初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课后测评

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北师大版数学 九上 第一章 1.1菱形的现在与判定 测试卷A卷
一． 选择题（共30分）
1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（　　）

A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE＝BE，AF＝FC，
应有DE＝BE，DF＝CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD＝CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C.
则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形.
故答案为：A.

2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；
菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等.
故答案为：B.

3.如图，某同学剪了两条宽均为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）．

A．3 B．23 C．36 D．6
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

由题意可得AE=AF=3，∠AEB=∠AFD=90°．
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF=60°．
在△AEB和△AFD中，∠ABE=∠ADF∠AEB=∠AFDAE=AF，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，∠ABE=60°，
∴BE=AEtan60°=1，AB=AEsin60°=2，
∴BC=AB=2，
∴重叠部分的面积是BC×AE=23．
故答案为：B．

4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　）

A．AB=AC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC（一组邻边相等即可），四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故A，B不符合题意；
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD是菱形，故C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C

5.菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是(　　)
A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO＝OD＝12BD＝12×6＝3cm，AO＝OC＝12AC＝12×8＝4cm，
∴AB＝AO2+BO2=42+32＝5cm，即菱形的边长是5cm，
故答案为：B．
6.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的对角线互相垂直， 而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；
故答案为：A．

7.如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF，如果EF=4，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AB中点，F为AC中点，
∴线段EF为△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×4=8.
∵四边形ABCD为菱形，
∴该菱形的周长=4×8=32.
故答案为：D.

8.如图，在菱形ABCD中， AB=4 ， ∠BAD=120° ， △AEF 为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　）

A．4 B．43 C．8 D．83
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】连接AC，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
∠1=∠3AB=AC∠ABC=∠4 ，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝ 12 BC＝2，
∴AH＝ AB2−BH2=42−22=23 ，
S四边形AECF＝S△ABC＝ 12 BC•AH＝ 12 ×4×2 3 ＝4 3 ，
故答案为：B．

9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动和过程中，PE+PF的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接E′F，则PE+PF的最小值为E′F.

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12AC=12×8=4，BO=12BD=12×6=3，
∴AB2=32+42=25，
∴AB=5.
由菱形的轴对称性可知E′为AD的中点，
∴E′F=AB=5，即PE+PF的最小值为5.
故答案为：C.

10.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（　　）
①OG=12AB；②与△EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；

A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∴CD=DE，
∴AB=DE.
∵∠BAG=∠EDG，∠AGB=∠DGE，AB=DE，
∴△ABG≌△DEG，
∴AG=DG，
∴OG为△ACD的中位线，
∴OG=12CD=12AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE为平行四边形.
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD、△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴四边形ABDE为菱形，故④正确；
∴AD⊥BE.
∵四边形ABDE为菱形，
∴△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）.
∵AG=DO，∠BAG=∠CDO，AB=CD，
∴△BGA≌△COD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②错误；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG.
∵四边形ABDE为菱形，
∴S△ADG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确.
故答案为：A.

二．填空题（共24分）
11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE=DF，则AE+AF的最小值为　 　.

【答案】42
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在BC的下方作∠CBT=30°，在BT上截取BT，使得BT=AD，连接ET，AT.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF=12∠ADC=30°，
∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30°，DF=BE，
∴△ADF≌△TBE(SAS)，
∴AF=ET，
∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60°+30°=90°，AB=AD=BT=4，
∴AT=AB2+BT2=42+42=42，
∴AE+AF=AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥42，
∴AE+AF的最小值为42，
故答案为：42.

12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，按下列步骤作图：
①分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E，F；
②过点E，F作直线EF，交CD于点P；
③连接OP.若OP=1.5，则菱形ABCD的周长为　 　.

【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据作图可知EF是CD的垂直平分线，
∴P是CD的中点，
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴BO=OD，
∴EP=12BC，
∵OP=1.5，
∴BC=3，
∴菱形ABCD的周长为12.
故答案为：12.

13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，AC=6，CD=5.若点E在BC上，且AE⊥BC，则AE的长为　 　.

【答案】245
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC=6，CD=5，
∴AC⊥BD，OB=OD，OC=12AC=3，BC=CD=5，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理可得OD=CD2−OC2=52−32=4，
∴BD=2OD=8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC⋅AE=24，
∴AE=24BC=245.
故答案为：245.

14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　 　．

【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵S菱形ABCD＝24，
∴12×8×BD＝24，
解得：BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝12BD＝12×6＝3，
故答案为：3．
15.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为　 　．

【答案】132
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝12AB＝1，BO＝22−12=3＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝12AO＝12，FH∥AO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝32，OH＝32，
∴EH＝3，
∴EF＝EH2+FH2=3+14=132，
故答案为：132．
16.如图，在菱形ABCD中， BC=2 ， ∠C=120° ，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则 AP+PQ 的最小值为　 　.

【答案】3
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，CQ，

∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴CQ的长即为AP+PQ的最小值，
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵Q是AB的中点，
∴CQ⊥AB，BQ= 12 BC= 12 ×2=1，
∴CQ= BC2−BQ2=22−12=3 .
故答案为： 3 .
三、 解答题（共46分）
17.（8分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.

【答案】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形.

18.（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF．求证：▱ABCD是菱形．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA=∠DFC=90°．
又∵DE=DF，
∴△DAE≌△DCF(AAS)，
∴DA=DC，
∴▱ABCD是菱形．

19.（10分）已知：如图，菱形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 AB ， AD 边上， AE=AF ，连接 CE ， CF .求证： ∠AEC=∠AFC .

【答案】证明：连接 AC ，如图，

∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠BAC=∠DAC ，
在 ΔAEC 和 ΔAFC 中， AE=AF∠EAC=∠FACAC=AC ，
∴ΔAEC≅ΔAFC (SAS)，
∴∠AEC=∠AFC .

20.（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：AD⊥EF．

【答案】证明：∵DE∥AC ， DF∥AB ，
∴四边形 AEDF 为平行四边形，
∵AD 平分 ∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD ，
∵DE∥AC ，
∴∠ADE=∠FAD ，
∴∠EAD=∠ADE ，
∴AE=DE ，
∴四边形 AEDF 为菱形，
∴AD⊥EF ．

21.（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）问题提出
如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　 　，CE与CB的位置关系是　 　．
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）问题解决
如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．
【答案】（1）PB=EC；CE⊥CB
（2）解：结论仍然成立.
理由：如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠CAE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD
∵AD∥CB
∴CE⊥CB
（3）解：根据题目，为了使F到C点的距离最短，在BC固定的情况下，∠CBE越小，CF越短，∠CBE越小，点E距离点P越小，即△APE边长越小，即当点P位于点D时，CF最小，如图所示：

∵∠ABC=60°且四边形ABCD为菱形
∴∠BAD=120°，∠DAE=60°
∵∠BAD+∠DAE=180°
∴点A位于线段BE上
∵AB=20，AE=20，则点A为BE的中点
∴点F与点A重合
∴FC=AC
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形
∴FC=AC=AB=20
∴点F到C点的最短距离为20m．