北师大版数学九上第一章 特殊平行四边形 测试提升卷A卷（困难）

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北师大版 数学就是第一章特殊平行四边形 测试提升卷 A卷
一．选择题（共30分）
1．如图，正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接．若，则的度数是（    ）
  
B． C． D．D
答案 解：四边形是正方形，
，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，

2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，延长BC至B′，使EB′＝BE．连接AB′交CD交于点F．AB＝a．则B′F的长度为（    ）

A． B． C．（）a D．
答案．D
【分析】根据已知先求出的长，可证是等腰直角三角形，得到，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，即可得出的长度．
【详解】解：在边长为的菱形中，，为边上的高，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
故选：D．

3．如图，右边的天鹅是用左边面积为64的七巧板拼出的图案，则图中阴影部分的面积是（　　）
  
A．20 B．24 C．28 D．32
答案B
【分析】看图发现阴影部分面积是正方形的面积减去，，，部分的面积，从而分别求得，，的面积即可．
【详解】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，，，部分的面积，
  
与的和是正方形的面积的一半，的面积是正方形的，
所以，阴影部分面积．
故选：B．

4．下列命题错误的是（    ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
答案．D
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【详解】A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，命题正确，不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，命题正确，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项符合题意．
故选：D．

5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高BH=(   )

A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2
答案．B
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴，
在Rt△AOB中，，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=，
即×6×8=5•DH，
解得：DH=4.8，
故选：B．

6.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）

A． B．3+3 C．6+ D．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选D．

7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）

A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
【解答】解：连接AP，如图：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选C．

8.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，
且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，
∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°
由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，
∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110° 故选：B．


9.在中，对角线，交于点O，E是边上的一个动点（不与A，B重合）．连接并延长，交于点F，连接，．下列四个结论中：①四边形始终是平行四边形；②若，则存在点E，使得四边形是矩形；③若，则存在点E，使得四边形是菱形；④若，则存在点E，使得四边形是正方形．正确结论的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案．B
【分析】由于经过平行四边形的中心O，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．
【详解】解：①如图1，

∵四边形为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
即E在上任意位置（不与A、B重合）时，四边形恒为平行四边形，故①正确；
②如图2，

当时，
∵，
∴，
∴四边形不可能是矩形，故②错误．
③如图3，

若，当时，四边形为菱形，故③正确．
④如图4 ，

当时，
如果，就不存在点E在边上，使得四边形为正方形，故④错误．
综上分析可知，正确的有2个，故B正确．
故选：B．

10.如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．以下结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（    ）．

A． ①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
答案A
【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形性质结合所作辅助线可推出四边形是正方形，由矩形性质得，又可证，即可利用“”证明，即得出，说明矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，由此推出平分，故③④正确；进而求得，故②错误；
【详解】过点E作于点M，作于点N，如图所示，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，故④正确．
∵,
∴平分，故③正确；
∵，
∴，故②错误．
综上可知①③④正确．
故选A．
二． 填空题（共24分）
11．在矩形内放置正方形甲、正方形乙、等腰直角三角形丙，它们的摆放位置如图所示，已知，图中阴影部分的面积之和为31，则矩形的周长为 ．


答案．
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，结合图形特征及隐含的关系式，用含a，b的代数式表示出有关线段，再利用建立方程，得到a=，再统一用b表示出各个部分的面积，运用阴影部分的面积之和为31建立方程解得b的值，从而求得矩形的周长．
【详解】
解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，则HB=HG=AF=a，GM=MN=b，
如图过点G作GF⊥AD，则为等腰直角三角形
∴FG=FM=AH=GM=b，MD=MN=b，
∴AB=BH+AH=a+b，BC=AD=AF+FM+MD=a+b+b=a+b，
∵AB:BC=5:9，
∴( a+b) ：(a+b)=5 ：9，
解得：a=，
∴CD=AB= a+b=+b=，BC=
∴，，，
∵，
而 =，
，
∵=31，
∴=16
∴b=4
∴矩形的周长为2(AB+BC)=2()=
故答案为：．

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边ABCD的中点, DH⊥BC于点H，连接EH，EC，EF，现有下列结论:①∠CDH=30°；②EF=4;③四边形EFCH是菱形;④S△EFC=3S△BEH.你认为结论正确的有 .(填序号)

答案．①②③
【详解】试题解析：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD=2，AB=DH，
∴CH=BC-BH=6-2=4，
∵CD=8，
∴CH=CD，
∴∠CDH=30°；①正确；
②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF=CD=4，EF∥BC，EF=（AD+BC）=4，②正确；
③∵EF∥BC，EF=CH=4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF=CF=4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；
④∵EF=4，BH=2，
∴S△EFC=2S△BEH．④错误；
故选①②③．

13．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的横坐标为 ．

答案．1348
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．
【详解】解：连接，如图所示：

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：

由图可知：每翻转次，图形向右平移，
，
点向右平移即到点，
的坐标为，
的坐标为，
故答案为：．

14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2＋2，则AD＝　 　.

