北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程习题

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北师大版 九上 第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程
测试卷 B卷
一． 选择题（共30分）
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．
3．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）

A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
【答案】D
【分析】
先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．

5.当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
【详解】
解：把代入原方程得：．
故选：．
6.一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将原方程整理为，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．
【详解】
解：，
移项，得，
分解因式，得，
则或，
解得：．
故选：C．

8.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．15 D．12或15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15.
故答案为：C.

9. 已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（　　）
A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16
【详解】解：∵4x2+4（m﹣2）x+（m﹣2）2＝[2x+（m﹣2）]2＝4x2+4（m﹣2）x+m，
∴（m﹣2）2＝m，
即m2﹣5m+4＝0，
∴m＝1或m＝4，
故选：B．

10.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．

二． 填空题（共24分）
11.x(x−2)=x−2的解为　 　
【答案】x1=2，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，
移项，得x(x-2)-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0或 x-1=0，
解得：x1=2，x2=1.
故答案为：x1=2，x2=1.

12.关于x的一元二次方程x2+(a+4)x+3a+3=0有一个大于−2的非正数根，那么实数a的取值范围是　 　．
【答案】−1≤a