【讲义】人教版七年级数学上册 专题1.4+有理数的乘除【十大题型】（含答案解析）

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专题1.4 有理数的乘除【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22068" 【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】  PAGEREF _Toc22068 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc26035" 【题型2 巧用分配律简化运算】  PAGEREF _Toc26035 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1746" 【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】  PAGEREF _Toc1746 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6032" 【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】  PAGEREF _Toc6032 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8242" 【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】  PAGEREF _Toc8242 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20520" 【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】  PAGEREF _Toc20520 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13153" 【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】  PAGEREF _Toc13153 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32344" 【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】  PAGEREF _Toc32344 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc5571" 【题型9 运用有理数的除法化简分数】  PAGEREF _Toc5571 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9216" 【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】  PAGEREF _Toc9216 \h 8【知识点1 有理数乘法的法则】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．   ③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a.【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a−b>0，ab0，b>0 B．a>0，b0、b>0 B．a0C．a−1b+10【题型2 巧用分配律简化运算】【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：(1)4×−198×−0.25×199(2)−76+34−112×24(3)−5×−713+7×−713−−12×−713(4)997172×−36【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算−0.125×20×−8×−0.8=−0.125×−8×20×−0.8=−16，运算中运用的运算律为（    ）．A．乘法交换律 B．乘法分配律C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：(1)91315×−30；(2)−5×(−3611)+−7×(−3611)+12×(−3611)．【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：(1)−24×(−12+34−13)(2)(−65)×(−−23)+(+173)×(−65)−65【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|+4m−3cd的值．【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x−4|=3，求cd2x+a+bx−2x的值．【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2−ab+2021a+b2022−cd的值．【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2cd−a+b的值．【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．请根据“⊕”的定义计算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．(1)求2⊕−1的值；(2)求−3⊕−4⊕12的值；(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．(1)计算（﹣5）⊗4的值；(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；(3)填空：3⊗（﹣2）______（﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）(1)这辆车离开出发点最远是 千米；(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：(1)根据记录可知前四天共生产 　　辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆；(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售价10元；为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．【知识点 有理数除法的法则】①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：99989÷(−119)；【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−16+34−112÷148．【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：136÷14+112−718−136+14+112−718−136÷136她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？(3)求这7天每天平均人数是多少万人？【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(13−14+112)．解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3−50×4+50×12＝550．解法二：原式＝50÷(412−312+112)＝50÷212＝50×6＝300．解法三：原式的倒数为(13−14+112)÷50＝(13−14+112)×150=13×150−14×150+112×150=1300．故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：计算：(−142)÷(16−314+23−27)．【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：计算：−124÷23−34+78分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：23−34+78÷−124=23−34+78×(−24)=−16+18−21=−19所以原式=−119根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−120÷−14−25+910−32【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a:b=x，则b÷a=1x；材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；利用上述材料，请用简便方法计算：(−160)÷(13−14+112).【变式8-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：−124÷−12+23−34【题型9 运用有理数的除法化简分数】【例9】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：（1）−217；    （2）3−36；    （3）−54−8；    （4）−6−0.3．【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）−72−8；（2）−130.2；（3）0.2−13．【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）−26= ；（2）−6−24= ；（3）0−5= ；【变式9-3】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：(1) −2−6 ;           (2) −3−9 ;(3) 0−3 ;         (4)- −a−b .【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）a、b为任何非零有理数，则aa+bb+abab的可能取值是（    ）A．−3或1 B．3或1或−1 C．1或3 D．−1或3【变式10-1】（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且x＝a|a|+|b|b+|c|c−abc|abc|，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-2】（2023春·山东聊城·七年级校考期中）若ab≠0，则aa−bb的取值不可能是（    ）．A．0 B．1 C．2 D．−2【变式10-3】（2023春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知x1,x2,x3,⋅⋅⋅x20都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，则y1等于1或−1；若y2=x1x1+x2x2，则y2等于2或−2或0；若y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋅⋅⋅+x20x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．序号1234567路程+5−3+10−8−6+12−10星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−10+16−9与标准重量偏差（单位：千克）−2−10123袋数5103156星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元）+1−2+3−1+2+5−4售出斤数2035103015550日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化/万人+1.7+0.6+0.3−0.3−0.6+0.2−1.11月2月3月4月5月6月7月水表读数（吨）433450468485500514535