初中22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质教学ppt课件

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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x－h) ²+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x－h) ²+k的图象和性质
人教版九年级数学上册
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
学习目标
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x-h)2
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
3.说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点在x轴上（h，0）
顶点 在y轴上(0,k)
对称轴 y轴
对称轴 x=h
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
O
X
y
3
-2
O
y
3
-2
X
（1）画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
解: 先列表
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
再描点、连线
直线x= -1
开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1).
（2）画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1, -2).
★二次函数y=a（x-h)2 +k（a ≠ 0）的性质
已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
例1
对于抛物线 y=－(x+1)2+3，下列结论： ①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1； ③顶点坐标为(-1, 3); ④x＞1时，y 随 x 的增大而减小 . 其中正确结论有( ) A.0 B.1 C.2 D.3
C
解： ①∵a=－1＜0， ∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线 x=－1，错误； ③顶点坐标为(-1, 3)，正确； ④x＞1时，y 随 x 的增大而减小 ，正确. 综上所述，结论正确的是① ③ ④，共3个，故 选C.
例2
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长.
3
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
例3
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)²+3（0≤x≤3）由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)²+3， 当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
3
向左平移1个单位
平移方法1
向下平移1个单位
平移方法2
向左平移1个单位
向下平移1个单位
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
左右平移
平移规律
简记为：上下平移， 括号外上加下减；左右平移， 括号内左加右减.二次项系数a不变.
★二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k 的关系
左右平移
上下平移
上下平移
y=a(x-h)2+k
y=ax2
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个 单位后，抛物线的解析式为( ) A. y=(x+2)2+3 B. y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)2-3
由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线y=x2先向右平移2个单位所得抛物线的表达式为：y=(x-2)2，再向上平移3个单位后，所得函数的表达式为y=(x-2)2+3，故应选B.
B
解：
1、请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
完成下列表格:
1、对称轴是直线x=-2的抛物线是( ) A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2 C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-62、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+13、若抛物线的顶点为(3,5) ,则此抛物线的解析式可设为( ) A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
C
C
B
4、指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；（3）y=(x-4)2+3； （4）y=- (x+2)2-3.
开口向上对称轴为x=-2顶点坐标为（-2，1）
开口向下对称轴为x=2顶点坐标为（2，-1）
开口向上对称轴为x=4顶点坐标为（4，3）
开口向下对称轴为x=-2顶点坐标为（-2，-3）
5、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2 ∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
6、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y= x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )A.3.5 m B.4 mC.4.5 m D.4.6 m
B
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与 y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.对称轴是x=h,顶点坐标是（h,k) .
平移规律
左右平移： 括号内左加右减；上下平移： 括号外上加下减.
侵权必究