新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3平面与平面平行分层演练新人教A版必修第二册

这是一份新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3平面与平面平行分层演练新人教A版必修第二册，共4页。
8.5 空间直线、平面的平行 8.5.3 平面与平面平行
A级　基础巩固
1.若α∥β,a⊂α,M∈β,过点M的所有直线中 (　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
解析:由α∥β,a⊂α,M∈β可知,过点M有且只有一条直线与a平行.
答案:D
2.已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到 α∥β,必须满足下列条件中的 (　　)
A.l∥α,l∥β,且l∥γ
B.l⊂γ,且l∥α,l∥β
C.α∥γ,且β∥γ
D.l与α,β所成的角相等
解析:⇒α与β无公共点⇒α∥β.
答案:C
3.若过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是平行.
解析:由面面平行的性质定理,得A1C1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1C1B,平面ABCD∩平面A1C1B=l,由线面平行的性质定理,知A1C1∥l.
4.若六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有4对.
解析:如图所示,平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,所以此六棱柱的面中互相平行的有4对.

5.如图所示,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.

证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.
因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD.所以MQ∥BC.
因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.
B级　能力提升
6.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为 (　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.可能重合
解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行;若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.
答案:C
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的面积为.
解析:取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1.
根据题意可得,截面为等腰梯形,且MN=BC1=,MC1=BN=,
所以梯形的高为,所以梯形的面积为×(+2)×=.

8.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.

证明:设FC的中点为I,连接GI,HI.

在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.
由题意可得EF∥OB,所以 GI∥OB.
因为GI⊄平面ABC,OB⊂平面ABC,所以GI∥平面ABC.
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.
因为HI⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以HI∥平面ABC.
因为HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.
C级　挑战创新
9.探索性问题如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC.
(2)若点P为线段CD的中点,平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系?请证明.

(1)证明:如图所示,连接AE.由F是线段BD的中点,四边形ABED为正方形,得F为AE的中点.

因为G是EC的中点,
所以GF为△AEC的中位线,所以 GF∥AC.
因为AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,所以GF∥平面ABC.
(2)解:平面GFP∥平面ABC.
证明:连接FP,GP.
因为点F,P分别为BD,CD的中点,
所以FP为△BCD的中位线,所以FP∥BC.
因为BC⊂平面ABC,FP⊄平面ABC,所以FP∥平面ABC.
因为GF∥平面ABC,FP∩GF=F,所以平面GFP∥平面ABC.