北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课时作业

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北师大版数学九上 1.3正方形的性质与判定单元测试提升卷
B卷
一． 选择题（共30分）
1．一张正方形纸片按如图①、图②依次对折后，再按如图③虚线裁剪，最后把得到的图④展开铺平，所得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
2.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位．

A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【详解】
如解图，由题意知是等腰直角三角形，设，
∵，
∴，
∵最大正方形的面积．

故选：D．
3．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
4.如图，在正方形ABCD内，，连接EF，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）

A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，只要证明四边形MENF是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四边形MENF是正方形，
∵EF=，
∴正方形MENF的面积为=16，
∴正方形ABCD的面积=4×2+16=24，
故选：B．
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故答案为：B．

6.如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）

A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．

7．下列命题正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故答案为：C.
8.如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°.
故答案为：A.
9.如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=2AB=2 ， ∠ABC=60° ， E ， F 是对角线 BD 上的动点，且 BE=DF ， M ， N 分别是边 AD ，边 BC 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF ；
②存在无数个矩形 MENF ；
③存在无数个菱形 MENF ；
④存在无数个正方形 MENF ．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
10.已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF=1，则AB=（　　）

A．2+2 B．22−2 C．4−22 D．22+2
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作FH∥BC交BD于点H.

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，
∴∠OHF=∠OFH，
∴OH=OF=1，FH=12+12=2，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF=∠FBC=∠BFH，
∴BH=FH=2，
∴OB=OC=1+2，
∴AB=BC=2OB=2+2.
故答案为：A.

二． 填空题（共24分）
11.如图，四边形ABCD和四边形OMNP都是边长为4的正方形，点O是正方形ABCD对角线的交点，正方形OMNP绕点O旋转过程中分别交AB，BC于点E，F，则四边形OEBF的面积为　 　．

【答案】4
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD的对角线交点为O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，

∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=12AB=12CB，∠GOH=90°，
∴S四边形OGBH=OG2=(12AB)2=(12×4)2=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴S△OGE=S△OHF，
∴S四边形OGBH=S四边形OEBF，
∴S四边形OEBF=4，
故答案为：4．

12.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　，才能保证四边形EFGH是正方形.

【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= 12 AC，GH∥AC，GH= 12 AC，EH∥BD，EH= 12 BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为：AC⊥BD，AC=BD.
13.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠EAF=45° ，AE交BD于M点，AF交BD于N点.下列结论：①BM2+DN2=MN2 ；②AE=AF ；③EA平分 ∠BEF ；④△CEF 的周长等于 2AB ，其中正确结论的序号是 　 　.（把你认为所有正确的都填上）

【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，

∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠HAF=45° ，
∵△ABM 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADH ，
∴BM=DH ， AH=AM ， ∠ABM=∠ADH ，
又∵AN=AN ，
∴△AMN≌△AHN ，
∴MN=HN ，
而 ∠HDN=∠HDA+∠ADB=∠MBA+∠ADB=45°+45°=90° ，
∴在 Rt△HDN 中， DH2+DN2=HN2 ，
∴BM2+DN2=MN2 ，
故①正确；
②由题知 AB=AD ， ∠ABE=∠ADF=90° ，只有两个条件不能得到 △ABE≌△ADF ，
∴AE≠AF ，
故②错误；
③将 △ABE 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADG ，

∵∠ABE=∠ADG=90° ， ∠ADF=90° ，
∴∠GDF=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180° ，
∴点G、D、F三点共线，
由旋转可得 BE=DG ， AE=AG ， ∠BAE=∠DAF ，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠GAF=45° ， AE=AG ，
又∵AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF ，
∴∠AEF=∠AGF
又∵∠AEB=∠AGF ，
∴∠AEF=∠AEB ，
∴EA平分 ∠BEF ；
④由③可知 △AEF≌△AGF ，
∴EF=GF ，
∵GF=GD+DF=BE+DF ， AB=BC=CD ，
∴△CEF 的周长 =CE+EF+CF
=CE+BE+DF+CF
=BC+CD
=2AB ，
故④正确；
综上所述：正确的有①③④.
故答案为：①③④.
14.如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α(0°