新教材2023高中数学第六章平面向量及其应用数学探究用向量法研究三角形的性质分层演练新人教A版必修第二册

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数学探究 用向量法研究三角形的性质
A级　基础巩固
1.若O为△ABC内一点,||=||=||,则O 是△ABC 的 (　　)
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析:由向量模的定义知O到△ABC的三顶点的距离相等.故O 是△ABC 的外心,故选B.
答案:B
2.已知M是△ABC所在平面内的任意一点,且++
=3,则N是△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
解析:因为++=3,
所以(-)+(-)+(-)=0,
即++=0.所以N是△ABC的重心.
答案:C
3.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析:由·=·,得·-·=0,·(-)=0,即·=0,
则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.
答案:D
4.如图所示,在△ABC中,点O是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则·=　　　　. 

解析:设M是边BC的中点,连接OM(图略).由于点O是△ABC的外心,则OM⊥BC.所以·=(+)·=·=(+)·
(-)=(-)=-.
答案:-
B级　能力提升
5.O为平面上一定点,A,B,C是平面上的不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
解析:如图所示,设D为BC的中点,由向量的加法法则可得+=2.依题意知=2λ.因为λ∈[0,+∞),所以P,A,D三点共线.又AD为△ABC的中线,故点P的轨迹一定通过△ABC的重心,故选C.

答案:C
6.若非零向量与满足(+)·=0,且·=, 则
△ABC为 (　　)
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析:因为非零向量与满足(+)·=0,即A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC.
因为cos A=·=,所以A=,所以△ABC为等边三角形.
答案:D
C级　挑战创新
7.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析:因为是向量的单位向量.设与方向上的单位向量分别为e1和e2,且-=,则原式可化为=λ(e1+e2),由菱形的基本性质知AP平分∠BAC,那么在△ABC 中,AP平分∠BAC,则知选B.
答案:B