第03讲 因式分解 (精讲）-初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

这是一份第03讲 因式分解 (精讲）-初三升高中数学完美升级衔接精讲精练，文件包含第03讲因式分解精讲解析版docx、第03讲因式分解精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32241" 一、知识巩固与延伸 PAGEREF _Tc32241 \h 2
\l "_Tc28040" 1、因式分解定义 PAGEREF _Tc28040 \h 2
\l "_Tc2090" 2、提公因式法 PAGEREF _Tc2090 \h 2
\l "_Tc1795" 3、公式法： PAGEREF _Tc1795 \h 2
\l "_Tc15725" 4、十字相乘法 PAGEREF _Tc15725 \h 2
\l "_Tc25533" 5、分组分解法 PAGEREF _Tc25533 \h 3
\l "_Tc11475" 6、求根公式法 PAGEREF _Tc11475 \h 3
\l "_Tc4977" 二、高中相关知识 PAGEREF _Tc4977 \h 4
\l "_Tc30754" 二、重点题型剖析 PAGEREF _Tc30754 \h 4
\l "_Tc9697" 题型一：提公因式法因式分解 PAGEREF _Tc9697 \h 4
\l "_Tc22756" 题型二：运用公式法分解因式 PAGEREF _Tc22756 \h 5
\l "_Tc23563" 题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算 PAGEREF _Tc23563 \h 8
\l "_Tc19249" 题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 PAGEREF _Tc19249 \h 10
\l "_Tc27742" 题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 PAGEREF _Tc27742 \h 11
\l "_Tc29611" 题型六：含参数的十字相乘法 PAGEREF _Tc29611 \h 13
\l "_Tc14643" 题型七：十字相乘法的综合应用 PAGEREF _Tc14643 \h 13
\l "_Tc17028" 题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） PAGEREF _Tc17028 \h 15
\l "_Tc5193" 题型九：因式分解的应用 PAGEREF _Tc5193 \h 19
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
一、知识巩固与延伸
一、初中知识再现
1、因式分解定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.
2、提公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3、公式法：
3.1公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
3.2公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
特别说明：
（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号
（2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
4.2首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
5、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
6、求根公式法
对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.
二、高中相关知识
1、乘法公式中的立方和、立方差公式：
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
二、重点题型剖析
题型一：提公因式法因式分解
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）已知，，则的值为（ ）
A．3B．6C．8D．11
例题2．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：______．
例题3．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
题型归类练
1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）分解因式的结果是______．
2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：__________．
3．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
题型二：运用公式法分解因式
典型例题
例题1．（2023春·七年级课时练习）对多项式进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）（1）计算：；
（2）因式分解：．
例题3．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将化成的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程，老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
(3)求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
例题4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）因式分解：
(1)；
(2)．
例题5．（2023春·江苏·七年级专题练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；
(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
题型归类练
1．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：______．
2．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
3．（2023秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
4．（2023·全国·九年级专题练习）把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)．
5．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)
题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算
典型例题
例题1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）利用因式分解计算：的结果是______．
例题3．（2023春·七年级课时练习）用简便方法进行计算．
（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．
（2）．
（3）（）×…×（）．
（4）1952+195×10+52．
题型归类练
1．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）计算：
2．（2023春·七年级课时练习）(1)计算 ：
(2)简便计算：．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）利用因式分解计算
(1)
(2)
（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）如果多项式可分解为，则，的值分别为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）因式分解：______．
例题3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）_______________；
（2）_________________；
（3）_________________；
（4）______________________．
题型归类练
1．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解
典型例题
例题1．（2023·全国·九年级专题练习）在实数范围内分解因式：________．
例题2．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：___________
例题3．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
例题4．（2023春·七年级课时练习）分解因式：
；（2）；（3）；
题型归类练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：
3．（2023春·七年级课时练习）将下列各式分解因式：
（1）；（2）
题型六：含参数的十字相乘法
典型例题
例题1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列各式分解因式：
例题2．（2022秋·全国·八年级专题练习）
题型归类练
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为_______．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）因式分解：
；
题型七：十字相乘法的综合应用
典型例题
例题2．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____．
例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
（4）知识延伸：
解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“，则或”．
解方程．
题型归类练
1．（2023春·七年级课时练习）分解结果等于的多项式是（ ）.
A．B．
C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）因式分解：．
题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
再如“”分法：
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)的三边，，满足，判断的形状，并说明理由．
例题2．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
例题3．（2023春·七年级课时练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
题型归类练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．
；
也可以
．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①
②
(2)拓展延伸
①若求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．
题型九：因式分解的应用
典型例题
例题1．（2023秋·广东江门·八年级统考期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法：
∴．
填空：
(1)分解因式：______；
(2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式．
分解因式：______．
(3)已知：，其中为整式，则分解因式：______．
例题3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有足够多的边长为的小正方形（类），长为、宽为的长方形（类）及边长为的大正方形（类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为．
(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，画出图形，并根据图形回答：______________．
(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，
①你画的图中需类卡片___________张；
②可将多项式分解因式为_______________；
(3)如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为．若用表示四个相同的长方形的两边长，观察图形并判断下列关系式：①；②；③；④，其中正确的是____________．
题型归类练
1．（2023秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）阅读与思考
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知三边满足，请判断的形状并说明理由．
2．（2023春·七年级课时练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)已知a、b、c为的三条边，且满足，求的周长；
(3)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
(1)已知，，是的三边且满足，判断的形状；
(2)两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
解：
我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到
了四项及以上的多项式要进行因式分解时．就往往不知从何下手了．因此，针对四项
及以上的多项式因式分解．我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小
组，每个小组单独进行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分
解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：
．