人教版八年级上册数学《第十三章　轴对称》单元检测（六）（含答案）

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八年级上册数学《第十三章　轴对称》单元检测
时间：120分钟 满分：120分
班级__________姓名__________得分__________
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．140°
3．（3分）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
4．（3分）如图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）点A（2，m）向上平移2个单位后与点B（n，﹣1）关于y轴对称，则mn＝（　　）
A．1 B．12 C．−18 D．19
6．（3分）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（　　）
A．β＝90°−32α B．β＝180°−32α C．β=32α−90° D．β＝120°−32α
7．（3分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）

A．6 B．4.5 C．3 D．2
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（　　）

A．25° B．40° C．50° D．65°
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（x2+2x，1）与点B（﹣3，1）关于y轴对称，则x的值为（　　）
A．1 B．3或1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
10．（3分）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（　　）

A．4 B．2+3 C．32+23 D．2+23
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第　 　象限．
12．（3分）已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为 　 　．
13．（3分）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 　 　．
14．（3分）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 　 　．

15．（3分）如图，放置的一副三角板，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，则CD＝　 　．

三、解答题（共10小题，满分75分）
16．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

17．（6分）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．

18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于D点，连接AD．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若CD＝3，求BD的长．

19．（7分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF．
（1）如图1，若AF⊥CB，AB＝10，BF＝8，求线段AC的长；
（2）如图2，E为线段AB上一点，连接CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，D为AF的中点，连接CD，求证：∠ACD＝∠BCE．


20．（7分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA+PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB＝30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．
21．（8分）如图所示：
（1）A，B两点关于 　 　轴对称；
（2）A，D两点横坐标相等，线段AD　 　y轴，线段AD　 　x轴；若点P是直线AD上任意一点，则点P的横坐标为 　 　；
（3）线段AB与CD的位置关系是 　 　；若点Q是直线AB上任意一点，则点Q的纵坐标为 　 　．

22．（8分）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．

（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°，且面积为152；
（2）在图②中画△ABD，使△ABD是轴对称图形；
（3）在图③中画△ABE，使AB边上的高将△ABE分成面积比为1：2的两部分．
23．（8分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持∠ADE＝∠AED．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）如图3，当点D在BC边的延长线上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．


24．（9分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 　 　；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 　 　；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 　 　．


25．（9分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　 　．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．

参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．C； 2．B； 3．C； 4．A； 5．D； 6．D； 7．B； 8．A； 9．C； 10．D；
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．四
12．（43，0）
13．60°或30°或15°
14．10
15．3−3
三、解答题（共10小题，满分75分）
16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝4×5−12×1×4−12×1×4−12×3×5＝8.5．

17．解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
18．（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE；
（2）解：∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
19．（1）解：∵AF⊥BC，AB＝BC，AB＝10，BF＝8，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，CF＝2，
在Rt△ABF中，AF=AB2−BF2=6，
在Rt△ACF中，AC=AF2+CF2=210，
即线段AC的长为210；
（2）证明：∵∠ACE＝∠B，
∴∠ACE+∠BCE＝∠B+∠BCE，
∴∠ACB＝∠AEC，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠AEC＝∠BAC，
∴AC＝EC，
延长BC，使CG＝CF，连接AG，

∵CG＝CF，且点D为AF的中点，
∴CD∥AG，
∴∠ACD＝∠GAC，
∵∠CEA＝∠ACB，
∴∠ACG＝∠BEC，
∵AB＝BC，AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
∴BE＝CF＝CG，
又∵AC＝CE，
∴△ACG≌△CEB（SAS），
∴∠GAC＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
解法二：延长CD，使DC＝DM，连接FM，

∵点D为AF的中点，
∴AD＝DF，
又∵DC＝DM，∠ADC＝∠FDM，
∴△ACD≌△FMD（SAS），
∴∠ACD＝∠CMF，AC＝FM，
∵∠CEA＝∠ACB，
∴∠CFM＝∠BEC，
∵AB＝BC，AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
∴BE＝CF，
又∵AC＝FM＝CE，
∴△CMF≌△BCE（SAS），
∴∠CMF＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
20．解：（1）作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1E，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；

（2）作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，
分别交OA、OB于M、N，如图：

根据“将军饮马问题”得到△PMN的周长的最小值为FG，
由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，
OP＝OF，OP＝OG，
∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝5，
∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
∴FG＝5，
∴△PMN的周长的最小值为5．
21．解：（1）A，B两点关于y轴对称．
故答案为：y；
（2）A，D两点横坐标相等，线段AD∥y轴，线段AD⊥x轴；若点P是直线AD上任意一点，则点P的横坐标为﹣2．
故答案为：∥，⊥，﹣2；
（3）线段AB与CD的位置关系是AB∥CD；若点Q是直线AB上任意一点，则点Q的纵坐标为3．
故答案为：AB∥CD，3．
22．解：（1）如图①，△ABC即为所求．
（2）如图②，△ABD即为所求（答案不唯一）．
（3）如图③，△ABE即为所求（答案不唯一）．

23．解：（1）在△ABD中，∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝180°﹣110°＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣80°＝40°，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EDC＝70°﹣30°＝40°；
（2）∵∠ACB为△DCE的外角，
∴∠ACB＝∠AED+∠CDE，
∵∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝40°，
∵∠ABC为△ABD的外角，
∴∠ABC＝∠ADC+∠BAD，
∴∠BAD＝30°；
（3）∠CDE和∠BAD的数量关系是∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
当点D在BC的延长线上时，
设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β，则有∠ADC＝y﹣α，
根据题意得：x−α+y+β=180°①y+x+α=180°②，
②﹣①得：2α﹣β＝0，即2α＝β，
故∠BAD＝2∠CDE．
24．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．

25．解：（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B=180°−∠A2=50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，
故答案为：60°．
（3）分两种情况：设∠A＝x°，
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（180°−x2）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当180°−x2≠180﹣2x且180﹣2x≠x且180°−x2≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．