人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品教案

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

教学目标

【学习目标】

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题；

3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力；

4.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，体验韦达定理的发现、不完全归纳证明以及演绎证明等整个数学思维过程，提升数学的学习兴趣；

5.提高学生综合运用知识分析解决较复杂问题的能力.

熟悉教学目标.

通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.

环节一

创设情境

【引入】

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.（课件展示）

大家知道方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他的表示方式吗？

聆听，或提前准备相关内容并于课上做补充展示.

学生倾听、思考，初步了解本节课所要探究的问题.

生答：应该有.

通过回顾数学文化的引入，让学生了解要探究的内容，助于对新知的引入和学习.

环节二 探究新知

【思考与探究】

先来看看特殊情况，从因式分解法可知，方程（为已知数）的两根为和，将方程化为的形式，你能看出和之间的关系吗？

把方程的左边展开，化成一般形式，得方程.这个方程的二次项系数为1，一次项系数为，常数项.于是，上述方程两个根的和、积与系数分为，.

接下来我们考虑一般的情况.一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？

提问：如果把方程的两边同除以，是怎样的结果？

师表扬并总结，通过上面的运算表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

学生观察、思考，然后小组交流后回答.

预设生1：把展开，然后就是的形式了.

生2：二次项系数为1的方程，两根之和为一次项系数的负数，两根之积为常数项.

生3：我们可以用求根公式来解决，也就是，

生4：式子先化为，然后和特殊情况的一样，，.

生5：当方程二次项系数不为1时，两根之和为一次项系数的负数比上二次项系数，两根之积为常数项比上二次项系数.

通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，为后面的探究进行铺垫.

让学生通过探究问题体会由特殊到一般的认知过程.

经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.

环节三 应用新知

【典型例题】

例：不解方程，求下列方程两个根的和与积：

（1）
（2）

（3）

解：（1），.

（2），.

（3）方程化为一般式，

，.

教师可以找2名优异学生板演，对于易错点（方程要化成一般式）和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.

【资料补充】

韦达（1540—1603），法国数学家．年轻时当过律师，后来致力于数学研究，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著，他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人，带来了代数理论研究的重大进步．他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（即韦达定理），他的《应用于三角形的数学定律》可能是西欧第一部论述用6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作．在欧洲被尊称为“代数学之父”．（取自UMP平台资料）

师介绍，生聆听，也可以生介绍，师补充.

学生按步骤独立作答后，组内讨论交流.

生1：对于(1)方程，二次项系数为1，则是一次项系数的负数，为6. 为常数项，也就是-15.

生2：对于(2)方程，二次项系数为3，则是. 为常数项，也就是.

生3：对于(3)方程，二次项系数为4，则是. 为常数项，也就是.

生聆听并补充等.

通过例题教学，加深对根与系数关系的理解，培养学生的应用意识及能力，同时感受到数学的美，从而建立学好数学的自信心.

环节四 巩固新知

巩固练习：

1.不解方程，求下列方程两个根的和与积；

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）方程化为 .，.

（2）方程化为 ，，.

（3）方程化为.，.

（4）方程化为.，.

2.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明写错了常数项，解得两根为8和2；小红写错了一次项系数，解得两根为-9和-1.若二次项系数是1，你知道原来的方程是多少吗？

解：∵ 原方程二次项系数为1，∵，和常数项无关，∴，为方程一次项系数；

∵，和一次项系数无关，，为方程常数项；

∴ 原方程为：

教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.

学生自主练习，然后组内讨论交流.

生1：方程化为 .，.

生2：方程化为 ，，.

生3：方程化为.，.

生4：方程化为.，.

生5：∵ 原方程二次项系数为1，∵，和常数项无关，∴，为方程一次项系数；

∵，和一次项系数无关，，为方程常数项；

∴ 原方程为：

进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

问题：本节课你学到了什么？

生回顾总结，归纳本节课所学.

生1；学到了一元二次方程的根与系数的关系.

生2：当一元二次方程的系数为1时，两根之和为一次项系数的负数，两根之积为常数项.

生3：……

通过提问让学生回顾、总结公式法解一元二次方程的知识，并帮助学生梳理本节课所学内容.

环节六

布置作业

教科书

第16页练习题；

第17页习题21.2第7题.