第03讲 因式分解(分层精练）-初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

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第03讲 因式分解(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）下列四个多项式，不能因式分解的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是(　　)
A．7 B．2 C． D．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ）

A．2560 B．490 C．70 D．49
5．（2023春·七年级课时练习）多项式与多项式的公因式是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）若二次三项式，则当，，时，，的符号为（    ）
A．， B．，
C．， D．，同号
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
9．（2023春·七年级课时练习）分解因式： _____．
10．（2023·江苏宿迁·统考一模）若，则______________．
11．（2023春·七年级课时练习）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________．
三、解答题
12．（2023春·全国·七年级专题练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得

则
∴
解得：，
∴另一个因式为，m的值为-21．
问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．












13．（2023春·江苏·七年级专题练习）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．





B能力提升
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知实数、、满足：(，下列式子一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（　　）
A． B． C．3 D．11
3．（2023春·七年级课时练习）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为______．
5．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则__________．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．

















7．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如分解图），这样，我们就可以得到：

某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项－3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况（如下分解图），求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况（就是方框框起的两种情况）．所以得到：或．
十字相乘法公式：（其中，a，b，c，d为常数）

阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图．
(1)
(2)










8．（2023春·七年级单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．

(1)由图1中的大正方形的两种面积表示方法可得到因式分解的等式 　 　；
(2)先画出一个面积为的几何图形，再根据图形的面积将代数式因式分解：　 　；
(3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：　 　；
②已知，请利用上面的等式求．