712+−312解：原式=(−5)+−56+(−9)+−23+17+12+(−3)+−12=(−5)+(−9)+17+(−3)+−56+−23+12+−12=0+−112=−112．上面这种方法叫做拆项法．②计算：−202256+−202223+−112+4045．（2）①1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，上面这种方法叫做裂项法．②计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．【答案】（1）②−2（2）②20234044【分析】（1）②仿照前面解法求解即可．（2）②仿照前面解法求解即可．【详解】（1）②−202256+−202223+−112+4045=[(−2022)+(−56)]+[(−2022)+(−23)]+[(−1)+(−12)]+4045=[(−2022)+(−2022)+(−1)+4045]+[(−56)+(−23)+(−12)]=0+(−2)=−2．（2）②因为1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…， 所以原式=12×32×23×43×34×54⋅⋅⋅×20202021×20222021×20212022×20232022=12×20232022=20234044．【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．【技巧6 巧用分配律计算】【例6】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算：−24−24×13−56+34．【答案】−22【分析】先根据有理数乘方运算和乘法分配律的乘法运算，再加减运算即可求解．【详解】解：−24−24×13−56+34=−16−24×13−24×56+24×34=−16−8−20+18=−16−6=−22．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键，灵活运用运算律进行简便计算．【变式6-1】（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：(1)713×(−9)+713×(−18)+713；(2)−62×12−23−23；【答案】(1)−14(2)−14【分析】（1）利用乘法分配律合并计算；（2）先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算减法；【详解】（1）713×(−9)+713×(−18)+713=713×−9−18+1=713×−26=−14；（2）−62×12−23−23=36×12−23−8=36×12−36×23−8=18−24−8=−14；【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各自运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．【变式6-2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）（1）−999899×198【答案】−19798【分析】利用乘法分配律计算即可；【详解】原式=−100+199×198=−100×198+199×198=−19800+2=−19798；【点睛】本题考查有理数的混合运算，注意利用乘法分配律进行简算是解题的关键，也需要注意有理数混合运算的运算顺序．【变式6-3】（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)−24×−56+38−112；(2)     −535×−2+−5.6×7−4×−535；【答案】(1)13(2)−535【分析】（1）根据有理数乘法分配律求解即可；（2）根据有理数四则混合计算法则求解即可；【详解】（1）解：原式=−24×−56+−24×38+−24×−112=20−9+2=13（2）解：原式=   −535×−2+7−4=    −535×1 =−535；【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【技巧7 巧用倒数法计算】【例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）阅读下面材料，然后回答问题．计算−130÷23−110+16−25解法一：原式=−130÷23−−130÷110+−130÷16−−130÷25=−120+13−15+112=16解法二：原式=−130÷23−16+110−25=−130÷12−310=−130×5=−16解法三：原式的倒数为23−110+16−25÷−130=23−110+16−25×(−30)=23×(−30)−110×(−30)+16×(−30)−25×(−30)=−20+3−5+12=−10故原式=−110(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；(2)根据材料所给的正确方法，计算：−142÷16−314+23−27【答案】(1)三(2)−114【分析】（1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可；（2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可；【详解】（1）解：解法一中原式=−130÷23−−130÷110+−130÷16−−130÷25将除数23−110+16−25分开计算是错误的；解法二中原式=−130÷23−16+110−25是错误的，将除数结合后应为原式=−130÷23+16−110+25；解法三中先化为倒数，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律计算后再求倒数是正确的；故正确解法是三；（2）解：解：原式的倒数为16−314+23−27÷−142=16−314+23−27×(−42)=16×(−42)−314×(−42)+23×(−42)−27×(−42)=−7+9−28+12=−14故原式=−114；【点睛】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键．【变式7-1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：−120÷−14−25+910−32【答案】125【分析】根据题意的算法进行运算，即可求得结果．【详解】解：原式的倒数是−14−25+910−32÷−120=−14−25+910−32×−20=5+8−18+30=25故原式=125．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键．【变式7-2】（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）计算：(−78)÷(134−78+712)．【答案】−35【分析】可以先求出所求式子的倒数的结果，然后再写出所求式子的结果即可．【详解】原式的倒数为：(134−78+712)÷(−78)=74×(−87)−78×(−87)+712×(−87)=−2+1+(−23)=−53，∴(−78)÷(134−78+712)=−35．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式7-3】（2023秋·河南南阳·七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： −112÷13−56小华的解法：(−112)÷13−56= −112÷13−−112÷56=−14+110=−320大白的解法：原式的倒数为13−56÷−112……………………第一步=13−56×−12…………………第二步=−4+10……………………………第三步=6…………………………………第四步所以−112÷13−56反以两位同学的解法，请你回答下列问题：(1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确；(2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是____________________.(3)用一种你喜欢的方法计算： −136÷12−13+34【答案】(1)大白(2)乘法分配律(3)−133【分析】（1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确；（2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律；（3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值．【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知：两位同学的解法中，大白同学的解答正确，故答案为：大白；（2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（3）因为原式的倒数为：12−13+34÷−136=12−13+34×−36=12−13+34×−36=12×−36−13×−36+34×−36=−18+12−27=−33，∴12−13+34÷−136=−133．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．【技巧8 变形相加法计算】【例8】计算：1+2+22+…+22019+22020【答案】设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②，②−①得2S−S=S=22021−1，故S=1+2+22+…+22019+22020=22021−1．【变式8-1】计算：1+2+3+4+⋯+55【答案】令S=1+2+3+4+…+55①将①式右边顺序倒置，得S=55+…+4+3+2+1②由②加上①式，得2S=55×56；故1+2+3+4+…+55=55×562=1540【变式8-2】计算：M=5+2×52+3×53+4×54+…+8×58．令M=1+5+52+53+……+551，则5M=5+52+53+……+552，故5M−M=552−1，故4M=552−1，故M=552−14，即1+5+52+53+……+551=552−14．【变式8-3】计算：11+112+113+…+11n【答案】11S=112+113+…+11n+1，然后错位相减法，即可求解．【详解】解：设S=11+112+113+…+11n①，则11S=112+113+…+11n+1②，②−①得11S−S=10S=11n+1−11，故S=11+112+113+…+11n=11n+1−11．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．