新思路高考数学一轮复习读者档
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第2节 内切外接
考 点
出现频率
2024年预测
外接球问题
III
球与简单几何体的切接问题或与之有关的最大值，为题型为选择题或填空题，难度为难题
内切球问题
II
基础知识诊断 回顾教材 务实基础
【知识梳理】
1．外接球问题
（1）能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球
设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．
图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体
图1：有重垂线，三视图都是三个直角三角形，侧面（侧棱）两两垂直；
图2：有重垂线，所有面均为直角三角形（线面垂直+线线垂直）；
图3：无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形；
图4：若是长方体则为对角线相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）；
图4中（长方体），,，．
2．内切球
法一：截面法
题设：正三棱锥求内切球半径（如图1所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，、分别为两个三角形的外心．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出
特殊：正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为．
外接球半径：，内切球半径：
正三棱柱的外接圆与内切圆：外接圆与内切圆圆心在同一条高上，但不重合．
图1 图2 图3
题设：正四棱锥求内切球半径（如图2所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，，，三点共线．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出．
法二：等体积法
题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图3所示）
第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
第二步、设内切球半径为，建立等式：．
第三步、解出（是椎体的体积，是椎体的表面积）．
棱长为的正四面体外接球半径：；棱长为的正四面体外接球半径：；
正四面体外接半径：内切球半径．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法
考点一 外接球
角度1．能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球
【例1-1】（2020•天津卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】在球面上有四个点、、、．如果、、两两互相垂直，且，则这个球的表面积是 ．
【例1-3】在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】如图，已知球的面上有四点、、、，，则球的体积等于 ．
【例1-5】四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
此类题做题时先画图，在图中标注题干条件，综合条件整理看看是否符合上述四类还原型的外接球类型：（有重垂线考虑是墙角或者鳖臑；无重垂线考虑是挖墙脚体或者是对棱相等的四面体；有一些数据给的比较多的，多利用勾股或者解三角形证明直角，从而找到重垂线），确定模型后，可在长方体内重新作图，找到原始模型，确定长方体长宽高，从而利用公式求解球半径．
【训练1】 （五华模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（渭滨模拟）已知三棱锥，，，，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【训练3】（广西二模）已知四面体中，，，且，，则该四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【训练4】（甘肃模拟）《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”（阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓）．取一个长方体，按如图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．其中以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．那么如图所示，，，的阳马外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【训练5】（2019•全国Ⅰ卷）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【训练6】（宝鸡模拟）沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体外接球表面积为 ．
角度2．常规模型一
（底面外心，球心，上顶点在同一直线上）
对于常规型一的外接球问题我们可以采用如下解题步骤（我们以棱长为的正四面体为例，如图1）：
Step1：先找到立体体底面外接圆的圆心，如图2：
（本题底面是等边三角形，外心在中线的处，即外接圆半径，或者直接利用正弦定理，可以求出）
Step2：将底面外接圆的圆心垂直底面拉高到一定高度（高度为）形成球心，如图3；
（在这个步骤中，底面外接圆圆心，垂直拉高过程中始终保持到底面三顶点的距离相等，即，若拉到一定高度是的，此时的即为外接球球心，这就是此步骤的原理）
Step3：连接球心和任意下顶点，形成，解求球半径，即
解之得，如图4．（此时
．）
图1 图2 图3 图4 图5
【例2-1】（赤峰模拟）在四边形中，，，为等边三角形，将沿边折起，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2021•天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2021•全国甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【训练7】（2020•全国I卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练8】（2020•全国Ⅱ卷）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【训练9】（2022•新高考I卷）已知正四棱锥的侧棱长为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
A. B． C． D．
角度3．常规模型二
（底面外心，球心，上顶点在不在同一直线上）对于常规型二的外接球问题整体步骤和常规型一一致，
在step3有细节区别，具体解题步骤如下（我们以墙角体模型（侧面（棱）两两垂直）为例，，
如图1：
Step1：先找到立体体底面外接圆的圆心，如图2：
（是直角三角形，外心即为斜边中点，外接圆半径）
Step2：将底面外接圆的圆心垂直底面拉高到一定高度（高度为）形成球心，如图2；
（此题中很明显拉到的高度所在直线是与平行的）
Step3：连接球心和任意下顶点，形成，解求球半径①，即
（在step2中容易发现底面外心，球心，上顶点在不在同一直线上，导致高度不好求，光一个解不出，需要借助其他三角形，故有了Step4），如图3．
Step4：连接球心和上顶点，过球心向（即过上顶点的重垂线）作垂线交于点，形成第二个，解：，即②，如图4；
（如图4中，四边形为矩形，即，当然不是每个题中的长都恰好是底面外接圆半径，但均可利用矩形求解）联立①②得 ，解之得．
图1 图2 图3 图4 图5
【解题总结】
1．由常规型二Step4可知，当几何体侧棱垂直于底面时，底面外接圆的圆心垂直底面拉高到一定高度即为整个几何体高的一半，即（秒杀技巧）；
2．当底面外接圆半径不好求时，可利用正弦定理求解．
3．有关外接球更细致的分类在秒2系列和接下来的二轮复习中一一剖析，敬请期待．
【例3-1】（咸阳模拟）在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【例3-2】（呼和浩特一模）四面体的四个顶点都在球上，且
，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练10】（泰安一模）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练11】（淮北一模）已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【训练12】（晋中二模）已知长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练13】（道里一模）已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
角度4．含二面角的外接球终极公式
双距离单交线公式：
如下图，若空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为公共弦中点，则，，，，，由于四点共圆，且，根据余弦定理，．
注意：1．此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式．
2．当二面角是直二面角时可直接用双半径单交线公式秒杀：
双半径单交线公式：
双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为和，两半平面交线长度为，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是时，此公式将不再适用．
【例4-1】（全国四模）已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，为边长为的正三角形，是以为斜边的直角三角形，且，二面角为，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为 ．
【训练14】 （成都模拟）在三棱锥中，，，当二面角的余弦值为时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练15】（广东一模）在四面体中，，二面角为，则四面体的外接球的表面积为 ．
【训练16】（河南模拟）已知四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是矩形，，，，二面角大小为，当面积最大时，球的表面积为 ．
考点二 内切球
【例1】（2020•全国Ⅲ卷）已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【例2】（浙江月考）正三棱锥，底面边长为，侧棱长为，则其外接球和内切球的半径是多少?
【例3】（2016•全国Ⅲ卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，
，，则的最大值是
A． B． C． D．
【训练1】若某正四面体内切球的体积为，则正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】已知圆锥的底面周长，母线长为3，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【训练3】（福州三模）三棱锥中，顶点在底面的投影为的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【训练4】（广州一模）已知三棱锥的底面是边长为6的等边三角形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为 ，球的表面积为 ．
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