数学八年级暑期专项04 应用题重难点梳理（一元二次方程、一次函数、二次函数）（原卷版+解析版）

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专项④——应用题梳理
一、基础
① 增长率问题
1. （2022 初二下期末 屏东）青山村种水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为．
【解析】
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意易得7200(1＋x)2＝8450，然后求解即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有：
7200(1＋x)2＝8450．
解得x＝或x＝（舍）．
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2. （2022 初二下期末 台江区考）两年前，生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200元，生产1吨乙种药品的成本是3375元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
【答案】乙药品成本的年平均下降率较大．
【解析】
【分析】因为生产1吨甲种药品的成本由5000元降至3200元，生产1吨乙种药品的成本由6000元降至3375元，所以可设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可．
【详解】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，依题意得：

解得：，（舍去） ，
设乙种药品成本的年平均下降率为，依题意得：

解得:，（舍去），
∵0.2＜0.25．
∴乙药品成本的年平均下降率较大．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
② 篱笆问题
3．（2022 初二下期末 立志）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？

【分析】设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论；
【解答】解：设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
③ 获利问题——每升多少，就降多少题型
4. （2022 初二下期末 福州质检）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．
（1）若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价．
（2）若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，求这个月每件玩偶的销售价．
【答案】（1）这个月每件玩偶的销售价80元
（2）这个月每件玩偶的销售价80元
【解析】
【分析】（1）设这个月每件玩偶的销售价为x元，利用每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件，该超市某月销售这种造型玩偶200件，列方程300-(x-70)×10=200，然后解方程即可；
（2）设这个月每件玩偶的销售价y元，根据该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，利用销售每件利润×销售件数=4000，列方程（y-60）[300-10（y-70）]=4000，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：设这个月每件玩偶的销售价为x元，
根据题意300-(x-70)×10=200，
解得x=80元，
答：这个月每件玩偶的销售价80元；
【小问2详解】
解：设这个月每件玩偶的销售价y元，
根据题意，得：（y-60）[300-10（y-70）]=4000，
整理得：y=80，
答：这个月每件玩偶的销售价80元．
【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，列一元二次方程解营销问题应用题，掌握列一元一次方程解应用题与列一元二次方程解营销问题应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
二、中档提升——结合函数最值分析
（一）一次函数
① 基础
5. （2022 初二下期末 晋安九校联考 倒四）某水果生产基地，某天安排10名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘150千克枇杷或100千克草莓，当天的枇杷售价每千克12元，草莓售价每千克20元. 设安排x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=20000-200x，（2）销售总额的最大值为19200元．
【解析】
【分析】（1）x名工人采摘枇杷，那么10名工人中剩下的人采摘草莓，根据每人采摘枇杷和草莓的数量及其枇杷和草莓分别的售价即可列出销售总额y与x的函数关系，
（2）根据当天采摘枇杷数量不少于草莓的数量列出关于x的一元一次不等式，解出x的最小值代入y与x之间的函数关系式即可．
【详解】（1）x名工人采摘枇杷，那么（10-x）名工人采摘草莓，
采摘的枇杷的数量为150x千克，采摘的草莓的数量为100（10-x）千克，
根据题意，得：y=12×150x+20×100（10-x），
整理后，得：y=20000-200x，
y与x之间的函数关系式为y=20000-200x，
（2）根据题意得：150x≥100（10-x），
解得：x≥4，
∵x为正整数，
∴x的最小值为4，
∵x越小，y越大，
∴把x=4代入y=20000-200x，
解得：y=19200，
即：销售总额的最大值为19200元，
答：若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，销售总额的最大值为19200元．
【点睛】本题综合考察了一次函数、一元一次不等式组的相关知识.
6. （2022 初二下期末 仓山区考 倒四）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机1台，乙型电视机2台，需要花费4700元．购进甲型电视机2台，乙型电视机1台，需要花费4900元．
（1）求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？
（2）该商店购进甲、乙两种型号的电视机共60台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍．甲型电视机的售价为2300元/台，乙型电视机的售价为2000元/台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【答案】（1）甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台
（2）甲种型号的电视机台时，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可；
（2）设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为，根据购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍得出的取值范围，然后根据总利润＝甲单台的利润×甲的数量＋乙单台的利润×乙的数量，然后根据一次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台，
则根据题意得：，
解得：，
答：甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台；
【小问2详解】
设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为，
根据题意可得：，
解得：，
总利润，
∵，
∴当时，最大利润元，
答：甲种型号的电视机台时，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应的代数式是解本题的关键．
② 稍提升——题意理解
7. （2022 初二下期末 台江区考 倒三）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：

