新教材2023高中数学第七章复数章末复习课新人教A版必修第二册 试卷

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第七章 复数



要点训练一　复数的概念
1.代数形式为z=a+bi(a,b∈R),其中实部为a,虚部为b.
2.共轭复数为=a-bi(a,b∈R).
3.复数的分类.
a+bi
①若z=a+bi(a,b∈R)是实数,则z与的关系为z=.
②若z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则z与的关系为z+=0.
4.复数相等的充要条件.
a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为 (　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
解析:因为z=1+i,所以=1-i,所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A.
答案:A
2.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为 (　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:a-=a-=a-=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.
答案:D
3.复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为什么实数时,(1)z∈R?(2)z为虚数?
解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,
所以
解得x=4,所以当x=4时,z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,
所以解得x>,且x≠4.
所以当x>,且x≠4时,z为虚数.
要点训练二　复数的代数运算
1.复数的模.
复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=,且z=|z|2=a2+b2.
2.复数的四则运算.
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),则
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:==+i(z2≠0).
　　　　　　　　　　　　　　　
1.在复平面内,设z=1+i(i是虚数单位),则复数+z2对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:+z2=+(1+i)2=+2i=(1-i)+2i=1+i,所以复数+z2对应的点为(1,1),位于第一象限.
答案:A
2.已知z1,z2为复数,(3+i)z1为实数,z2=,且|z2|=5,求z2.
解:由已知,得z1=z2(2+i),
所以(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈R.
因为|z2|=5,所以|z2(5+5i)|=50,
所以z2(5+5i)=±50,
所以z2=±=±=±(5-5i).
3.已知z是复数,z-3i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z;
(2)求的模.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),因为z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,所以z=a+3i.因为==为纯虚数,所以2a+2=0,所以a=-1,所以z=-1+3i.
(2)====-2+i,
所以||=|-2+i|==.
要点训练三　与共轭复数有关问题的求解方法
1.若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以先写出,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式,再根据共轭复数的定义求.
2.共轭复数应用的另一种常见题型:已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z.解此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入所给方程,利用复数相等的充要条件,转化为求解方程(组).
1.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R,且z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.
解:z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,
z2====+i.因为z1和z2互为共轭复数,
所以解得
2.已知z∈C,虚部大于0,且|z|2+(z+)·i=5+2i.
(1)求z;
(2)若m∈R,ω=z·i+m,求证:|ω|≥1.
(1)解:设z=a+bi,a,b∈R,且b>0,所以=a-bi.
由已知,得a2+b2+2ai=5+2i,
所以解得所以z=1+2i.
(2)证明:由(1),得ω=(1+2i)·i+m=(m-2)+i,
则|ω|=≥1,
当且仅当m=2时,等号成立,所以|ω|≥1.
要点训练四　数形结合思想
1.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),在复平面内都有唯一的一个点Z(a,b)和它对应,也与从原点出发的向量一一对应.
2.复数加法的几何意义.
若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
3.复数减法的几何意义.
若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1-z2是连接向量,的终点,并指向Z1的向量所对应的复数.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示,若i为虚数单位,复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是 (　　)

A.E B.F C.G D.H
解析:因为点Z(3,1)对应的复数为z,所以z=3+i,所以====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),即点H.
答案:D
2.已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面内所对应的点分别为A,B,C.若=2+,则a=　　　　,b=　　　　. 
解析:因为=2+,所以1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(a+4)+(b+6)i,即
所以
答案:-3　-10