山东省济南市莱芜区胜利中学等八校联考2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市莱芜区胜利中学等八校联考2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
1．“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
2．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
3．已知方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值是（　　）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝3 D．k＝5
4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝16，则△ODE的周长是（　　）

A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AE的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　　）

A．∠β＝∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β﹣∠γ＝90° D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（　　）

A．t＝1s B．t＝s
C．s D．t＝s或t＝s
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）
11．在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 　 　．
12．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．

13．已知是方程组的解，则3a﹣b＝　 　．
14．若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于 　 　．
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，则∠A的度数为　 　°．

16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

19．一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．

21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．
（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；
（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为 　 　．

22．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．

23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，设购买甲消毒液a桶，购买两种消毒液的总费用为W，写出W与a之间的函数关系式．
24．如图，P为△ABC外角∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
（1）求证：PE＝PF．
（2）若四边形ABPC的面积为20，且PD＝4，求AB+AC的长．

25．为迎接“五四青年节”某学校组织了一次野外长跑活动．参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

26．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．

参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
1．B．
2．C．
3．B．
4．C．
5．A．
6．C．
7．B．
8．C．
9．A．
10．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）
11．15．
12．110°．
13．5．
14．50°或80°．
15．36．
16．2n﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．解：（1），
①+②，得x＝6，
将x＝6代入①，得y＝4，
∴方程组的解为；
（2），
①×2+②×3，得x＝2，
将x＝2代入①，得y＝﹣1，
∴方程组的解为．
18．证明：∵∠EHF＝∠AHC，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AGB＝∠AHC，
∴DB∥EC，
∴∠FEC＝∠D，
∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠C，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
19．解：（1）290×＝10（个），
290﹣10＝280（个），
（280﹣40）÷（2+1）＝80（个），
280﹣80＝200（个）．
故袋中红球的个数是200个；
（2）80÷290＝．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．

21．解：（1）如图：点D即为所求；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
∴AD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠C＝90°＝∠BED，
∴△BCD≌△BED（AAS），
∴CD＝DE，BC＝BE，
∴EA＝BA﹣BE＝BA﹣CB＝2，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝6+2＝8，
故答案为：8．
22．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．

（2）不变化，∠F＝45°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝45°﹣∠OCD．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．

23．解：（1）设每桶甲消毒液的价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意得：，
解得，
答：每桶甲消毒液的价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元．
（2）由题意得：购买乙消毒液的数量为（30﹣a）桶，
则W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∵，
∴0＜a＜30，
所以W与a之间的函数关系式为W＝10a+1050（0＜a＜30）．
24．（1）证明：∵P为∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）解：如图，连接AP，

∵四边形ABPC的面积为20，
∴S△ABP+S△ACP＝20，
∴AB•PE+AC•PF＝20，
由（1）知PE＝PF＝PD＝4，
∴AB•PD+AC•PD＝20，
即PD•（AB+AC）＝20，
∴2（AB+AC）＝20，
∴AB+AC＝10．
25．解：（1）设长跑的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝kx，
将（60，10）代入y＝kx中，
10＝60k，解得：k＝，
∴长跑的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝x；
设骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝mx+n，
将（20，0）、（40，10）代入y＝mx+n中，
，解得：，
∴骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝x﹣10．
（2）联立两函数表达式成方程组，
，解得：，
∴两函数图象交点的坐标为（30，5）．
答：长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学．
26．解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．