新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.2直线与平面平行分层演练新人教A版必修第二册

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8.5 空间直线、平面的平行 8.5.2 直线与平面平行
A级　基础巩固
1.下列图形中能正确表示语句“α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∥β”的是
(　　)

ABCD
解析:A项中不能正确表示b⊂β;B项中不能正确表示a∥β;C项中也不能正确表示a∥β.D项正确.
答案:D
2.下列命题中,a,b表示直线,α表示平面,其中正确的个数是
(　　)
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,
b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①中缺少a⊄α这一条件,所以无法得出a∥α;②中a,b还有可能相交或异面;③中还有可能a⊂α;④中a与b还可能异面.
答案:A
3.如图所示,下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,
N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的是(　　)

①②

③④
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析:①中,连接BC,交PN于点D(图略),则D为PN中点.所以
AB∥MD.因为MD⊂平面MNP,AB⊄平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中,AB∥NP,而NP⊂平面MNP,AB⊄平面MNP,所以AB∥平面MNP.
答案:B
4.如图①所示,已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,连接AB,AC,如图②所示,则BF与平面ADE的位置关系是平行.

① ②
解析:由图①可知,BF∥ED,由图②可知,BF⊄平面AED,ED⊂平面AED,故BF∥平面AED.
5.如图所示,已知AB∥α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.

证明:如图所示,连接CD,

因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,设此平面为β,
因为AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD,所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形.所以AC=BD.
B级　能力提升
6.已知点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA
的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:如图所示,由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,
AC∥平面EFGH.

答案:C
7.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是 (　　)
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
解析:由于BD∥平面EFGH,所以BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=
AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.
答案:D
8.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥α,AD,BC分别与平面α交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=5.

解析:因为AB∥α,AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩α=MN,所以AB∥MN.又点M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=
(AB+CD)=5.
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合),PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.求证:MN∥平面ABCD.

证明:如图所示,连接AC,A1C1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,且AA1=CC1,
所以四边形ACC1A1是平行四边形.所以AC∥A1C1.
因为AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,
所以AC∥平面A1BC1.
因为AC⊂平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,
所以AC∥MN.
因为MN⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
C级　挑战创新
10.探索性问题如图所示,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,指出点M的位置,并证明你的结论.

解:如图所示,存在点M.

当点M是线段AE的中点时,PM∥平面BCE.
证明:取BE的中点N,连接CN,MN,MP,则MN∥AB,且MN=AB.
又PC∥AB,且PC=AB,
所以PC∥MN,且PC=MN,
所以四边形MNCP为平行四边形,所以PM∥CN.
因为PM⊄平面BCE,CN⊂平面BCE,
所以PM∥平面BCE.