人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数获奖第3课时教学设计及反思

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

教学目标

【学习目标】

1.能根据具体几何问题建立合适的直角坐标系，找出数量关系；

2.能建立二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题；

3.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际问题之间的联系，体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想；

4. 经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.

熟悉学习目标

通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.

环节一

创设情景

【观察与思考】

跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.那么抛物线解析式是什么呢？

教师活动：教师主要引导学生明白,要想求解析式，要把图形放在直角坐标系中，且建立直角坐标系的方法不唯一，以适当为标准.使计算更简便.

小组讨论，如何建立直角坐标系

环节二探究新知

【探究】

如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？

以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.

设抛物线表示的二次函数为y=ax2.

由抛物线经过点(2，–2)，可得

– 2=a×22，

这条抛物线表示的二次函数为

当水面下降1 m时，水面的纵坐标为–3，如图设点P的横坐标为x1，

由题意知

当水面下降1 m时，水面宽度增加m.

从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际问题之间的联系，体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想.

环节三应用新知

【典例探究】

如图，河上有一座抛物线形隧道，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时：

（1）求此时水面的宽度CD为多少米？

（2）若游船(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为

1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？

解：(1)建立如图所示的直角坐标系，

则点E(0，3)，A(3，0)，B(– 3,0)

设抛物线的解析式为y=ax2+k.

把点E，点A坐标代入到抛物线的解析式中.

当y=0.5时，

故水面宽度CD=m.

(2)当x=1时，所以这艘游船能通过.

【归纳】

建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：

① 根据题意建立适当的平面直角坐标系.

② 把已知条件转化为点的坐标.

③ 合理设出函数的解析式.

④ 利用待定系数法求出函数解析式.

⑤ 利用求得的关系式进一步分析，并进行有关的判断.

经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

练习1

有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为

40 m，现把它的示意图放在坐标系中，则抛物线的解析式为(     )

A.

B.

C.

D.

答案：C

练习2

某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m,如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)   (     )

A. 6.9 m        B. 7.0 m         C. 7.1 m         D. 6.8 m

答案：A

练习3

如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A、B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离.

解：建立如右图所示的直角坐标系.这时绳子所成抛物线的对称轴是y轴，所以可设它的函数解析式为y=ax2+k.

由题意知B(1，2.5)，C(– 0.5，1)在抛物线上，

所以抛物线的解析式为y=2x2+0.5.

因为a=2＞0，所以y有最小值，即当x=0时，

y最小值=0.5.

即绳子的最低点距地面的距离0.5 m.

进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

巩固例题练习

教科书第56页复习题22

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.