新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直分层演练新人教A版必修第二册

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8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直
A级　基础巩固
1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠ABC=90°,AB=BC=1,则异面直线B1C1与AC所成角的大小为 (　　)
A.45°B.60°C.30°D.90°

解析:因为BC∥B1C1,所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角.因为∠ABC=90°,AB=BC=1,所以∠ACB=45°,所以异面直线B1C1与AC所成角为45°.
答案:A
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平A1B1C1D1和平A1D1D的中心,则EF和CD所成的角是 (　　)

A.60°B.45°C.30°D.90°
解析:如图所示,连接B1D1,AB1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,所以EF∥AB1.因为CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角.在正方体中,∠B1AB=45°,所以EF与CD所成的角是45°.

答案:B
3.设P是直线l外一定点,经过点P,且与l成30°角的异面直线
(　　)
A.有无数条B.有两条
C.至多有两条D.有一条
解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.

答案:A
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面,且与AD1所成角为90°的面对角线共有1条.

解析:面对角线是指正方体各个面上的对角线,与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中与AD1所成角为90°的仅有B1C.
5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.

证明:如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.

因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.同理 FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,
所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.
B级　能力提升
6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,若M为A1C1的中点,则AM与BC1所成角的余弦值为(　　)
A.B.C.D.
解析:由题意,取AC的中点N,连接C1N,BN,如图所示,则AM∥C1N,

所以异面直线AM与BC1所成角就是直线BC1与C1N所成角.
设直三棱柱的各棱长均为2,则C1N=,BC1=2,BN=.
设直线BC1与C1N所成的角为θ,
在△BNC1中,由余弦定理可得cos θ==,
即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为,故选D.
答案:D
7.如图所示,空间四边形ABCD的对角线 AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,若异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=5.

解析:如图所示,取AD的中点P,连接PM,PN.

则BD∥PM,PM=BD=3,AC∥PN,PN=AC=4,
所以∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角.
因为AC与BD所成的角为90°,所以∠MPN=90°.
在Rt△MPN中,MN==5.
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°.

解析:如图所示,过点M作 ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,

则∠A1ME(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角.
设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,
所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
9.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心.
求:(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.

解:(1)因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角.
由题意知∠EBF=45°,
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图所示,连接FH
.
因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB.
因为HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形.
因为O为侧面ADHE的中心,所以O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.
C级　挑战创新
10.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1.

解:如图所示,连接CD1,AC.
由题意,得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=2,

所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,
可得△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=AC.
因为AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=2×sin 60°×2=6,所以AD1=AC=3,
所以AA1===.