吉林省白山市2023届高三二模数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市2023届高三二模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省白山市2023届高三二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）．
A． B． C． D．
2．的实部为（    ）．
A．37 B．53 C．31 D．45
3．已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．4
4．函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
5．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
6．已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，则（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．
7．若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(    )
A． B． C． D．2
8．已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（    ）．
A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件
B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C．甲得到A卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
10．已知正四面体，E为的中点，则（    ）．
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值为
11．设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（    ）．
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1011个实数解
12．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（    ）．（附：若，则，，）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍

三、填空题
13．已知向量，，，若，则 ．
14．若正实数、满足，则的最小值为 .
15．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则 ．

四、双空题
16．已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 ，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则 ．

五、解答题
17．已知等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若为正项等比数列，，求数列的前项和.
18．某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：

6
6.2
6.4
6.6
6.8

50
45
45
40
35
(1)根据以上数据，求关于的经验回归方程；
(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值
参考公式：回归方程，其中，.
参考数据：，.
19．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．

(1)证明：BC⊥C1E．
(2)设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．
20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
21．法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
22．已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．

参考答案：
1．A
【分析】化简集合，根据交集的定义可得答案.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
2．B
【分析】根据复数的乘法运算以及复数的概念可得答案.
【详解】因为，所以其实部为53．
故选：B
3．B
【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.
【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，
故长轴长为2=4．
故选：B.
4．A
【分析】根据题意，分与讨论，即可得到结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，由，得．综上所述，．
故选：A
5．A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项计算判断作答.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，
对于A，，显然，则平面，
而平面，所以平面，A正确；
对于B，，设平面的法向量，
则，令，得，，则直线与平面不平行，B错误；
，而，即直线不垂直于，平面，因此直线不垂直于平面，C错误；
对于D，由选项C知，直线不垂直于，平面，直线不垂直于平面，D错误.
故选：A
6．B
【分析】利用降次公式化简，求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为2求出，根据最小正周期求出，根据求出，得的解析式，最后根据解析式可求出结果.
【详解】因为，
所以，，所以，所以．
因为，所以，所以，
又，所以，所以．
因为，所以，所以，
故．
故选：B.
7．B
【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解
【详解】如图，

曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线即与半圆相切，所以，解得．
因为所以，
又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：B
8．C
【分析】设圆锥的底面半径为，体积求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积，
令，则，所以.
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为.
因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，
所以圆锥内切球的半径.
故选：C
9．BCD
【分析】由互斥、对立事件的概念可判断选项A、B；由排列组合和古典概型，可求甲得到A卡片甲、乙2人中有人得到A卡片的概率.
【详解】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，
所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．
甲得到A卡片的概率为，C正确．
乙2人中有人得到A卡片的概率为，D正确．
故选：BCD
10．AC
【分析】由平面即可判断A，由异面直线夹角的定义即可判断B，由余弦定理即可判断CD.
【详解】对A，连接，
  
因为为正四面体，则，因为E为的中点，
则，，，且平面，
所以平面，平面，所以，故A正确；
对B，取的中点F，连接，，设正四面体的棱长为2，
则，，又因为E为的中点，则，
所以为直线与直线所成的角，，故B错误；
对C，根据正四面体的特点可知顶点在底面上的投影落在上，
所以为直线与平面所成的角，
所以，故C正确；
对D，根据正四面体的特点可知点在平面上的投影落在上，
所以为直线与平面所成的角，所以，故D错误．
故选：AC
11．BD
【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数．
由，得，
所以以4为周期，故A错误．
因为是奇函数，且定义域为R，所以．
因为，所以，故B正确．
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C错误．
  
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为2，且当时，与有2个交点，
所以当时，与有1011个交点，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12．BD
【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.

【详解】因为，所以，．
因为，所以，．
因为，故A错误．
因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．
因为，，
所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．
因为，
，所以D正确．
故选：BD.

13．/0.4
【分析】由向量线性运算及垂直的坐标表示求参数值即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，得．
故答案为：
14．
【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．
【详解】，则，
，，；
，则，
，，；
则
故答案为：
16． 3
【分析】设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，当M，P，D三点共线时有最小值，结合图像列出方程即可求出p的值；
由①得抛物线方程和焦点坐标，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，联立抛物线方程，利用求出斜率，得到切线方程，
再根据圆心到切线方程的距离等于半径，列出等式求得a的值，得到A点坐标，同理，点A关于x轴的对称点也符合题意，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】解：
由题意，抛物线的准线方程为，
设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，
则，当M，P，D三点共线时有最小值，
结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，

可得抛物线，焦点，在抛物线上取一点，
设抛物线在点A的切线l的方程为，
联立抛物线方程，，解得
切线l的方程为，整理得，
又因为切线与圆相切，设切点为B，
由圆M的方程可知圆心，，
则，解得（舍去）或，所以，
同理，点A关于x轴的对称点， 也符合题意
则
故答案为：3；.
17．(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，即可求出通项作答.
（2）求出等比数列的通项公式，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）在等差数列中，，解得，而，
则等差数列的公差，
所以的通项公式是.
（2）设正项等比数列的公比为，，解得，而，
则有，解得，
，由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以数列的前项和.
18．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）先求出，结合附录的数据和公式即可计算出回归直线方程；
（2）由题可知，近似服从二项分布，根据步骤写出每个取值对应的概率，然后根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】（1）根据表格数据可得，，，根据附注公式：，于是，故经验回归方程为：
（2）依题意，可能的取值为，由于顾客人数很多，可近似认为服从二项分布，即，，其中.故，，，，，，，，.
分布列为：

0
1
2
3
4
5
6
7
8










根据二项分布的期望公式，
19．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；
（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值．
【详解】（1）以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，,
所以=，=，
所以·=2×2+0+2×=0，
所以⊥，故BC⊥C1E；
（2）因为=，=，
所以=+=+λ=，
设平面BB1M的法向量为，
则，令x=1+λ，则，
因为=，
所以C1到平面BB1M的距离，
解得．
20．(1)
(2)2-3

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；
（2）根据AB=AC，A=，得到△ABC为等边三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为csin =sin C，且a=1，所以csin =asin C，
所以sin Csin =sin Asin C.
因为C∈(0,π)，sin C≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin A，即cos =sin A，
所以cos =2sin cos .
因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.
（2）
因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.
如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，
由余弦定理得cos B=，
所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，
所以CD=2-BE+，
因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，
当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，
所以CD的最小值为2-3.
21．(1)-=1
(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.
【详解】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故双曲线C的标准方程为-=1，
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0
当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，
当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，
联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.
【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
22．(1)为极小值，无极大值.
(2)

【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；
(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.
【详解】（1），令，得，
在为负，单调递减，
在为正，单调递增，
故为极小值，无极大值.
（2）由题知 ,令，

令，则 ，
设 则 ，
，为正，在单调递增，
，为负，在单调递减，
故为极大值，
若，即，此时，则在单调递减，
又，所以时，在单调递增，
时，，在单调递减，
故为极大值，所以，则当时，符合条件；
，即 此时，
存在，在上；，则在单调递增，
又，则在区间上
所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.
综上所述的最小值为.