人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积达标测试

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8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
A级　基础巩固
1.若一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为 (　　)
A.144π cm3 B.288π cm3
C.576π cm3 D.864π cm3
解析:飞行昆虫活动的范围是以墙角为球心,半径为12 cm 的球在房间内的部分,即整个球的,所以飞虫活动范围的体积为××π×123=288π(cm3).
答案:B
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 (　　)
A.π B.2π C.4π D.8π
解析:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.
答案:B
3.若表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的体积为(　　)
A.Q B.Q C.Q D.2Q
解析:由4πR2=64π,得R=4,所以V=QR=Q.
答案:C
4.如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　. 

解析:设球的半径为r, 则==.
答案:
5.已知圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积.
解:如图所示,设圆台的上底面周长为c cm,

由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,
所以SA=20 cm.
同理可得SB=40 cm. 所以AB=SB-SA=20 cm.
所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=
1 100π(cm2).
B级　能力提升
6.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为 (　　)
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
解析:设圆锥中水的底面半径为r cm,由题意知πr2×r=π×22×6,得r=2,所以水面的高度是×2=6(cm).
答案:B
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　. 
解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O.
因为在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,所以AO'=.
因为PO'=4,所以在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
所以R2=()2+(4-R)2,解得R=,
所以该球的表面积为4πR2=4π×（）2=.

答案:
8.如图所示,一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,其中有一个高为x cm的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的侧面积.
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大是多少?
解:(1)根据题意画出轴截面图,如图所示,

设圆柱的半径为r,则根据三角形相似可得,
=,则r=2-,则
S圆柱侧=2πrx=2π（2-）x=4πx-x2, x∈(0,6).
(2)由(1)知,当x=-=3时,这个二次函数有最大值6π,
所以当圆柱的高为3 cm时,它的侧面积最大为6π cm2.
9.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.
解:如图所示,连接BE,BE1.

可知BE=2DE,所以BE=.
在Rt△BEE1中,BE1==2,
所以2R=2,则R=,
所以球的体积V球=πR3=4π,
球的表面积S球=4πR2=12π.
C级　挑战创新
10.(2022·全国乙卷,理)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 (　　)
A. B. C. D.
解析:不妨设四棱锥的底面是正方形,边长为a,底面正方形外接圆的半径为r,则r=a,四棱锥的高h=,
所以四棱锥的体积
V=a2=≤==,当且仅当=1-,即a2=时等号成立,此时四棱锥的高h===,故选C.
答案:C