数学九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定优秀课后作业题

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北师大版数学九上 第一章1.2 矩形的性质与判定测试卷 A卷
一， 选择题（共30分）
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到ΔBFE，若∠FDE＝90°，则CE的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图1，根据折叠的性质得到BF=BC=5，FE=CE，根据勾股定理得到CE2=（3CE）2+12，于是得到CE=，即可得到结论．
【详解】
解：如图1，∵将△BCE沿BE折叠，得到△BFE，

∴BF=BC=5，FE=CE，
∴DE=3-CE，
∵AB=3，
∴AF=4，
∴DF=1，
∵EF2=DE2+DF2，
∴CE2=（3CE）2+12，
∴CE=．
故选：．
2．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）．

A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】
连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】
解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．

3．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】
由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断．
【详解】
解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米，
600×2.5=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟，
∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟，
∴①符合该函数关系；
②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，
∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒，
∴②符合该函数关系；
③如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
设点P的运动路程为x，的面积为y，
由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为，
当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为，
当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6，
∴③也符合该函数关系；
∴符合图中函数关系的情境个数为3个；
故选A．

4.如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【详解】
设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，
在中，，
，
即的最小值为．
故选A．

5．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为　　

A．4 B．5 C．6 D．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形
，，
,     
，且，
，
在中，
点O是斜边AC上的中点，

故选B．
6．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．18
【详解】
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
7．如图：矩形花园ABCD中，，，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK.若，则花园中可绿化部分的面积为(             )                                      

A． B．
C． D．
【详解】
解：由题意得可绿化部分的面积为，故选C .

8.将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　）

A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【详解】
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，

过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN，
∴CM，
∴，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．


9.如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（       ）

A．102° B．108° C．124° D．128°
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
10.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（　　）

A．54° B．60° C．66° D．72°
【详解】
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；

则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．
故选D．
二．填空题（共24分）
11.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为　 　.

【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB'C'D'
∴ AB=AB′=CD=10，∠D=90°
∴B′D=AB′2−AD2=102−62=8
∴B′C=CD−B′D=10−8=2
故答案为：2.

12.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠a=　 　°。

【答案】125
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D' ，
∴∠DAD’=35°，
∴∠BAD'=55°，
∵∠BAD'+∠ABC+∠ a +∠AD'C'=360°，
∴∠a =360°-90°-90°-55°=125°，
故答案为：125.

13.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4，则AD=　 　.

【答案】4 3
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形.
∴OA=OB=OD=OC=4.
∴BD=OB+OD=4+4=8.
在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8.
由勾股定理可知AD2=BD2-AB2=82-42=48.
∴AD=4 3 .
故答案为：4 3 .

14.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动.则A′C的取值范围为　 　.

【答案】4cm≤A′C≤8cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，
当点E与B重合时，A′C最小，
如图1所示：

此时BA′＝BA＝6cm，
∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；
当F与D重合时，A′C最大，
如图2所示：

此时A′D＝AD＝10cm，
∴A′C＝102−62＝8（cm）；
综上所述：A′C的取值范围为4cm≤A′C≤8cm.
故答案为：4cm≤A′C≤8cm.
15.如图所示．在矩形ABCD中，AB=2，BD=4，则∠AOD=　 　度．

【答案】120
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等，且互相平分，
∴OA=OB=12BD=2，
∵AB=2，
∴OA=OB=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°−∠AOB=120°，
故答案为：120．
16.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则AMMD等于　 　．

【答案】35
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵ 四边形MBND是菱形，
∴MD=MB ．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90° ．
设 AB=x ， AM=y ，则 MB=2x−y ， (x 、 y 均为正数 ) ．
在 Rt△ABM 中， AB2+AM2=BM2 ，即 x2+y2=(2x−y)2 ，
解得 x=43y ，
∴MD=MB=2x−y=53y ，
∴AMMD=y53y=35 ．
故答案为： 35 ．
三．解答题（共46分）
17.（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【详解】
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．

18.（8分）．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵E为BC的中点
∴
∴
∴
∵
∴四边形ABFC是平行四边形


∴平行四边形ABFC是矩形．
19.（10分）如图，矩形中，，，在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．
（1）过作，垂足为，用含的式子表示：______，______；
（2）当时，判断是否是直角三角形，并说明理由；
（3）当时，求的值．

【答案】（1），；（2）不是，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据矩形的性质可得，再根据矩形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得；
（2）如图（见解析），先在（1）的基础上可得，再在和中，利用勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：（1）由题意得：，
矩形中，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：，；
（2）当时，不是直角三角形，理由如下：
如图，过作，垂足为，

当时，，，
，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴不是直角三角形；
（3）如图，过作，垂足为，

∵四边形为矩形，
∴，
∴，
当时，则，
，
在中，，即，
解得．

20.（10分）．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
（1）证明：如解图，连接．

∵E为的中点，
∴，
由折叠性质得，
∴，
在和中，

∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由折叠性质得，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴

21.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1），
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．