数学九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系课时练习

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北师大版 九上 第二章 2.5一元二次方程的根与系数的关系
测试卷A卷
一． 选择题（共30分）、
1.已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】
先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】
解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
2．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】
∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
3．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
根据新定义，得，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可．
【详解】
∵，
∴，
∴变形为，
∴△＝
＝＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选C．


4.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
根据方程有两个实数根列判别式求出m的取值范围，再根据，列式求出m的取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故选：B．
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】
解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
6．已知，是方程2+2x-3=0的两个根，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根与系数关系定理，具体化后，进行等量变形，代入化简即可．
【详解】
∵，是方程2+2x-3=0的两个根，
∴＋= -1
∴= - -1，
且2+2-3=0，
∴ (+1)=，
代入要求的式子中,得:
-
=-
=-
=
=.
故选B.

7.已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=﹣ba=﹣2014，α•β=ca=1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α）•β（α+2016+β）
=αβ•（2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故选D．
8．若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（　　）
A．2007 B．2005 C．﹣2007 D．4010
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，α2+2α﹣2007=0，即α2+2α=2007，
则α2+3α+β=α2+2α+α+β
=2007﹣2
=2005，
故选：B．
9．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=5+m4①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=5+m216×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选：D．
10.已知函数 y=4x2−4x+m 的图像与x轴的交点坐标为 (x1，0) (x2，0) 且 (x1+x2)(4x12−5x1−x2)=8 ，则该函数的最小值是（　　）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1•x2= m4 ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1•（-m-1）=8，解得m=-9，
∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- 12 ）2-10，
∴该函数的最小值为-10．
故答案为：D．

二． 填空题（共24分）
11.若实数a，b是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，则2a+2b−ab+1=　 　.
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴2a+2b-ab+1=2（a+b）-ab+1=2×3-(-1）+1=8.
故答案为：8.

12.已知关于x的方程x2+mx−3=0的一个根为x1=1，则方程的另一个根x2=　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1⋅x2=−3，
∴x2=−31=−3．
故答案为：-3．
13.若m、n是方程x2−4x+3=0的两根，则mn的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2−4x+3=0的两根，
∴mn=3
故答案为：3．
14．若方程的一个根是3，那么另一个根是_______
【答案】2
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接计算即可
【详解】
解：∵，
∴
∵方程的一个根是3
∴
故答案为：2
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
【答案】9
【分析】
可表示为，由根与系数的关系即可求得结果．
【详解】
根据根与系数的关系得：，
∴=
故答案为：9．

16.若一元二次方程x2+5x−6=0的两个根是x1，x2，则x1x2的值是　 　．
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x−6=0的两个根是x1，x2，
∴x1x2=−6，
故答案为：-6．
三． 解答题（共46分）
17.（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根，求m的值和方程的另一个根．
【答案】解：∵x＝1是方程的根，
∴1+3﹣m＝0，
∴m＝4，
设另一个根为x2，则1+x2＝﹣3，
∴x2＝﹣4，
∴m的值是4，另一个根是x＝﹣4．

18.（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）设该方程的两个根为、，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴，，
∴，
∴m的值为1或2，
当时，方程两个根为、；
当时，方程两个根与不是整数；
∴m的值为1．

19.（10分）．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）若，求的值．
【答案】（1）k>3；（2）8
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根则判别式为正，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把表示为两根的和与两根的积的代数式，得到关于k的方程，解方程即可求得k．
【详解】
（1）由题意，得：
解不等式，得：k>3
即当k>3时，方程有两个不相等的实数根
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得：，
∵，
∴
解得：，

20.（10分）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别为 x1 ， x2 ，利用一元二次方程的求根公式可得： x1+x2=−ba ， x1x2=ca ，利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知 2x2−x−1=0 的两个根为 m ， n ，则 m+n=　 　， mn=　 　；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k−1)x−k+2=0 有两个实数根 x1 ， x2 ，若 (x1+x2+2)(x1+x2−2)+2x1x2=−2 ，求 k 的值.
【答案】（1）12；−12
（2）解： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−(k−1)x−k+2=0 有两个实数根 x1 ， x2 ，
∴ x1+x2=k−1 ， x1x2=2−k .
∵ (x1+x2+2)(x1+x2−2)+2x1x2=−2 ，即 (x1+x2)2−4+2x1x2=−2 ，
∴ (k−1)2−4+2(2−k)=−2 ，整理得： k2−4k+3=0 ，
∴ k=4±(−4)2−4×1×32 ，
∴ k1=3 ， k2=1 .
当 k=3 时，原方程为 x2−2x−1=0 ，
∵ Δ=(−2)2−4×1×(−1)=8 ，
∴ k=3 符合题意；
当 k=1 时，原方程为 x2+1=0 ，
∵ Δ=02−4×1×1=−4<0 ，
∴ k=1 不符合题意，舍去.
∴ k 的值为3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1） m+n= 12 ； mn= −12 .
故答案为：12，-12；

21.（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）-1
【分析】
（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得
且△
解得：k < 4
由二次项系数不为0得
，即；
∴；
（2）由题意的，
把y = 3 代入得
，
解得：；
把带入得
，
解得：，
∴该方程另一根；