答案. 4
15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝10，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为　 　. 

答案. 10
16. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F.当点M与点B重合时，EF的长为______；当点M的位置变化时，DF长的最大值为______．
【答案】33  6−33
【解析】解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠C=60°，
∴△ADB，△BDC都是等边三角形，
当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF=AD⋅sin60°=6×32=33．
如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．

∵AD/​/CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G=∠AKT=∠GTK=90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG=TK=AB⋅sin60°=33，
∵OA=OM，//AOK=∠MOT，∠AKO=∠MTO=90°，
∴△AOK≌△MOT(AAS)，
∴OK=OT=332，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK=332，
∵∠AOF=90°，AR=RF，
∴AF=2OR≥33，
∴AF的最小值为33，
∴DF的最大值为6−33．
故答案为：33，6−33．

三． 解答题（共46分）
17.（8分）．如图1，在一张矩形纸片ABCD上任意画一条线段GF，将纸片沿线段GF折叠，

（1）重叠部分的△EFG是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若使点C与点A重合，折叠为GF，如图2，△AFG的面积记为S1，图3中沿BD折叠，△EBD的面积记为S2，试问S1和S2相等吗？请说明理由．
答案 解：（1）如图1，△EFG是等腰三角形，理由是：
由折叠得：∠EFG=∠GFC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AGF=∠GFC，
∴∠EFG=∠AGF，
∴△EFG是等腰三角形，
（2）S1和S2相等，理由是：
如图2，∵△AFG是等腰三角形，
∴AF=AG，
设AG=a，则AF=FC=a，BF=BC﹣a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2，
∴a2=（BC﹣a）2+AB2，
∴a=，
如图3，∵△BED是等腰三角形，
∴BE=ED，
设ED=x，则BE=x，AE=AD﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，
x2=AB2+（AD﹣x）2，
x=，
∵AD=BC，
∴a=x，
即AG=ED，
∵S1=AG•AB，S2=ED•AB，
∴S1=S2．


18.（8分）．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．

（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC=30°，连接EC，试判断△EFC 的形状，并说明理由．
答案 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
（2）△EFC是等边三角形，
由（1）得EF＝AF＝CF，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC=2∠BAC=60°，
∵EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形．


19.（10分）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，将∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图1)，求证：BM＋DN＝MN.
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间的数量关系是　 . 
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，并对你的猜想加以说明.

解：(1)延长CB至点E，使得BE＝DN，连接AE. 易证△ABE≌△ADN，∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN. 又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM，∴ME＝MN，即BM＋BE＝MN，∴BM＋DN＝MN.
(2)BM＋DN＝MN
(3)DN－BM＝MN. 理由：在DC上截取DE＝BM，连接AE. 易证△ADE≌△ABM，∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，∴∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN. 又∵AN＝AN，∴△MAN≌△EAN，∴EN＝MN，即DN－DE＝MN，∴DN－BM＝MN.

20.（10分）已知正方形ABCD中，AB＝3，且E为CD上的一动点，以AE为边做正方形AGFE，如图1所示，连接BE、GD．
（1）求证：BE＝GD．
（2）如图2，延长GD、BE交于点Q，求证：BE⊥GD．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠DAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG.
（2）证明：∵△BAE≌△DAG，∴∠GDA＝∠ABE，
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠GDA，
∵∠CEB＝∠DEQ，∴∠DEQ＝∠GDA，
又∵∠ADC＝90°，∠DGA+∠QDE＝90°，∴∠DGA+∠DEQ＝90°，∴∠Q＝90°，
∴BE⊥GD.

21.（10分）已知，如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，点E是BC的中点．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AD＝8，CD＝6，点F是AD上的点，连接CF，把∠D沿CF折叠，使点D落在点G处．当△AFG为直角三角形时，求CF的长度．

【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．
∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥EC．
∵AB＝AC,E是BC的中点，∴AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．
∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．
∵∠D＝90°,∴四边形AECD为矩形．
(2)当∠AGF＝90°时，G在AC上，如图，

∵AD＝8,CD＝6,∴AC＝．
∵CG＝CD,∴AG＝AC﹣CG＝4．
设DF＝x,则AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,
由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．
∴42+x2＝(8﹣x)2．解得：x＝3．
∴．
当∠AFC＝90°时，G在CE上，此时四边形CDFG为正方形，如图：

∴CF＝6；
当∠FAG＝90°时，G在AB上，此时CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,
∵斜边大于直角边，∴G不可能在AB边上．
综上，CF＝6或3．