初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程练习题

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北师大版数学 九上第二章 2.6一元二次方程的应用
一． 选择题（共30分）
1.商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（　　）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价定为 x 元时，每天赚取利润8000元，
由已知得： (x−30)[500−10(x−40)]=8000 ，
整理得： x2−120x+3500=0 ，
解得： x1=50 或 x2=70
∵尽量减少库存，
∴x=50 ，
故答案为：A．

2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质；一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝23或x＝﹣23（舍去），
∴AD＝23，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝23，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得m2+(23)2=(2m)2，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故答案为：B．
3.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（　　）
A．x2−60x−864=0 B．x(x+60)=864
C．x2−60x+864=0 D．x(x+30)=864
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得x2−60x+864=0：．
故答案为：C．
4.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝2450 B．x（x-1）＝2450
C．12 x（x+1）＝2450 D．12x（x-1）＝2450
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意得，x(x-1)＝2450．
故答案为：B．

5，甲肝流行，在一天内，一人能传染4人，若有三人患上甲肝，那么经过两天患上甲肝的人数为（　　）
A．50 B．75 C．25 D．70
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：第一天3×（1+4）=15人，
第二天3×（1+4）2=3×25=75人．
故答案为：B．

6．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则下列方程：
①；
②；
③．
其中正确的是（ ）

A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【详解】
设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，根据题意即可得出方程为或，故选C．
7．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
8．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】
设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，
即．
故答案为：．
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，根据题意可列出方程为（　　）
A．5000（1+2x）=7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【答案】C
【分析】
根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量 x(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可；
【详解】
设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000(1+x)2=7500，
故选：C．
10．小明看到关于四川大凉山留守儿童的相关报道后，想为这些孩子献一份爱心，六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800元零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1＋2x）＝800 B．200×2（1＋x）＝800
C．200（1＋x）2＝800 D．200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2＝800
【答案】D
【分析】
等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱=800，据此列出方程即可．
【详解】
解：设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2=800，
故选：D．
二． 填空题（共24分）
11.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　 　。
【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.

12.我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 P′C=10 尺，秋千踏板离地的距离 P′B 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为　 　尺.

【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.

13.某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长边为xm，可列方程　 　．
【答案】x2﹣5x＝15
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：x2﹣5x＝15，
故答案为：x2﹣5x＝15.
14.如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为　 　m2．

【答案】32
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16-2x）m，
∴矩形围栏的面积为x(16−2x)=−2x2+16x=−2(x−4)2+32
∵ 墙长9m
∴16-2x≤9 即 x≥72
∴当x=4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．

15.如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为________．

【答案】2
【分析】
过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG=，在Rt△EGC中，CE=，由EC-EF=2，可得-x=2，移项两边平方得,解得,可求CE=,从而求得CF=2．
【详解】
解：过E作EG⊥BC于G，连结BE，
设EF=x，
∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四边形EGCF为矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt△EBG中， EG=
在Rt△EGC中，CE=
∵EC-EF=2，
∴-x=2，
∴ =2+x，
两边平方得，
整理得，
解得，
∴CE=，

∴CF=
故答案为：2．


16．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点E在线段上（不与点A，B重合），过点E分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为1时，点E的坐标为_________．

【答案】或
【分析】
先根据一次函数的解析式求出点的坐标为，再设点的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】
解：对于一次函数，
当时，，解得，则，
由题意，设点的坐标为，则，
当矩形的面积为1时，
则，
解得或，均符合题意，
当时，，则，
当时，，则，
综上，点的坐标为或，
故答案为：或．
三．解答题（共46分）
17.（8分）某童装店每天卖童装20件，每件盈利40元，为减少库存量，准备在十一期间做活动，若每件童装降价4元，则可多售出8件，此服装店打算在活动期间盈利1200元，则每件童装应降价多少元？
【答案】解：设每件降价x元． 根据题意，得(40-x)(20+2x)=120，整理，得x2−30x+200=0，
解这个方程，得x1=10，x2=20
因为要减少库存，所以x=10舍去.
答：每件降价20元.

18.（8分）图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？

【答案】解：设道路的宽为x米，由题意得
(32−2x)(20−x)=570
整理得x2−36x+35=0，
即(x−35)(x−1)=0，
解得x=1或x=35（舍去）
所以道路的宽应为1米．

19.（10分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．

(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【分析】
（1）设小路的宽度是xm，根据题意得：21+2x12+2x=400，整理得：4x2+66x−148=0，解得：x1=2，x2=−18.5（舍去）．答：小路的宽度是2m；
（2）设每次降价的百分率为y，依题意得：501−y2=40.5，解得：y1=0.1，y2=1.9（舍去），答：每次降价的百分率为10%．

20.（10分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．

【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=12n（n+1），
根据题意，得12n（n+1）=50，
解得：n=−1±4012不是整数，不合题意，
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．

21.（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【详解】
解：(1)由题意可得：整理得；
(2)由题意，得：



∵，
∴有最大值，
即当时，，
∴应降价(元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：

解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．