运力（箱辆）
租金（元辆）
大货车
45
400
小货车
35
320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】（1）；（2）最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
【解析】
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
【详解】解：（1）由题意可得，
，
即与的函数关系式为；
（2）由题意可得，
，
解得，，
，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
8. （2022 初二下期末 厦门双十 倒三）某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，要求在8天之内（含8天）生产A型和B型口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，若生产A型口罩每天能生产0.6万只，生产B型口罩每天能生产0.8万只，工厂同一天只能生产同一种型号的口罩；已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．
（1）若要在最短时间内完成任务，应该安排生产A型口罩______万只和B型口罩______万只，完成任务最短时间是______天．
（2）在完成任务的前提下，如何安排A型口罩和B型口罩的生产天数，使获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【答案】（1）1.8，3.2，7
（2）安排7天生成A型口罩，1天生产B型口罩，产生的利润最大，最大利润为2.34万元．
【解析】
【分析】（1）设生成A型口罩x万只，B型口罩y万只，加工天数为t，根据题意列出不等式组，解得，，且、为整数，再根据一次函数的性质即可求解；
（2）设总利润为W，根据题意有：，可知t随x的增大而增大，再结合，，且、为整数，即可求解．
【小问1详解】
设生成A型口罩x万只，B型口罩y万只，加工天数为t，
根据题意有：，且、为整数，
解得：，，且、为整数，
即：，
可知t随x的增大而增大，
∴当x=1.8时，t有最小值，且最小值为：，
此时y=5-1.8=3.2，
故要在最短时间内完成任务，应该安排生产A型口罩1.8万只和B型口罩3.2万只，完成任务最短时间是7天．
【小问2详解】
设总利润为W，根据题意有：，
即根据有，
可知t随x的增大而增大，
∵，，且、为整数，
∴当x=4.2时，W有最大值，
且最大值为：（万元），
此时y=5-4.2=0.8，
∴（天），，
即安排7天生成A型口罩，1天生产B型口罩，产生的利润最大，最大利润为2.34万元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，根据题意列出相关的代数式和不等式是解答本题的关键．
③ 稍提升——分段函数
9. （2022 初二下期末 外国语 倒四）公园计划购进A，B两种花卉500株，其中A花卉每株单价为6元，购买B种花卉所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：株）之间函数关系如图：

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若B种花卉不超过300株，但不少于A种花卉的数量的四分之一，请你设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【答案】（1）
（2）购买B种花卉300株时，总费用最低为2020（元）.
【解析】
【分析】（1）根据题意设y与x的函数关系式为：，再代入图中数据求解即可；
（2）设购买B种花卉m株，A种花卉（500-m）株；由题意得，，求出m的取值范围，再分不同情况进行讨论并求解即可；
【小问1详解】
解；设y与x的函数关系式为：
将（200，600）代入得，，
解得：，
∴；
将（200，600）、（400，1040）代入得，
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
设购买B种花卉m株，A种花卉（500-m）株；
由题意得，，
解得：，
当时，两种花卉所需费用为：
当时，w最小=2400（元）；
当时，两种花卉所需费用为：
当时，w最小=2020（元）；
综上，购买B种花卉300株时，总费用最低2020（元）.
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握相关知识，结合图像数据，正确求出函数关系式是解题的关键．
（二）二次函数，区间最值
① 篱笆问题
10. （2022 初二下期末 一中 倒四）如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？

【答案】（1）矩形的边AB的长为12米；
（2）当花圃的面积最大时，边AB的长为10米，最大面积为160平方米．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边AB的长为x米，则有，然后根据题意可列出方程进行求解即可；
（2）设花园的面积为y平方米，由（1）可列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边AB的长为x米，则有，由题意得：
，
解得：，
∵墙长为16米，
∴，
解得：，
∴；
即矩形的边AB的长为12米；
【小问2详解】
解：设花园的面积为y平方米，由（1）可得：
，
∵-2＜0，开口向下，对称轴为直线x=9，且，
∴当x=10时，y有最大值，即为，
答：当花圃的面积最大时，边AB的长为10米，最大面积为160平方米．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数与一元二次方程的应用是解题的关键．
② 获利问题
11. （2022 初二下期末 立志 倒四）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．
（1）当每包售价为13元时，求日均利润为多少元？
（2）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
【分析】（1）把x＝13代入y＝﹣5x+80求出y＝15，再用一包的利润×15即可；
（2）设日均毛利润为w，根据日均利润＝每包利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，
∴当x＝13时，y＝﹣5×13+80＝15，
∴日均利润为：（13﹣6）×15＝105（元），
∴当每包售价为13元时，日均利润为105元；
（2）设药店的日均利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣6）y＝（x﹣6）（﹣5x+80）＝﹣5x2+110x﹣480＝﹣5（x﹣11）2+125，
∵﹣5＜0，10≤x≤16，
∴当x＝11时，w有最大值，最大值为125，
∴每包售价定为11元时，药店的日均利润最大，最大为125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
12. （2022 初二下期末 十六中 倒三）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
（1）求y关于x函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
【答案】（1）y=-2x+200
（2）当售价是70元时，最大利润是1800元
【解析】
【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，再运用待定系数法解答即可；
（2）先确定进价，然后再利用销售利润＝销售量×（售价﹣进价）确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可．
【小问1详解】
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
【小问2详解】
解：进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，解题的关键在于对待定系数法和二次函数求最值的应用．